2021汉中高二上学期期末考试理科数学试题含答案

汉中市2020-2021学年高二上学期期末考试

数学（理科）

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填写在答题卡上．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设命题，则为（    ）

A．    B．

C．    D．

2．已知空间向量，若，则（    ）

A．    B．1    C．2    D．4

3．抛物线的准线方程为（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

5．双曲线的渐近线方程为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．现有下列两个命题：

在正方体中，；

若A，B，P，Q四点共面则一定存在，使得．

那么（    ）

A．是真命题，是假命题    B．与都是真命题

C．与都是假命题    D．是假命题，是真命题

7．已知x，y满足约束条件则的最大值是（    ）

A．2    B．3    C．5    D．7

8．“直线l与抛物线C只有一个交点”是“直线l与抛物线C相切”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

9命题奇函数的图象一定过坐标原点，命题对任意的向量，都有，则下列命题是真命题的是（    ）

A．    B．    C．    D．

10．钝角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．或

11．已知等比数列的前n项和为，若，则数列的公比（    ）

A．2    B．    C．    D．

12．设分别为双曲线的左、右焦点，直线与C相交于A，B两点（A在第一象限），若梯形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．椭圆的短轴长为________．

14．设平面的一个法向量为，点，则与a所成角的正弦值为_______．

15．已知，且，则的最小值是________．

16．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，且，若点E为的中点，则点D到平面的距离为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

设为等差数列的前n项和，．

（1）求的通项公式；

（2）求的最小值及对应的n值．

18．（12分）

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）证明：．

（2）若，求的面积．

19．（12分）

如图，在正方体中，E为的中点．

（1）证明：平面．

（2）若O为底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值．

20．（12分）

直线与抛物线交于A，B两点，且．

（1）证明l经过M的焦点，并求p的值．

（2）若直线与M交于C，D两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．

21．（12分）

如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点O为的中点．

（1）证明：平面．

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

22．（12分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，且．

（1）求C的方程．

（2）若A，B为C上的两个动点，过且垂直x轴的直线平分，证明：直线过定点．

高二期末考试数学参考答案（理科）

1．A  ．

2．D  ，解得．

3．B  因为，所以，故准线方程为．

4．C  因为，所以．

5．A  双曲线的渐近线方程为，即．

6．C  在正方体中，，故是假命题；若三点都在直线l上，，则，故是假命题．

7．D  作出可行域如图所示，设，当直线经过点时，z取得最大值，且．

8．B  直线l与抛物线C只有一个交点，可能是相切，也可能是相交（当直线l与抛物线C的对称轴平行时）．

9．B  奇函数的图象不一定过坐标原点，例如奇函数的图象不过坐标原点，故命题p是假命题．当与同向时，；当与反向时，；当与不共线时，根据向量加法的三角形法则知，三角形的两边之和大于第三边，即．故命题q为真命题，所以均为假命题，为真命题．

10．C  由正弦定理得，则，得或．

当时，，不符合题意，因此，．

11．D  当数列的公比时，，与矛盾，故不符合题意．当时，，所以．因为，所以，即，则．

12．A  将代入C的方程，得，则梯形的面积，解得．

13．  因为，所以，则椭圆的短轴长为．

14．  与平面所成角的正弦值为．

15．3  因为，所以，则（当且仅当时，等号成立）．

16．  以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，从而．

设平面的一个法向量为，由法向量的性质可得，

令，则，所以．

所以点D到平面的距离．

17．解：（1）设等差数列的公差为d．

由题意可得             2分

解得．             4分

故．             6分

（2）由（1）可得．               8分

因为，所以当时，              9分

取得最小值，最小值为．               10分

18．（1）证明：因为，所以，         2分

所以，所以．            4分

因为，所以．          5分

（2）解：由（1）可知，则．             6分

由余弦定理可得，则，           7分

即，解得．          9分

因为，所以，             10分

则的面积为．              12分

19．（1）证明：因为在正方体中，，             2分

所以，              3分

又平面平面，所以平面．           5分

（2）解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，          6分

设，则．            8分

因为，           9分

所以，           11分

所以异面直线与所成角的余弦值为．            12分

20．（1）证明：因为M的焦点为，          1分

且直线经过点，所以l经过M的焦点．             2分

联立得．             3分

设，则，             4分

则，            5分

解得．             6分

（2）解：由（1）知M的方程为．                7分

设，则              8分

两式相减，得．         9分

因为，             10分

所以的斜率为．            12分

21．（1）证明：由题意可得四边形为菱形，连接，

在中，∵，

∴，则，为正三角形．             1分

由点O为的中点，得．            2分

∵点O为的中点，，又，∴，

∴，            3分

则．         4分

∵，∴平面．                5分

（2）解：如图，不妨设，以O为原点，为x轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

．            6分

设平面的法向量为，

则             7分

令，得．                8分

设平面的法向量为，

则            9分

令，得．            10分

∵，             11分

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．              12分

22．（1）解：因为，所以，          1分

所以，又，所以，            3分

故C的方程为．           4分

（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，，设直线的方程为，设，由得，         5分

则，          6分

且．             7分

设直线的倾斜角分别为，则，      8分

所以，即，      9分

所以，

所以，            10分

化简可得，                   11分

所以直线的方程为，故直线过定点．             12分