2020年人教版九年级数学上册 一元二次方程 单元检测卷四（含答案）

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2020年人教版九年级数学上册 一元二次方程 单元检测卷四
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　）
A. ax2+bx+c=0 B. x2﹣2=（x+3）2 C. 2x+3x﹣5=0 D. x2﹣1=0
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（   ）
A. k＜1且k≠0       B. k≠0     C. k＜1     D. k＞1
3．已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是（　　）
A. 1 B. ﹣2 C. 0 D. ﹣1
4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0，原方程应变形为（　　）
A. （x﹣1）2=2 B. （x+1）2=2 C. （x﹣1）2=1 D. （x+1）2=1
5．方程x（x﹣1）=x的解是（　　）
A. x=0 B. x=2 C. x1=0，x2=1 D. x1=0，x2=2
6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
7．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则＝（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8．方程的根的情况是（ ）.
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根
9．关于x的方程的两根为－2和3，则m＋n的值为
A. 1 B. －7 C. －5 D. －6
10．某商店6月份的利润是2500元，8月份的利润达到3600元.设平均每月利润增长的百分率是，则可以列出方程（ ）
A. B.
C. D.


11．某种童鞋原价为100元，由于店面转让要清仓，经过连续两次降价处理，现以64元销售，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　）
A. 19% B. 20% C. 21% D. 22%
12．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的方程是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题
13．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是____．
14．一元二次方程3x2－x＝0的解是_____________________．
15．x²-3x+____=(x-___)².
16．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为__________________________.
17．已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.
三、解答题
18．若是方程的一个根，求代数式的值．



19．用适当的方法解下列方程：
(1)x2＋2x＋1＝4； (2)x2－x＝－.






20．解方程
（1）（x﹣5）2=16（直接开平方法） （2）x2﹣4x+1=0（配方法）



（3）x2+3x﹣4=0（公式法） （4）x2+5x﹣3=0（配方法）




21．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．
（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；
（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值.















22．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？






23．要在长32m，宽20m的长方形绿地上修建宽度相同的道路，六块绿地面积共570m2，问道路宽应为多宽？


参考答案
1．D
2．A
【解析】分析：由方程有两个不相等的实数根，可知∆>0,且二次项系数不等于0，据此列式求解即可.
详解：由题意得，
，
解之得，
k＜1且k≠0 .
故选A.
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac：当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
3．D
【解析】分析：一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．只需把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中验证a﹣b+c=0即可．
详解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中得：a﹣b+c=0，所以当a﹣b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根是﹣1．
故选D．
点睛：本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．
4．A
【解析】分析：先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可．
详解：x2﹣2x=1，
x2﹣2x +1=2，
（x﹣1）2=2．
故选A．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．D
【解析】分析：首先移项，然后提取公因式x，即可得到x（x﹣1﹣1）=0，则可得到两个一次方程：x=0或x﹣2=0，继而求得答案．
详解：∵x（x﹣1）=x，∴x（x﹣1）﹣x=0，∴x（x﹣1﹣1）=0，
即x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选D．
点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，解题的关键是找到公因式x，利用提取公因式法求解．
6．D
【解析】分析：由一元一次方程的系数，即可根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac求解判断即可.
详解：①由a=1，b=0，c=-4，可得△=0+16=16＞0，有两个不相等的实数根，故不正确；
②由x（x-1）=0，可得x2-x=0，即a=1，b=-1，c=0，所以△=1＞0，有两个不相等的实数根，故不正确；
③由题意可得a=1，b=1，c=-1，所以△=1+4=5＞0，故有两个不相等的实数根，故不正确；
④由题意可得a=1，b=1，c=1，所以△=1-4=-3＜0，方程没有实数根，故正确.
故选：D.
点睛：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
7．C
【解析】分析：首先根据韦达定理得出，最后根据完全平方公式的转化得出答案．
详解：根据题意可得：
∴， 故选C．
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的韦达定理以及完全平方公式的转化，属于中等难度的题型．本题的方程比较简单，我们也可以直接通过求解的方法得出方程的解，然后代入进行计算．
8．A
【解析】分析：判断方程的根的情况,只要看根的判别式△=b²-4ac 的值的符号就可以了.
详解：∵a=1,b=-4,c=-3 ,
∴△=b²-4ac=(-4)²-4×1×(-3)=28>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选A.
点睛：本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与△=b²-4ac 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.
9．B
【解析】分析:根据一元二次方程根与系数关系可求出m和n的值，然后代入到m＋n计算即可.
详解: ∵-2+3=-m，
∴m=-1.
∵-2×3=n,
∴n=-6,
∴m+n=-1+(-6)=-7.
故选B.
点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1,x2为方程的两个根，则x1,x2与系数的关系式：， .
10．C
【解析】分析：代入利润类问题的公式：a（1+x）n=b（a表示的是起始数据，b表示最后达到的水平，x表示增长率，n表示增长的次数）即可．
详解：每月利润增长的百分率为x，
则7月份的利润为：2500×(1+x)，
8月份的利润为：2500×(1+x)(1+x)=2500×(1+x)2
因为8月份的利润是3600，
所以：2500×(1+x)2=3600
故选：C.
点睛：本题主要考查根据等量关系列出函数关系式.列函数关系式通常是利用“公式”或“方程的思想”来寻找等量关系的,同时还要注意哪个变量是自变量,哪个变量是因变量.列函数关系式时通常把因变量写在等号的左边,自变量和常数写在等号的右边,并把因变量的系数化为1.
11．B
【解析】分析：设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x），第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．
详解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元，根据题意，得
100（1-x）2=64
即（1-x）2=0.64
解之，得x1=1.8，x2=0.2．
因x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．
即每次降价的百分率为0.2，即20%．
故选B．
点睛：此题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
12．C
【解析】解：对于一元二次方程是蝴蝶方程知，又∵，∴，∴，∴，．故选．
13．3
【解析】分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式，解不等式求得a的取值范围，然后找出此范围内的最大整数即可．
详解：
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴25-4（3+a）≥0，且a+3≠0，
即 且a≠－3.
∴整数a的最大值是3.
故答案为：3.
点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
14．x1＝0，x2＝
【解析】分析：利用因式分解法解方程即可.
详解：
3x2－x＝0，
x（3x-1）=0，
x=0或3x-1=0，
∴x1＝0，x2＝.
故答案为：x1＝0，x2＝.
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法—因式分解法，用因式分解法解一元二次方程的步骤为：①将方程右边化为0，左边因式分解；②根据“若a·b＝0，则a＝0或b＝0”，得到两个一元一次方程；这两个一元一次方程的根就是原方程的根.
15． ,
【解析】分析：根据配方法可以解答本题．
详解：∵x2﹣3x+=（x﹣）2，
故答案为：．
点睛：本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法．
16．x（x-1）=110
【解析】试题解析：有个小朋友参加聚会,则每人送出件礼物，
由题意得,
故答案为：
17．x2-7x+12=0或x2+7x+12=0
【解析】分析：先根据“两数的积是12，这两数的平方和是25”求出这两个数的值，然后根据根与系数的关系写出所求方程．
详解：设这两个数为α、β．由题意，得：αβ=12，α2+β2=25．
又∵α2+β2+2αβ﹣2αβ=（α+β）2﹣2αβ=25，∴（α+β）2﹣2×12=25，解得：α+β=±7．
根据根与系数的关系可得：x2﹣7x+12=0或x2+7x+12=0．
故答案为：x2﹣7x+12=0或x2+7x+12=0．
点睛：将根与系数的关系与代数式变形相结合是一种经常使用的解题方法．
18．17.
【解析】试题分析：
由题意把x=2代入方程变形得到m2-4m=2，再将代数式用乘法公式变形得到，然后代入m2-4m=2，即可求得代数式的值.
试题解析：
将代入，得：
∴，
∴
，
，
，
，
．
19．（1）x1=-3，x2=1；（2）x1=x2=
【解析】分析：(1)、将方程的左边进行配方，利用直接开平方法的方法可以得出答案；(2)、首先进行移项，然后利用配方法求出方程的解．
详解：(1)、， 则x+1=±2， x=－1±2， 解得：．
(2)、， 则， 解得：．
点睛：本题主要考查的是一元二次方程的解法，属于基础题型．理解各种解方程的方法是解决这个问题的关键．
20．（1）x1=9，x2=1；（2）x1=2+，x2=2﹣；（3）x1=1，x2=﹣4；（4）x1=，x2=．
【解析】试题分析：（1）按要求利用直接开平方法进行求解即可；
（2）按要求利用配方法根据配方法的步骤进行求解即可；
（3）按要求利用公式法进行求解即可；
（4）按要求利用配方法根据配方法的步骤进行求解即可.
试题解析：（1）（x﹣5）2=16，
x-5=±4，
x-5=4或x-5=-4，
∴x1=9，x2=1；
（2）x2﹣4x+1=0，
x2﹣4x=-1，
x2﹣4x+4=-1+4，
（x-2）2=3，
x-2=±，
∴x1=2+，x2=2﹣；
（3）x2+3x﹣4=0，
a=1，b=3，c=-4，
b2-4ac=32-4×1×(-4)=25>0，
，
∴x1=1，x2=﹣4；
（4）x2+5x﹣3=0，
x2+5x=3，
x2+5x+=3+，
，
，
∴x1=，x2=．
21．（1）m=0或m=1； (2)当△ABC是等腰三角形.
【解析】（1）将x=2代入方程即可得到关于m的方程，解之即可得出答案；
（2）利用求根公式用含m的式子表示出方程的两个根，再根据等腰三角形两边相等分类讨论，即可得出答案.
（1）∵x=2是方程的一个根，∴22﹣2(2m+3)+m2+3m+2=0.
∴m2-m=0，
∴m=0，m=1.
(2) ∵
∴，
∴x=m+2，x=m+1.
∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC=m+2，AB=m+1.
∵，△ABC是等腰三角形，
∴当AB=BC时，有
∴
当AC=BC时，有

综上所述，当△ABC是等腰三角形.
22．（1）10%；（2）不能，增加2名．
【解析】试题分析：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数=每人投递件数×人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．
试题解析：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得

解得：
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.
(2)4月：12.1×1.1=13.31(万件)
21×0.6=12.6<13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务。
∵
∴至少还需增加2名业务员.
23．道路的宽为1米．
【解析】试题分析：设道路的宽为xm，利用长32m，宽20m的长方形的面积减去道路的面积等于六块绿地面积列出方程解答即可．
试题解析：设道路的宽为xm，根据题意列方程得，
∴(32−2x)(20−x)=570，
整理得
解得 (不合实际,舍去)；
答：道路的宽为1m.