德安县第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份德安县第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

德安县第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、已知集合，，则下图中阴影部分表示的集合为( )

A. B. C. D.
2、下列说法错误的是( )
A.向量与的长度相等
B.两个相等向量若起点相同，则终点相同
C.共线的单位向量都相等
D.只有零向量的模等于0
3、下列说法中正确的是( )
A.圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B.圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C.用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
D.过球上任意两点，有且仅有一个大圆
4、已知向量，满足，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5、图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )

A. B. C. D.
6、若，则( )
A. B. C. D.
7、三棱台中，两底面和分别是边长为2和1的等边三角形，平面ABC.若，则异面直线AC与所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.
8、已知非零向量，，，满足，，且，则的最小值为( )
A. B.3 C. D.1
二、多项选择题
9、已知非零复数，，则下列运算结果一定为实数的是( )
A. B. C. D.
10、设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )
A.若，，，，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，，则
11、关于函数，下列说法正确的是( )
A.最小正周期为 B.
C.图象关于点对称 D.在上的最大值为1
12、已知O为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
13、若的相邻两个对称中心距离是，则正实数的值是________.
14、在菱形OABC中，O为坐标原点，，，且点A在第四象限，则的值为_________.
15、函数的值域为_________.
16、如图，在直角梯形ABCD中，，，，将沿BD翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为______.

四、解答题
17、已知复数，m，R，其中i为虚数单位.
（1）若z是实数，求m的值；
（2）当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，求m的取值范围.
18、已知非零向量，不共线.
（1）如果，，，求证：A，B，D三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数k的值.
19、已知下列三个条件：
①函数为奇函数；
②当时，；
③是函数的一个零点.
从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题.
已知函数，______.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间.
20、如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.

（1）求证：平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
21、龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米.

（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；
（2）计算龙光塔的高度.
22、如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知，，.

（1）求的面积；
（2）点G为AD上一点，，过点G的直线与边AB，AC（不含端点）分别交于E，F.若，求的值.
参考答案
1、答案：C
解析：由集合，，又由阴影部分表示的集合为.
故选：C.
2、答案：C
解析：对于A，向量与互为相反向量，其长度相等，故A正确；
对于B，因为相等向量的方向相同，长度相等，则两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，故B正确；
对于C，共线的单位向量可以是相反向量，故C错误；
对于D，因为模长为0的向量为零向量，所以只有零向量的模长等于0，故D正确.
故选：C.
3、答案：B
解析：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；
圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，满足圆锥的定义，所以B正确；
用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故C错误；
当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，D错误.故选：B.
4、答案：A
解析：，因为，所以，故.故选：A
5、答案：C
解析：根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直，原图形如图所示：

此平面图形可能是C.
故选：C.
6、答案：A
解析：因为，
所以，
故选：A.
7、答案：C
解析：如图，以AC，AB为邻边作平行四边形ABDC，
则且，
故即为异面直线AC与所成角或其补角，
因为平面ABC，BC，平面ABC，
所以，，
则，
在中，，
即异面直线AC与所成角的余弦值为.
故选：C.

8、答案：A
解析：设，则，取AB的中点M，
由，
即，
即，
即，
即，
所以，
而，
即，
所以要使最小，也最小，
显然，此时O、C、M三点共线，
设，
则，，，
因为，
所以由余弦定理得，
即，
即，
由，即，
所以，
所以的最小值为.
故选：A.

9、答案：AD
解析：设复数（a，，），，（c，，），，
对于A，，虚部为0，则一定为实数，故A正确；
对于B，，虚部不为0，故一定不为实数，故B不正确；
对于C，，若，则不一定为实数，故C不正确；
对于D，，
，故D正确.
故选：AD.
10、答案：BD
解析：对于选项A：根据面面平行的判定定理可知：此时要求m，n相交，
但题中没有确定是否相交，所以不能判断，是否平行，故A错误；
对于选项B：根据线面垂直的性质可知：若，，则，故B正确；
对于选项C：若，，则或，故C错误；
对于选项D：根据线面平行的性质定理可知：若，，，则，故D正确；故选：BD.
11、答案：ACD
解析：对于A，的最小正周期，故选项A正确；
对于B，，故选项B错误；
对于C，令，，则，，所以的对称中心为，，
当时，函数的图象关于点对称，故选项C正确；
对于D，因为，所以，
当即时，函数取最大值1，故选项D正确；
故选：ACD.
12、答案：BCD
解析：因为，所以.又因为O为的外心，所以为直角三角形且，O为斜边BC的中点，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q.因为在上的投影向量为，所以在上的投影向量为.当时，，；当时，如图1，；当时，如图2，.

所以，
因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.
当时，，当时，.
故的取值范围是.
13、答案：1
解析：由于的周期为，由于相邻两个对称中心距离是，所以，则，
故答案为：1
14、答案：10
解析：在菱形OABC中，，，
因为，所以，解得，

又点A在第四象限，所以，则，
所以，，则，
故.
故答案为：10.
15、答案：
解析：由函数，
当的终边落在第一象限时，有，又，，故此时，
当的终边落在第二象限时，有；
当的终边落在第三象限时，有，又，，故此时，
当的终边落在第四象限时，有
当的终边落在两个坐标轴上时，有.
综上所述的值域是.
故答案为：
16、答案：
解析：如图，设外接球的球心为O，半径为r，M为BD中点，N为CD中点，
因为，所以，，
又因为，，
所以，
所以，，
所以，，
所以为二面角的平面角，
所以，
作于H，
因为，，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，，
则平面，所以，
则有，
即，

由题意可求得：，
设，
由题上式可得：，
求得：，从而求得：，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）若z是实数，则，即
（2）当复数z在复平面内对应的点位于第四象限时，
，解得.
18、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，，，
所以，
所以与共线，
因为与有公共端点B，
所以A，B，D三点共线；
（2）因为和共线，
所以存在唯一实数，使，
因为，不共线，
所以，解得
19、答案：（1）
（2）和.
解析：（1）若选①因为
所以，又函数为奇函数，
则，，结合，则有，
所以.
若选②，则，，
则，，又，则时，；
所以.
若选③，，，，，
又，则时，.
所以.
（2）令，，
得，，
所以的单调递增区间为，，
又时，令得令得
所以函数在上的单调递增区间为和.
20、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证法一：
在正方形ABCD中，
又侧面底面ABCD，侧面底面，底面ABCD，
所以平面PAD，因为平面PAD，所以，
因为是正三角形，M是PD的中点，所以，
又，CD，平面PCD，所以平面PCD，
证法二：
在正方形ABCD中，
又侧面底面ABCD，侧面PAD交底面ABCD于AD，所以平面PAD，
又平面PCD，故平面平面PAD，
是正三角形，M是PD的中点，所以
又平面PCD交平面PAD于PD，平面PAD，故平面PCD.
（2）取AD，BC的中点分别为E，F，连接ED，PE，PF，
则，，因为，所以，
又在正中，，
因为，EF，平面PEF，平面PEF，
正方形ABCD中，，平面PEF，
所以是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
因为平面PAD，，所以平面PAD，
因为平面PAD，所以，
设正方形ABCD的边长，则，，
所以，所以，
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.

21、答案：（1）
（2）
解析：（1）依题意，过D作交AB于E，过C作，交DE于F，如图，

则，，，
所以在中，，
又，所以，
所以的余弦值为.
（2）由（1）得，，
设龙光塔的高度，则在中，，则，
易知四边形CBEF是矩形，则，，
又在中，，则，
所以，即，故.
所以龙光塔的高度为.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）法一：由及正弦定理得：
，，
又因为AD是BC边上的中线，，
即
易知为锐角，，
；

（法二）由及正弦定理得：
，，
在中，由正弦定理得①，
在中，设，由正弦定理得②，
①②得，易知为锐角，，
；
（法三）：由及正弦定理得：，
设，因为AD为边上的中线，所以，
则，，
，
所以，
整理得，即，
所以或，经检验，符合题意，
所以，所以.
（2）
设，，，，
因为D为BC的中点，，
，
又E、G、F三点共线，所以，即③
又，
，
由（1）知，，，，
化简得④，由③④，得，，
所以.