2023年高考真题和模拟题数学分项汇编（全国通用）专题04+数列

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专题04 数列

（新课标全国Ⅰ卷）1．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
（新课标全国Ⅰ卷）2．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
（新课标全国Ⅱ卷）3．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
（新课标全国Ⅱ卷）4．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
（全国乙卷数学（文））5．记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
（全国乙卷数学（文））6．已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
（全国乙卷数学（文））7．已知为等比数列，，，则______.
【答案】
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
（全国甲卷数学（文））8．记为等差数列的前项和．若，则（    ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
（全国甲卷数学（文））9．记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
【答案】
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
（全国甲卷数学（理））10．已知正项等比数列中，为前n项和，，则（    ）
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
（全国甲卷数学（理））11．已知数列中，，设为前n项和，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
（新高考天津卷）12．已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C
【详解】由题意可得：当时，，即，    ①
当时，，即，        ②
联立①②可得，则.
故选：C.
（新高考天津卷）13．已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【答案】(1)，；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【详解】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得

.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
据此猜测，
否则，若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，
其前项和为：.


1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，，成等差数列，则，
由于，则，
故选：D.
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
解得，A错误，C错误，D正确，
所以， B错误；
故选：D.
3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则 （    ）
A．54 B．71 C．80 D．81
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以.
故选：D.
4．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（    ）
A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升
【答案】B
【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，由题意可得，所以，
故选：B
5．（2023·北京·统考模拟预测）已知数列满足，数列满足，其中，则数列的前项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，，
，，，
所以，
所以，，，，
，
所以数列的前项和为.
故选：A.
6．（2023·北京·统考模拟预测）设是等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】当时，由，得，则不为递增数列；
当为递增数列时，，若，则，
所以“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.
故选：D
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，则等于（    ）
A．63 B． C．45 D．
【答案】D
【详解】因为数列是等差数列，则，可得，
且，可得，
所以.
故选：D.
8．（2023·河南·校联考模拟预测）数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（    ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【详解】因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，
所以，则，
不等式整理得，
当时，左边，右边，显然不满足不等式；
当时，左边，右边，显然满足不等式；
且当时，左边，右边，则不等式恒成立；
故当不等式成立时的最小值为9.
故选：B.
9．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足，，数列的前项积为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为数列满足a1＝，an+1＝2an，易知，
所以为常数，又，
所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，
故选：C．
10．（2023·河南驻马店·统考三模）在数列中，，则的前项和的最大值为（    ）
A．64 B．53 C．42 D．25
【答案】B
【详解】由,得,
令,所以,则,
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,
所以,即,即,
由,
将以上个等式两边相加得,
所以,
经检验满足上式，故
当时,,即单调递增,当时,,即单调递减,
因为,
所以的前项和的最大值为，
故选：B
11．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，当时，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，数列的前项和为，若恒成立，求正整数的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【详解】（1）由题意知，当时，，所以，
整理得：，即，所以数列是以1为公差的等差数列.
（2）由，由（1）知是以2为首项、1为公差的等差数列，
所以，所以，
所以，①
所以，②
①-②得，
所以，所以.
因为，所以，
由于，当且仅当时等号成立，故正整数的最大值为8.
12．（2023·广东东莞·校考三模）已知数列和，，，.
(1)求证数列是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列
（2）由（1）知，∴，
∴，
设，则，
两式相减得，
从而
∴.
13．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知数列的前项和为，．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，得．
所以，
即，整理得，
上式两边同时除以，得．
又，所以，即，
所以是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，．
所以．
所以．
14．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，，对任意的正整数，点均在函数图像上．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)证明：中任何不同三项不构成等差数列．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）点均在函数图像上，则，故，
，故是首项为2，公比为2的等比数列.
（2），故，，且从第二项起严格增，
假设存在使得成等差数列，则，
即，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立.
故中任何不同三项不构成等差数列．
15．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.
【答案】(1)（答案不唯一），证明见解析；
(2)63
【详解】（1）取，
则，，
因为，所以，
所以数列是“递增数列”.
（2）当时，
，
因为数列为“速增数列”，
所以，且，
所以，
即 ，
当时，，
当 时，，
故正整数的最大值为63 .
16．（2023·四川·模拟预测）在数列中，若，前项和，则的最大值为______．
【答案】66
【详解】=21，解得，故，属于二次函数，
对称轴为，故当或时取得最大值，
，，，
故的最大值为66.
故答案为：66.
17．（2023·江西·统考模拟预测）已知数列满足，若，则_________．
【答案】
【详解】因为，所以为等比数列，设公比为，又，，
所以，解得，所以.
故答案为：
18．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知数列满足：，若
，且数列为递增数列，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【详解】因为，两边取倒数可得：，
变形可得，所以数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，
则，又，数列为递增数列，
所以，即.
当时，，即，解得.
所以实数的取值范围为.
故答案为:.
19．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列满足，（），若，数列的前项和为，则________．
【答案】2022
【详解】由题意得：，
即，
两式相加得：，
数列满足，（），
所以，即，
则，所以，
故答案为：.
20．（2023·山东泰安·统考模拟预测）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是______．
【答案】
【详解】，，且，
，是以为首项，为公比的等比数列．
，．
时，，
且不满足上式，所以．
故答案为：.