高安市灰埠中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份高安市灰埠中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高安市灰埠中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、集合，，则( )
A. B.
C. D.
2、化简的结果为( )
A. B.
C. D.
3、已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
4、已知向量，则下列选项中与共线的单位向量是( )
A. B. C. D.
5、函数在一个周期内的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6、某三角形直观图是面积为2的等边三角形，则原三角形的面积为( )
A. B. C. D.
7、黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线）处测得楼顶A､楼顶C的仰角分别是和在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为( )

A. B. C. D.
8、两个边长为4的正三角形与，沿公共边AB折叠成的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、下列说法正确的是( )
A.长度相等的向量是相等向量
B.零向量的长度等于0
C.共线向量是在同一条直线上的向量
D.向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件
10、已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
11、若，则复数在复平面内对应的点可能在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
12、已知正方体的棱长为4，点E,F,G,M分别是BC,,,的中点则( )
A.直线,EF是异面直线 B.平面截正方体所得截面的面积为
C.三棱锥的体积为 D.三棱锥的内切球的体积为
三、填空题
13、已知，则_____________
14、在中，，，，若O是的重心，则______.
15、如图，平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的矩形OABC的直观图，若，，则矩形OABC的面积为________.

16、已知，.有下列四个说法：
①的一个正周期为；
②在上单增；
③值域为；
④图象关于对称.
其中，所有正确说法的序号是______.
四、解答题
17、回答下列问题
（1）化简；
（2）已知，.
18、已知，，复数，且，复数在复平面上对应的点在函数的图像上.
(1)求复数；
(2)若为纯虚数，求实数m的值.
19、已知向量.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求.
20、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求角A；
(2)若外接圆的半径为，求面积的最大值.
21、如图1，在等腰梯形ABCD中，，，，E为CD的中点.将沿AE翻折，得到四棱锥（如图2）.
  
(1)若PC的中点为M，点N在棱AB上，且平面PAE，求AN的长度；
(2)若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小.
22、已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数的图象在区间（且）上至少含有个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值.
参考答案
1、答案：B
解析：因为集合，所以，所以.
故选：B.
2、答案：D
解析：，.
故选：D
3、答案：C
解析：因为，，，所以，解得.
故选：C.
4、答案：B
解析：，
，
与共线的单位向量是，
故选：B
5、答案：A
解析：由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，
故选：A
6、答案：C
解析：把边长为的正三角形还原回原三角形如图，
  
过作垂直于轴于D，因为是边长为的正三角形，
所以，
过作平行于轴交轴于E，则，
所以对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xOy下的纵坐标为，
即原三角形ABC底边AB上的高为，
所以.
因为三角形的面积为，所以，
所以，
故选：C.
7、答案：C
解析：在中，则
在中，因为，
所以
因为，所以，故.
故选：C.
8、答案：B
解析：取AB的中点E，连接CE,DE，
因为正三角形与的边长为4，所以，，
且，
故为二面角的平面角，，
所以是等边三角形，
取CE的中点F，连接DF，则，，，
因为，，，DE,平面CDE，
所以平面CDE，
因为平面CDE，所以，
因为，AB,平面ABC，
所以平面ABC，
取的中心G，则点G在CE上，且，故，
则球心O在G点正上方，连接DO,OG,OC，过点O作于点K，
则，
设，则，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半径，
故球O的表面积为.

故选：B
9、答案：BD
解析：相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故A说法错误；B说法显然正确；
共线向量可以是在同一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故C说法错误；
A，B，C，D四点共线⇒向量与共线，反之不成立，
所以向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件，故D说法正确.
故选：BD
10、答案：AC
解析：设扇形的半径和弧长分别为、l，
则由题意可知： ，解得或，
所以圆心角的弧度数为或1.
故选：AC
11、答案：CD
解析：当时，，故复数在复平面内对应的点在第三象限，
当时，，故复数在复平面内对应的点在第四象限.
故选：CD
12、答案：ACD
解析：对于A，如图，取的中点P，连接PE，取PE的中点Q，连接，
则，所以四边形是平行四边形，所以，
又因，所以直线,EF是异面直线，故A正确；
  
对于B，如图，延长,CB交于点H，连接HD交AB点N，连接MN,，
因为,M为的中点，则，
所以B为HC的中点，因为，所以N为AB的中点，则，
因为，所以为平行四边形，所以，
所以，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，
在等腰梯形中，，,
则梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，故B错误；

对于C，连接，则，
因为平面，平面，所以，
又,AB,平面，所以平面，
又因为M为的中点，所以三棱锥的高为，
，所以，故C正确；

对于D，由题意，三棱锥为边长的正面体，
设其内切球的球心为O，半径为R.
则，
又，
所以，解得，
则三棱锥的内切球的体积为，故D正确.
故选：ACD.
13、答案：
解析：由题意得：.
故答案为：.
14、答案：7
解析：如图所示，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设，
，， ，,
，解得，
O是的重心，延长BO交AC于点D，则D为AC中点，所以,
，,
.
故答案为：7

15、答案：12
解析：因为平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的矩形OABC的直观图，，，
所以矩形OABC中，，，
所以矩形OABC的面积为.
故答案为：12
16、答案：①③④
解析：对于①，因为，所以①正确；
对于②，当时，，此时，
又，所以在单调递增，
因为，为偶函数，
所以在单调递减，故②错误；
对于③，因为，
所以值域为，故③正确；
对于④，因为
，所以图象关于对称.
故答案为:①③④.
17、答案：（1）-1；
（2）
解析：（1）；
（2）因为，
所以.
18、答案：(1)
(2)2
解析：（1）因为，
所以，对应的点为，
所以，得到，又，
所以，又，
由，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
故，得到.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）由向量，
因为，所以，解得.
（2）由题意得，向量，，
由，可得，则，
即，解得或，
因为，所以，可得，
所以.
20、答案：(1)
(2).
解析：（1）由得，，
所以，又，所以，
所以，因为，所以；
（2）由外接圆的半径为，则得，
由余弦定理得，，即，
所以，解得.
所以，故面积的最大值为.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）取EC的中点G,连接GM,GN,
因为G,M分别为EC,PC的中点，所以，
因为平面PAE，平面PAE，所以平面PAE；
因为平面PAE，，GM,平面GMN，
所以平面平面PAE；
因为平面平面,平面平面,
所以，即N为AB的中点，所以.
（2）由图1可知，等腰梯形ABCD的高为，所以四边形ABCE的面积为；
因为四棱锥的体积等于2，所以四棱锥的高等于，
因为三角形DAE的高为，所以平面平面ABCE；
取AE的中点O,连接OP,OB.
由图1可知，,均为等边三角形，所以,，且;
因为,所以平面POB，
因为平面POB，所以；
由图1可知，所以是二面角的平面角，
因为平面平面ABCE，平面平面，，
所以平面ABCE，所以为直角三角形；
在中，，所以，即二面角为.

22、答案：(1)
(2)
(3)
解析：（1）由，得，则
则为偶函数，
于是y轴是其一条对称轴，根据正弦函数的性质，在对称轴对应的横坐标处一定取到最值，所以，
又，所以，故.
（2）因为，所以，
故，，
而恒成立，
即，
整理可得.
令，，
设，，设，且，
则，
由于，，则，所以，
即区间上单调递增，故，
故，即实数m的取值范围是.
（3）由题意知，
由得，
故或，，
解得或，，
故的零点为或，，
所以相邻两个零点之间的距离为或
若最小，则a和b都是零点，此时在区间，，…，，
分别恰有个零点，
所以在区间上恰有29个零点，
从而在区间上至少有一个零点，所以，
另一方面，在区间上恰有3.个零点，
所以的最小值为.