江西省九江市德安县第一中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试数学试题及答案

江西省九江市德安县第一中学2022-2023学年高一下学期5月期中考试

数学试题

一、单选题（每题5分，共40分）

1．（    ）

A． B． C． D．

2．函数最大值为（    ）

A．2 B．5 C．8 D．7

3．已知，那么（    ）

A． B． C． D．

4．将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（    ）

A． B．

C． D．

5．已知，则（　　）

A．2 B．2 C．1 D．1

6．已知向量，，，若，则（    ）

A． B．2 C．-1 D．-2

7．在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的值可以是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

8．如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．已知M为△ABC的重心，D为边BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

10．若过作的垂线，垂足为，则称向昰在上的投影向量为．如图，已知四边形均为正方形，则下列结论正确的是（    ）

A．在上的投影向量为

B．在上的投影向量为

C．在上的投影向量为

D．在上的投影向量为

11．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则（    ）

A．

B．若，则

C．若，，则

D．若，则的面积的最小值为

12．已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是（    ）

A．存在，使得是偶函数 B．

C．是的整数倍 D．的最大值是6

三、填空题（共20分）

13．已知为角α终边上一点，则=______．

14．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________.

15．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于___________.

16．中，的角平分线交AC于D点，若且，则面积的最小值为________.

四、解答题（共70分）

17．已知.

(1)若，求a的值；

(2)若，求实数a的取值范围.

18．（1）已知 ，求证：.

（2）已知，求代数式和的取值范围．

19．已知函数的图像如下:

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调区间.

20．的内角的对边分别为且．

(1)判断的形状；

(2)若为锐角三角形，且，求的最大值．

21．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)设，且，求的值.

22．设函数

(1)若，，求角；

(2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围；

(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围.

1．C

.

故选：C.

2．A

时，，

所以，

所以函数最大值为2.

故选:A.

3．C

因为，所以，，

因此，.

故选：C.

4．D

函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为：

.

故选：D

5．D

由，可得，

于是.

故选：D

6．A

因为，，，

所以,

又，所以，解得.

故选：A

7．B

如图，过点作，垂足为,则.

若有两解，所以，则，即，得.

故选：B

8．B

在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得，

又因为，

所以，

所以当时，的最小值为，

即的最小值为.

故选：B.

9．ABC

如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得，故A正确；

由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以，

又，所以，故B正确；

，故C正确；

，，又，所以，故D错误.

故选：ABC

10．AC

过作于，连接，

因为，，所以四边形为平行四边形，

设，则，，

由可得，

所以，则，所以在上的投影向

量为，

根据向量加法的平行四边形法则，得，

所以在上的投影向量为．

故选： AC.

11．BC

对于A选项，由正弦定理有，有，有，可得，故A选项错误；

对于B选项，由正弦定理有，有，故B选项正确；

对于C选项，由余弦定理有，有，代入，可得，故C选项正确；

对于D选项，由余弦定理有（当且仅当时取等号），有，故D选项错误．

故选：BC．

12．BC

对于A,∵，成立，∴，

整理得，解得，

，

假设存在，使得是偶函数，则，

即，该式左侧为偶数，不可能等于5，矛盾,故A错误；

对于B，因为，函数的图象关于对称，

∴，故B正确；

对于C，∵，∴是的整数倍，故C正确；

对于D，∵函数在区间上单调，∴，即，

当时，由，整理得，

故无解，故D错误．

故选：BC．

13．

为角α终边上一点，

，

则，，

.

故答案为：

14．

由弧长公式可得，所以扇形面积为，

故答案为：

15．/

点D为AC边的中点，，

则，即，

因为，所以，

由知，角C为锐角，故，

因为，所以由基本不等式得：，

当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，

所以，

故答案为：.

16．

因为，为的角平分线，

所以，又，

故由三角形面积公式可得，

，

，

又，

所以，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以面积的最小值为.

故答案为：.

17．(1)

(2)或或.

（1）由方程，解得或

所以，又，，

所以，即方程的两根为或，

利用韦达定理得到：，即；

（2）由已知得，又，

所以时，则，即，解得或；

当时，

若B中仅有一个元素，则，即，解得，

当时，，满足条件；当时，，不满足条件；

若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.

综上，实数a的取值范围是或或.

18．（1）证明见解析；（2），

（1）

（当且仅当等号成立）

（2）

∴．

由，得①．

由，得②．

19．(1)

(2)单调递增区间为，单调递减区间为

（1）由题意可得：，解得，

设函数的最小正周期为，

则，可得，

且，解得，

可得，

因为，即，

则，解得，

又因为，可得，

所以.

（2）令，解得；

令，解得；

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

20．(1)直角三角形或等腰三角形．

(2)

（1）由题意：，

整理得，

故或，

因为，所以或，

为直角三角形或等腰三角形．

（2）由正弦定理得，

∴，又，

，

因为为锐角三角形，所以，解得，

令，易知，

∴，

故当时，即取最大值，最大值为，

综上，最大值为．

21．(1)

(2)

（1）因为，

所以.

即的最小正周期为.

（2）因为，

所以，

又因为，

所以，

所以，

所以.

22．(1)或.

(2)

(3)当时，且；当时，.

（1）∵，

又∵，即，

∴或，

∵，∴或.

（2）

令，，，

∴，∴，，

即，

令，

设，，

任取，且，

则

，，，，

，即，

在上单调递减，，

∴，解得：.

（3）∵，

∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，

可得

∵，存在非零常数，对任意的，成立，

在上的值域为，则在上的值域为，∴

当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．

所以，即（且）

当时，

由诱导公式可得，,即，

当时，且；

当时，.