北师大版数学八年级上册 第五章 二元一次方程组 教案

这是一份北师大版数学八年级上册 第五章 二元一次方程组 教案，共17页。
第五章　二元一次方程组
1　认识二元一次方程组

1．了解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义．
2．会判断一组数是不是二元一次方程组的解，会尝试利用列表的方法求简单的二元一次方程组的解．
3．经历探索二元一次方程组的过程，培养学生观察、分析、概括的能力．

重点
二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念．
难点
尝试利用列表的方法求简单的二元一次方程组的解．

一、情境导入
1．课件出示教材第103页的内容．
师：同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
请每个学习小组讨论，然后指名回答．教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程．
师：这个问题由于涉及老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x－y＝2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：x＋1＝2(y－1)．
2．课件出示教材第104页“想一想”上面的内容．
仍请每个学习小组讨论，教师注意引导学生分析其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式．
师：这个问题由于涉及有几个成人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程x＋y＝8和5x＋3y＝34.
在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学习的好奇心与积极性．同时告诉学生在某些有两个等量关系的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚．
二、探究新知
1．二元一次方程概念的概括．
师：上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？
归纳出二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
这个定义有两个要求：
①含有两个未知数；
②所含未知数的项的最高次数是1.
课件出示一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习：
(1)下列方程有哪些是二元一次方程：
①x＋3y－9＝0；②3x2－2y＋12＝0；
③3a－4b＝7；④3x－＝1；
⑤3x(x－2y)＝5；⑥－5n＝1.
(2)如果方程2xm－1－3y2m＋n＝1是二元一次方程，那么m＝______，n＝______．
2．二元一次方程组概念的概括．
师：上面的方程x－y＝2和x＋1＝2(y－1) 中，x的含义相同吗？y呢？(在两个方程中x表示老牛驮的包裹数，y表示小马驮的包裹数，x，y的含义分别相同．)
由于x，y的含义分别相同，因而必同时满足x－y＝2和x＋1＝2(y－1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成 从而得出二元一次方程组的概念：像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．例如，
注意：在方程组中各方程中的同一个字母必须表示同一个对象．
3．根据情境，得出有关方程的解的概念．
课件出示教材第105页“做一做”．
各小组合作完成，学生分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3个小题的结论．
结论：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
如x＝6, y＝2是方程x＋y＝8的一个解，记作 同样， 也是方程x＋y＝8的一个解．
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
例如：就是二元一次方程组的解．
三、举例分析
判断下列方程组是否是二元一次方程组：
(1) 　(2) 　
(3) 　(4)
(5) 　(6)
四、练习巩固
教材第105页“随堂练习”第1～3题．
五、小结
1．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解．
3．共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值．
六、课外作业
教材第106页习题5.1第1～5题．

通过情境引入，让学生体会到了生活中的数学无处不在，激发了学生强烈的求知欲望，学生的反应非常积极踊跃，丰富了学生的情感与态度．充分利用小组合作交流，让学生自己找出方程中的等量关系，启发他们自己说出各个定义的理解．在学生合作做题的时候，教师进一步强调小组合作交流、合理分配时间会取得更好的效果．教学过程各环节紧紧相扣，整个教学过程逻辑思维清晰，问题与问题之间衔接紧密，每一步都为下一步做了很好的铺垫．

2　求解二元一次方程组
第1课时　代入消元法

1．了解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”、“化复杂为简单”的化归思想．
2．了解代入消元法的概念，掌握代入消元法的基本步骤．
3．会用代入消元法求二元一次方程组的解．

重点
了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程组．
难点
理解代入消元法解方程组的过程．

一、情境导入
师：我们首先来看一下第一节中的问题：牛比马多驮了2个包裹，若马拿出1个包裹给牛，那么牛的包裹数量是马的包裹数量的2倍，它们各驮了多少包裹呢？
生：根据题意，我们可以设牛驮了x个包裹，马驮了y个包裹，则可得方程组：
师：那么怎么解这个方程组呢？
学生讨论回答．
生：由x－y＝2，得y＝x－2.将y＝x－2代入x＋1＝2(y－1)中，得x＋1＝2(x－2－1)，解这个一元一次方程得x＝7，把x＝7代入y＝x－2中，得y＝5.所以二元一次方程组的解为所以牛驮了7个包裹，马驮了5个包裹．
师：很好！但是你们所求出的方程组的解正确吗？
让学生将求出的未知数的值代入原方程组，验证结果是否正确．
二、探究新知
课件出示教材第108页例1.
学生独立完成解方程组后，提出问题：每一个二元一次方程的解都有无数个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方程中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，就没那么容易．那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？
教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题：
(1)给这种解方程组的方法取个什么名字好？
(2)上面解方程组的基本思路是什么？
(3)主要步骤有哪些？
(4)我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步．你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？
由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价．
(1)在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的．我们将这种方法叫代入消元法．
(2)解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．
(3)解上述方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得到一个一元一次方程．
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值．
第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值．
第五步：把方程组的解表示出来．
第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立．
(4)用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形．
三、举例分析
课件出示教材第109页例2.
分析：此题不同于例1, (即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，②式不能直接代入①，那么我们应当怎样处理才能转化为例1②式这样的形式呢？(应先对②式进行恒等变化，把它化为例1中②式那样的形式．)
分小组合作完成上述例题，请两个小组的代表上黑板板演．
四、练习巩固
教材第109页“随堂练习”．
五、小结
师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”； 解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出另一个未知数的值．即求得了方程组的解．
六、课外作业
教材第110页习题5.2第1～2题．

二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容．教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消
元解法．回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察、归纳能力，提高学生的学习能力．
第2课时　加减消元法

1．体会加减消元法形成的思路．
2．了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤．
3．掌握用加减消元法解二元一次方程组．

重点
了解加减消元法的一般步骤，会用加减消元法解二元一次方程组．
难点
辨别使用哪种方法解二元一次方程组更方便．

一、情境导入
师：怎样解下面的二元一次方程组呢？

学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现作铺垫．
学生可能的解答方案1：
解：把②变形得x＝，　③
把③代入①，得3×＋5y＝21，
解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
所以方程组的解为
学生可能的解答方案2：
解：由②变形得5y＝2x＋11，　③
把5y当做整体将③代入①，得：3x＋(2x＋11)＝21，
解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝3.
所以方程组的解为
(此种解法体现了整体的思想．)
学生可能的解答方案3：(观察发现：两个方程中一个含有5y，而另一个是－5y，两者互为相反数．)
解：两个方程相加，可以得到5x＝10，
解得x＝2.
把x＝2代入①，解得y＝3，
所以方程组的解为
引导学生发现方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零(方案3)将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的．
这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法．
二、探究新知
师：下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组．
1．课件出示教材第111页例3.
分析：方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
让学生独立解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点：
(1)注意解此题的易错点是②－①时是(2x＋3y)－(2x－5y)＝－1－7，方程左边去括号时注意符号．另外解题时，①－②或②－①都可以消去未知数x，不过在①－②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②－①；
(2)把y＝－1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值．
总结：在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法．
2．课件出示教材第111页例4.
分析：其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或－1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反．我们遇到的往往就是例题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的．
3．课件出示教材第111页“议一议”．
学生分组讨论、总结并指名回答．
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．
(2)用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是：
①变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数；
②加减消元，得到一个一元一次方程．
③解一元一次方程；
④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．
三、练习巩固
1．教材第112页“随堂练习”．
2．补充练习：
(1)二元一次方程组 的解是(　　)．
A. 　　　　　B.
C. D.
(2)＋(2x＋3y－5)2＝0，求x，y的值．
(3)解方程组：3x＋2y＝12x＋5y＝－3.
四、小结
1．关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法．比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”．
2．用加减消元法解方程组的条件：某一未知数的系数的绝对值相等．
3．用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数的绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
五、课外作业
1．教材第113～114页习题5.3第1～4题．
2．阅读教材第112页“读一读”．

本节课是让学生学习利用加减消元法解二元一次方程组，是提升学生求解二元一次方程组的基本技能课，在例题的设置上充分体现化归思想．
在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想．因而在教学过程中教师通过对问题的创设，鼓励学生去观察方程的特点，在练习中提高学生的解题正确率和表达规范性，提升学生学好数学的信心，激发学习数学的兴趣.3　应用二元一次方程组——鸡兔同笼

1．会用二元一次方程组解决实际问题．
2．在解决实际问题的过程中，能用方程组这样的数学模型刻画现实世界．
3．将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程组的技能．

重点
让学生经历和体验方程组解决实际问题的过程．
难点
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题．

一、情境导入
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题，浅显有趣．其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本等国．
师：“鸡兔同笼”是经典的数学问题，在小学阶段同学们曾探究过它的多种解法，这节课我们用本单元学习的方程组来解决此问题．(板书课题)
二、探究新知
课件出示：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？
(1)“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”呢？
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？
(3)你能解决这个有趣的问题吗？与同伴进行交流．
生：“上有三十五头”是指鸡和兔共有35只，即“鸡的只数＋兔的只数＝35只”．“下有九十四足”是指鸡的腿和兔子的腿的和为94条，即“鸡的腿数＋兔子的腿数＝94”．
师：很好！那么根据(1)中的数量关系你能列出方程组并解出这个方程组吗？
生：根据(1)中的数量关系，我们可以设鸡有x只，兔有y只，得方程组
解这个方程组，得
即笼中有鸡23只、兔12只．
三、举例分析
课件出示教材第115页例题．
师：题目中的已知量和未知量分别是什么？根据这些语句我们可以得出怎样的数量关系？你能根据得到的数量关系列出方程组吗？
学生讨论，每小组派代表回答．
引导学生总结列方程组解应用题的一般步骤：
(1)认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义；
(2)正确设出未知数；
(3)找出数量关系，并列出方程组；
(4)解此方程组；
(5)写出答案．
四、练习巩固
1．有2元、5元、10元的人民币共50张，合计305元，其中2元的张数和5元的张数相同，三种人民币各有多少张？
2．教材第116页“随堂练习”．
五、小结
1．通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握得怎样？
2．这里面应该注意的是什么？关键是什么？
3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的实际问题？
4．列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
六、课外作业
教材第116页习题5.4第1～4题．

二元一次方程组是初二数学的重点，而“鸡兔同笼”是中国古代《孙子算经》中的一个有趣的问题，是用二元一次方程组解决实际问题的一个典型的例子．通过古代的“鸡兔同笼”问题，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练，这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程(组)解决实际问题的意识和应用能力．另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能．
4　应用二元一次方程组——增收节支

1．进一步掌握利用二元一次方程组解决实际问题的方法．
2．根据具体问题的数量关系，形成方程模型，培养利用方程的观点认识现实世界的意识和能力．
3．通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程，培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想以及善于分析问题、解决问题的良好习惯．

重点
让学生熟练掌握利用二元一次方程解决实际问题的方法．
难点
根据具体情境分析未知量，正确列出二元一次方程组．

一、情境导入
师：同学们，你知道你的生活有哪些必要的开支吗？
师：经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加合理优化、更加幸福惬意吗？你能帮助解决下面的实际经济问题吗？
小明想买一个书包和随身听，在人民商场和家乐福都发现同款的书包单价相同，同款随身听的单价也相同，随声听和书包的单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，爸爸只给小明 400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
二、探究新知
填一填：
1．某工厂去年的总收入是x万元，今年的总收入比去年增加了20%，则今年的总收入是________万元；
2．若该厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是________万元；
3．若该厂去年的利润为200万元，今年的利润为780万元，那么由1, 2可得方程组____________________．
总结：解增降率问题常用的关系式为a(1±x)＝b，a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增加时为加，下降时为减．
三、举例分析
课件出示教材第117页例题．
分析：本题的数量关系为：
甲(乙)原料所含蛋白质(铁质)＝甲(乙)原料的质量×每克所含蛋白质(铁质)的含量．
甲原料所含蛋白质(铁质)＋乙原料所含蛋白质(铁质)＝营养品所含蛋白质(铁质)．
四、练习巩固
1．教材第118页“随堂练习”第2题．
2．课件出示题目：
通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
①快餐总质量为300 g；
②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪的质量占50%；矿物质的质量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物的质量占85%.
分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比．
分析：(1)师生共同找题目中的特征：
特征一：信息量多(有3条信息)关系复杂(有多个量参与)．
特征二：所求的量多(4个成分质量和所占的百分比)．
(2)找题中的等量关系：
a．蛋白质的质量＋脂肪的质量＝总质量×50%.
b．矿物质的质量＝2×脂肪的质量．
c．蛋白质的质量＋碳水化合物的质量＝总质量×85%.
d．碳水化合物的质量＋矿物质的质量＝总质量×50%.
……
解：设一份营养快餐中含蛋白质x g，脂肪y g，则含矿物质为2y g，碳水化合物为(300×85%－x)g.由题意，得
①＋②，得3y＝45，解得y＝15.
将y＝15代入①，得x＝150－y＝150－15＝135(g)．
2y＝2×15＝30(g)，
300×85%－x＝255－135＝120(g)．
营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比如下表：


蛋白质
脂肪
矿物质
碳水化合物
合计
各种成分
的质量(g)
135
15
30
120
300
各种成分所
占百分比(%)
45
5
10
40
100
　　归纳：解信息量大、关系复杂的实际问题时，要仔细分析题意，找出等量关系，利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题．
五、小结
1．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
2．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
问题方程(组)检验
3．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
六、课外作业
教材第119页习题5.5第1～4题．

列方程解题的分析方法多种多样，本课着力于介绍分析问题的一种比较有效的方法——图表分析法．列表分析有助于学生明确各数量间的关系，将较复杂的数量关系转化得更加清晰简洁，帮助学生理清题中的未知量、已知量以及等量关系，并根据等量关系列方程，易于突破难点；在实际教学中，学生掌握了图表分析的方法后，降低了思维难度，有效提高了准确率．学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同时，学到了一种分析数据的方法，为以后的学习、生活做准备.5　应用二元一次方程组——里程碑上的数

1．使学生学会用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，归纳用方程(组)解决实际问题的一般步骤．
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
3．在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功的乐趣，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．

重点
用二元一次方程组解决实际问题的步骤．
难点
在实际问题中找等量关系，列方程组．

一、情境导入
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1 h看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？

二、探究新知
1．课件出示教材第121页例题．
师：本题的等量关系有哪些？
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为________；在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为________．
师：你能列出怎样的方程组？
2．列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？
小组交流讨论，教师点评．
3．课件出示教材第121页“随堂练习”．
三、练习巩固
1．教材第122页习题5.6第2题．
2．A，B两地相距36 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4 h后两人相遇，6 h后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求甲、乙两人的速度？
四、小结
1．本节课我们学习了哪些内容？对这些内容你有什么体会和想法？请与同伴交流．
2．师生互相交流总结出列方程(组)解决实际问题的一般步骤．
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审题；(2)设未知数表示相关量；(3)列方程组；(4)解方程组；(5)检验；(6)答．
五、课外作业
教材第122页习题5.6第1，3，4题．

列二元一次方程组解决简单的实际问题，教师要注意引导学生自己分析题意，找出题目中所蕴含的相等关系，来建立数学模型．但这对多数学生来说，还是比较困难的，教学时不能急于求成，应循序渐进，引导学生在分析问题和解决问题的过程中不断摸索，积累经验，逐步提高自己的能力．要让学生经过自主探索、交流讨论，去尝试解决，并在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展，学会新的东西，发展自己的思维能力.6　二元一次方程与一次函数

1．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
2．通过学生的思考和操作，理解方程与图象之间的关系，引入用图象法解二元一次方程组．
3．通过学生的自主探索，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发学生学习数学的兴趣．

重点
二元一次方程和一次函数的关系．
难点
理解数形结合和数学转化的思想．

一、情境导入
迪卡儿的故事——蜘蛛给予的启示
十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行，迪卡儿看到蜘蛛的“表演”灵机一动．他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，迪卡儿创建了直角坐标系，在坐标系下几何图形和方程(组)建立联系．迪卡儿坐标系对数与形起到了桥梁和纽带的作用．从而我们可以把图象转化成方程来研究，也可以用图象来研究方程．
师：这节课我们就来研究二元一次方程(组)与一次函数的关系．
二、探究新知
1．二元一次方程和一次函数图象的关系．
课件出示问题：
(1)方程x＋y＝5的解有多少个？ 是这个方程的解吗？
(2)点(0，5)，(5，0)，(2，3)在一次函数y＝－x＋5的图象上吗？
(3)在一次函数y＝－x＋5的图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5吗？
(4)以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝－x＋5的图象相同吗？
由此得到本节课的第一个知识点：二元一次方程和一次函数图象的关系．
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上；一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．
2．探究方程与函数的相互转化．
(1)解方程组
(2)上述方程移项变形转化为两个一次函数y＝－x＋5和y＝2x－1，在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象(课件出示教材第123页图5－1)．
(3)方程组的解和这两个函数的图象的交点坐标有什么关系？
由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程的解和相应的两条直线的关系．
(1)求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线交点的坐标．
(2)求两条直线交点的坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．
(3)解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图象法三种．
总结：一般地，从图形的角度看，解一个二元一次方程组就相当于确定相应两条直线交点的坐标．利用一次函数图象可以粗略估计两直线交点坐标也可以找到二元一次方程组的近似解．要得到准确解，一般还是用代入消元法或加减消元法解方程组．
三、举例分析
课件出示教材第124页“想一想”．
总结：(1)观察发现直线平行无交点；
(2)小组研究计算发现方程组无解；
(3)从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立；
(4)两平行直线的k相等，方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解．
四、练习巩固
1．教材第124页“随堂练习”第1～2题．
2．求两条直线y＝3x－2与y＝－2x＋4和x轴所围成的三角形面积．
3．如图，两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解？


五、小结
以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：
1．二元一次方程和一次函数图象的关系：以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上；
一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．
2．方程组和对应的两条直线的关系：
方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；
两条直线的交点坐标是对应的方程组的解．
3．解二元一次方程组的方法有3种：
(1)代入消元法；
(2)加减消元法；
(3)图象法．需要强调的是由于作图的不准确性，由图象法求得的解是近似解．
六、课外作业
教材第124～125页习题5.7第1～4题．

本节课在学生学习了二元一次方程组和一次函数及其图象的基础上，通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法，进一步揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，很自然地得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系．进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．教学过程中教师一定要注意将图象与函数解析式之间的对应问题阐述清楚，让学生从根本上认识、理解“数”与“形”之间的密切关系．
7　用二元一次方程组确定一次函数表达式

1．掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，进一步理解方程与函数的联系．
2．在对作图象解法与代数解法的对比中，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化，灵活运用数形结合的思想．
3．通过对二元一次方程组与一次函数的探究，培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力．

重点
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
难点
理解并掌握数形结合的思想．

一、情境导入
师：同学们还记得二元一次方程组有哪些解法吗？
生：代入消元法、加减消元法、用一次函数的图象求解二元一次方程组．
师：很好！在同一直角坐标系中，两个一次函数的交点的坐标就是这两个一次函数的表达式组成的二元一次方程组的解，也就是说通过两个一次函数的图象的交点坐标就可以得到相应的二元一次方程组的解，那么反过来，我们能不能根据二元一次方程组确定一次函数的表达式呢？今天这节课我们就一起来探究这个问题．
二、探究新知
课件出示题目：
A，B两地相距100 km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数，1 h后乙距离A地80 km；2 h后甲距离A地30 km.问经过多长时间两人将相遇？
师：请同学们先独立思考并动手做一做，然后与同伴交流自己的方法．
师：教材中提供了三位同学的解法，请同学们阅读．
师：同学们能理解他们的做法吗？请大家也用他们的方法做一做，看看和你的结果是否一致．
学生尝试用上面三位同学的方法解题，然后交流讨论．
三、举例分析
课件出示教材第127页例题．
引导学生分析、设出关系式并解答．
展示学生研究结果进行讲评．
师：像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法．
四、练习巩固
1．教材第127页“随堂练习”第2题．
2．某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费方法，若某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示．

(1)分别写出当0≤x≤15和x>15时，y与x的函数关系式；
(2)若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
解：(1)当0≤x≤15时，设y＝k1x，根据题意得27＝15k1，解得k1＝1.8，所以当0≤x≤15时，y＝1.8x；当x>15时，设y＝k2x＋b，根据题意，可得方程组解这个方程组，得所以当x>15时，y＝2.4x－9.
(2)当x＝10时，代入y＝1.8x中，得y＝18.当y＝51时，代入y＝2.4x－9中，得x＝25.
五、小结
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
(1)用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b(k≠0)；
(2)将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
(3)解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式．
六、课外作业
教材第128页习题5.8第1～3题．

本节课的主要内容是在已经学习了二元一次方程组的解法和一次函数图象的基础上，采用以引导学生自主学习，通过活动进行分组合作探究学习的形式进行教学，在教学中放手让学生在探究活动中去经历、体验、观察、类比、讨论、合作、归纳．通过充分的过程探究，最后总结归纳出：一次函数与二元一次方程组之间的联系．这就要求我们：在新课程标准的指导下，认真研究教材，体会教材的编写意图．在此基础上，设计出既体现课程精神，又适合本班学生实际的教学案例．*8　三元一次方程组

1．理解三元一次方程组的概念，会解三元一次方程组．
2．感受“三元”化归到“二元”，再由“二元”化归到“一元”的数学思想．
3．经历探索求解三元一次方程组的过程，体会其内涵．

重点
掌握三元一次方程组的解法．
难点
三元一次方程组化归到二元一次方程组的方法．

一、情境导入
课件出示题目：
已知甲、乙、丙三数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数．
(这里有三个要求的量，直接设出三个未知数列方程组，顺理成章，直截了当，容易理解．)
师：如果设这三数分别为x，y，z，用它们可以表示哪些等量关系？
生：
师：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
生：①未知数的个数和方程都比二元一次方程组多一个；②未知数次数都是一次．
引出三元一次方程组的概念：
在这个方程组中，x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系，
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解．
二、探究新知
课件出示教材第130页例题．
引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法(代入消元、加减消元)，尝试对进行消元，从而解决问题．
步骤1：选取一种方法解此三元一次方程组，由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达．
步骤2：在学生独立选择方法解决的基础上，引导学生进行比较：在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？解上面的方程组时，你能先消去未知数y(或z)，从而得到方程组的解吗？
总结：
(1)三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行；
(2)用代入消元法：由于方程组③式的特点，可将③式分别代入①②式，消去x，从而转化为关于y，z的二元一次方程组的求解；
(3)用加减消元法：由于③式中没有含z，可以将①②两式联立相加，消掉z，从而得到关于x, y的二元一次方程组的求解．
注意：
(1)教师板书用代入法消元的求解过程，强调解题的格式．求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路：三元→二元→一元，关键在于消元；
(2)引导学生类比二元一次方程组加减消元法对方程组进行消元．
三、举例分析
1．课件出示教材第131页“随堂练习”第2题．
2．课件出示教材第131页习题5.9第1题的第(2)小题．
引导学生总结出消元的具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元．②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个．
四、练习巩固
教材第131页习题5.9第3题．
解：设七年级有x人，八年级有y人，九年级有z人，根据题意，得

由②可将z用y表示，由③可将x用y表示，代入①可得到关于y的一元一次方程．
解得
所以，七、八、九年级的学生人数分别为231人，220人，200人．
五、小结
1．三元一次方程组的概念及解三元一次方程组的思路．
2．三元一次方程组的解法．
注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：代入消元、加减消元．
3．谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想．

六、课外作业
1．教材第131页习题5.9第2题.
2．有同学说列三元一次方程组能解决的问题，一元一次方程也能解决，说一下你的看法．

本节课的内容属于选学内容，主要是对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用．在数学方法和思想方面需重点引导，通过引导，使学生明白解多元一次方程组的一般方法和思想，理解巩固环节需注意多种解题方法的引导，并且比较各种解题方法之间的优劣，总结出解多元一次方程组的基本方法．作为选修课，在内容上让学生理解三元一次方程组概念的同时，要让学生理解用三元一次方程组甚至多元一次方程组去求解实际问题的必要性，从而掌握本堂课的基础知识．在教学的过程中，要让学生充分理解对复杂的实际问题方程中元越多，等量关系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加减消元法解方程的优点和缺点，有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、合作，其理解才会深刻．