北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 教案

这是一份北师大版数学八年级上册 第七章 平行线的证明 教案，共21页。
第七章　平行线的证明
1　为什么要证明

1．使学生经历通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确的过程认识到证明的必要性．
2．理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例推理证明等，理解数学的严谨性．
3．发展学生的探索意识以及合作交流的习惯；关注现实，培养学生进行深入思考的能力和质疑精神．

重点
理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法．
难点
体会数学推理的重要性和必要性．

一、情境导入
师：在以前的学习过程中，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论，那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？下面我们一起来学习第七章第一节的内容：为什么要证明．
二、探究新知
1．探究一：观察得到的结论正确吗？
课件出示教材第162页“做一做”上面的题目．
学生凭着自己的观察和直观感觉说出想法后，组织学生动手量一量、算一算，验证结论是否正确．
然后引导学生回答下列问题．
(1)由观察得到的结论正确吗？
(2)你还能举出日常生活中的例子吗？
2．探究二：归纳得到的结论正确吗？
(1)听故事“公鸡归纳法”．
某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡，到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．
师：第1天有米吃，第2天有米吃……第99天有米吃，一定能推出第100天有米吃吗？从这个故事中你明白了什么道理？同桌之间相互交流．
(2)算一算验证“归纳法”．
课件出示教材第162页“做一做”第(1)题．
师：我们是不是可以由此得出结论：当n为任意自然数时，n2－n＋11的值一定是质数呢？
让学生再多取几个数代入代数式中，验证结论是否正确．
(不正确，比如当n＝11时，n2－n＋11＝121，结果是合数．)
思考：由归纳得到的结论一定正确吗？
(3)再次验证“归纳法”．
课件出示教材第162页“做一做”第(2)题．
DE与BC平行，且等于BC长度的一半；引导学生尝试猜想：连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边，且是第三条边长度的一半；组织学生进行归纳并验证结论，发现这样的结论对所有的三角形都成立．
小结：归纳得到的结论有的正确有的不正确．
3．交流与发现．
师：通过上述几类问题的分析，你有什么发现吗？
师：通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确？怎样判断一个结论是否正确呢？
总结：实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．
三、举例分析
1．课件出示教材第163页“随堂练习”第1题第(1)题．
解：线段b与线段d在同一条直线上．
2．课件出示教材第163“随堂练习”第1题第(2)题．　　分析：观察往往会产生错觉，得出的结论不一定正确，想要判断两条线段是否一样长，最科学、合理的方式是量一量，组织学生动手操作量一量．
解：两条线段一样长．
四、练习巩固
观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？

解：一样大．

说明：实验、观察、归纳得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
五、小结
1．通过本节课的学习，我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确，从而明白证明的意义和必要性．
2．让学生反思自己在本节课学习中的优缺点及改进的方法，并能积极地参与总结性的发言．
六、课外作业
教材第164页习题7.1第1～3题．

本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面．不是一味地强调证明的必要性，而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中突出体现了学生的主体地位．
2　定义与命题
第1课时　定义与命题

1．了解定义与命题的含义，会区分某些语句是不是命题；能找出命题的条件和结论．
2．用数学的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征．
3．通过对某些语句特征的判断，养成严谨的思考习惯．

重点
理解命题的概念，找出命题的条件和结论．
难点
正确找出命题的条件和结论．

一、情境导入
课件出示：
小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．
小亮说：……
小刚说：“是的，现在因特网广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但……”小亮说：“……”
小刚说：“……”
小亮说：“哈！这个黑客终于被逮住了．”……
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄议论着：
一人说：“这黑客是个小偷吧？”
另一人说：“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”……
一人说：“那因特网肯定是一张很大的网．”
另一人说：“估计可能是英国造的特殊的网．”……
师：在这个故事中，你得到什么启示？
(人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行．为此，我们需要给出它们的定义．)
二、探究新知
1．命题．
课件出示教材第165页“议一议”．
学生小组讨论，指名汇报，教师点评，并引出命题的概念．
像这样，对事情作出判断的句子，就叫做命题．即：命题是判断一件事情的句子．例如，上面“议一议”中的(1)(2)(3)(4)对事情进行了判断，都是命题．
如果一个句子没有对某一事情做出任何判断，那么它就不是命题．例如，上面“议一议”中的(5)(6)都不是命题．
师：大家能举出这样的例子吗？
学生分小组讨论回答：
任意一个三角形都有一个直角．
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
全等三角形的对应角相等．
……
2．命题的条件和结论．
阅读教材第166页“想一想”，完成下列小题．
(1)这些命题都有________________的结构特征．
(2)一般地，每个命题都由________和________两部分组成，________是已知的事项，________是由已知事项推断出的事项．命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“________”引出的部分是条件，“________”引出的部分是结论．
3．完成教材第166页“做一做”．
三、举例分析
1．举出一些是命题的语句．
教师引导学生回答问题．
2．举出一些不是命题的语句．
教师引导学生回答问题．
四、练习巩固
1．下列句子中哪些是命题？
(1)画线段AB＝3 cm；
(2)两条直线相交，有几个交点？
(3)等于同一个角的两个角相等吗？
(4)在射线OA上，任取两点B，C.
2．指出下列命题的条件和结论．
(1)若a＞0，b＞0，则ab＞0；
(2)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
(3)同角的补角相等；
(4)内错角相等，两直线平行．
五、小结
1．定义的含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义．
2．命题的含义：判断一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．
六、课外作业
教材第167页习题7.2第1～3题．

教学中以学生自主探索为主，通过学生活动，了解定义的含义．通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论，加深了学生对命题结构的理解与记忆．整个教学过程中以学生讨论为主，极大地调动了学生的学习积极性，激发了学生学习的兴趣．在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理，加深对新知识的认识，逐渐形成对知识的迁移与应用．
第2课时　公理、定理及证明

1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．

重点
理解公理、定理的概念．
难点
正确认识公理、定理、命题(真命题)之间的区别与联系．

一、复习导入
1．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)同一平面内的两条直线不是平行就是相交；
(2)画一个长方形和正方形；
(3)直角小于钝角；
(4)4是偶数吗？
师：判断一件事情的句子叫做命题．命题由题设(或条件)和结论两部分组成．
2．下列命题的条件是什么？结论是什么？
(1)如果地面是潮湿的，那么下雨了；
(2)同位角相等，两条直线平行；
(3)三角形两边之和大于第三边．
师：在上述命题中，哪些正确？哪些不正确？你的理由是什么？
二、探究新知
1．真命题、假命题．
课件出示教材第166页“做一做”．
学生独立完成后，指名汇报，教师点评，并引出真命题、假命题的概念．
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称反例．
2．公理、定理．
指导学生阅读教材第168～169页的内容，并回答下列问题：
(1)什么叫公理？公理的意义是什么？
(2)定理的概念是什么？它和公理有什么区别和联系？
(3)我们学过哪些公理？哪些定理？
小结：
(1)公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为证实其他命题的出发点和依据．这样公认为正确的命题叫做公理．
(2)定理：经过证明的真命题叫做定理．
(3)定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据．
三、举例分析
课件出示教材第169页例题．
由上面的例题，得到定理：对顶角相等．
四、练习巩固
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
∴∠3＝180°－∠1，∠4＝180°－∠2(补角的定义)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠3＝∠4(等量代换)．
(2)证明过程与(1)类似，鼓励学生自己证明．
五、小结
本节课的重点是了解命题中的真假命题、公理、定理的含义，通过学习学会区分命题的条件、结论，学会判别真、假命题，理解反例、证明等概念．
六、课外作业
1．下列说法正确的是(　　)
A．真命题都可以作为定理
B．公理不需要证明
C．定理不一定都要证明
D．证明只能根据定义、公理证明
2．教材第170页“随堂练习”．

本节课主要学习了公理、定理的概念，了解了判断一个命题是真命题还是假命题．教学中应注意培养学生通过举反例判断假命题的能力，应让学生明白：经过确认可以通过逻辑推理证明的真命题才有可能作为定理，成为以后证明的依据，另外应注重培养学生知识间的联系与应用，培养学生综合运用所学知识解决问题的能力．
3　平行线的判定

1．熟练掌握平行线的判定定理； 能对平行线的判定进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．
2．通过学生画图、讨论、推理等活动，体会证明的基本方法和过程，体验推理的严谨性和结论的确定性，同时给学生渗透化归思想和分类思想．

重点
掌握平行线的判定定理及灵活运用．
难点
平行线判定定理的应用．

一、复习导入
1．什么叫做平行线？(同一平面内，两条直线不相交，就叫做平行线)
2．什么叫做同位角、内错角和同旁内角？
3．前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件？
师：通过前面的学习我们知道，判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明，那么，利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明下列定理吗？我们一起来试一试．
二、探究新知
1．平行线的判定定理一．
(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行．
(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言，谁能说一说，怎么转化？
(画出两条直线a，b，被第三条直线c所截，标出内错角∠1和∠2，表示如果∠1＝∠2，那么a∥b.)
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2.
求证：a∥b.

(3)怎么证明呢？请写出完整的证明过程．
证明：∵∠1＝∠2(已知)，∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠3＝∠2(等量代换)．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
2．平行线的判定定理二．
(1)定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行．
(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二．
(3)讨论：要由同旁内角互补证明两直线平行，怎么证明？
(我们知道有基本事实“同位角相等，两直线平行”，如果能由同旁内角互补推出同位角相等，那么根据已有的这个基本事实就能证明两直线平行)
(4)学生板书证明过程．
三、举例分析
1．如图①所示，由∠DCE＝∠D，可判断哪两条直线平行？由∠1＝∠2，可判断哪两条直线平行？

2．如图②，已知∠1＝45°，∠2＝135°，l1∥l2吗？为什么？
学生思考后回答问题，教师点评．
四、练习巩固
1．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是(　　)
A．a∥d　　B．b⊥d　　C．a⊥d　　D．b∥c

2．如图，∠B＝60°，∠1＝________时，DE∥BC，理由是________________．
五、小结
1．如何判断两条直线平行？
2．通过这节课的学习你还有哪些收获？

六、课外作业
教材第173～174页习题7.4第1～4题．

本节课学习了判定两条直线平行的三个方法，其中一条是判定公理，另外两个是判定定理．判定公理是我们证明两直线平行的原始依据，在具体证明过程中，应根据已知条件灵活地选择判定方法．很多时候往往不能直接运用判定定理，此时需要进行适当地转化，有时需要添加必要的辅助线．注意：作铺助线时应用虚线．
4　平行线的性质

1．掌握平行线的三条性质定理；能熟练运用这三条性质定理证明几何题；进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法．
2．经历观察、操作、推理、交流等学习活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力．

重点
掌握平行线的性质定理．
难点
平行线性质定理的应用．

一、复习导入
师：平行线的判定方法有哪些？
师：在上一节课中，我们证明了有关平行线的判定定理，那么对于平行线的性质，又怎么证明呢？能运用上节课积累的方法进行证明吗？今天这节课我们一起再来试一试证明它们．
二、探究新知
1．平行线的性质定理一．
证明：两直线平行，同位角相等．
(1)你能用几何语言描述这样的证明题吗？
已知：直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角．
求证：∠1＝∠2.

(2)如果直接进行证明的话，难以找到能够作为依据的相关事实、定理，该怎么办？(提示学生可以用反证法，假设结论错误，再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方，说明假设不成立，从而得证)
(3)如果∠1≠∠2，那么是否存在另外一条直线，它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1′，有∠1′＝∠2呢？(有)
(4)如果有，是否意味着这条直线和CD平行？(是的，同位角相等，两直线平行)
这条直线可以是任意一条，也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)作这样的一条直线，此时我们发现过M点有两条直线与CD平行，这可能吗？(不可能，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)
(5)这样看来假设不能成立，说明什么？(∠1＝∠2)
(6)学生根据讨论、交流，板书证明过程．
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2，如图所示．

根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行．
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾．
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.
2．平行线的性质定理二．
证明：两直线平行，内错角相等．
(1) 你能用几何语言描述题目要求吗？
已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角．
求证：∠1＝∠2.

(2)我们已经证明了两直线平行，同位角相等，可以将这个作为基本的事实(定理)，你能尝试完成吗？
证明：∵l1∥l2(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2(等量代换)．
3．平行线的性质定理三．
师：你能按照上面的思路证明两直线平行，同旁内角互补吗？
学生独立完成，指名板演，教师讲评．
三、举例分析
课件出示教材第176页例题．通过例题，得出定理：平行于同一条直线的两条直线平行．
四、练习巩固
1．请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定，它们有什么不同？
2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是(　　)
A．相等　B．互补　C．相等或互补　D．相等且互补
五、小结
1．这节课你有什么收获？
2．平行线的性质定理有哪些？
3．完成一个命题的证明，需要哪些环节？
六、课外作业
教材第177页习题7.5第1～4题．

本节课主要学习了平行线的三条性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的性质定理和判定定理中的条件和结论刚好相反，在具体应用时要注意，当知道两条直线平行时，要利用其性质得出相关的角相等或互补，当不知道两条直线是否平行时，要用相关的角相等或互补判定两直线平行．
5　三角形内角和定理
第1课时　三角形的内角

1．掌握三角形内角和定理的证明及简单应用；灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．
2．用多种方法证明三角形内角和定理，培养一题多解的能力．

重点
掌握三角形内角和定理的证明及简单应用．
难点
灵活运用三角形内角和定理解决相关问题．

一、情境导入
用折纸的方法验证三角形内角和定理．
先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图①)，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图②、③)，最后得图④所示的结果．

试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，还有其他折法吗？
二、探究新知
1．将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起．
试用自己的语言说明这一结论的证明思路．想一想，如果只剪下一个角呢？
2．用严谨的证明来论证三角形内角和定理．看哪个同学想的方法最多？

方法一：过A点作DE∥BC.
∵DE∥BC，
∴ ________________(两直线平行，内错角相等)．
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°，
∴________________ (等量代换)．
方法二：延长BC到D，过点C作射线CE∥BA.
∵CE∥BA，
∴∠B＝________________(两直线平行，同位角相等)．
∠A＝________________(两直线平行，内错角相等)．
∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝________________ (等量代换)．
添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．
三、举例分析
课件出示教材第179页例1.
小组合作解决问题并完成证明．
四、巩固练习
教材第179页“随堂练习”第1～3题．
五、小结
1．通过本节课的学习，我们了解证明三角形内角和定理的几种方法，学会了作辅助线创造条件以达到证明的目的．
2．让学生反思自己本节课学习中的优缺点及改进的方法．
六、课外作业
教材第180页习题7.6第1～4题．

根据课程的特点，创设问题情境，以引导学生探索、运用为主线来展开．坚持以学生为本的原则，引导学生操作、探索、讨论、归纳．在教学过程中，引导学生去探索，使学生感受到添加辅助线的教学思想，更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用，从而实现教师是引导者和学生是主体的课堂教学理念．


第2课时　三角形的外角

1．掌握三角形外角的两条性质；进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧；灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．
2．进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识．

重点
掌握三角形外角的两条性质．
难点
灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题．

一、情境导入
师：在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的边BC延长到D得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我们就给这个角命名，并且来研究它的性质．
二、探究新知
1．三角形外角的概念．
三角形的外角：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
(1)如下图，∠________是△ABC的一个外角．你还能作出△ABC其他的外角吗？

(2)观察上图的外角，你能总结出三角形外角有哪些特征？
①顶点在________________上；
②一条边是三角形的____________；
③另一条边是三角形某条边的______________．
2．三角形内角和定理的推论．
课件出示：如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

师：由上面的推导过程我们可以得到两个定理：
定理1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
定理2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
推论：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论．推论可以当做定理使用．
三、举例分析
1．课件出示教材第181页例2.
(1)要证明AD∥BC，只需证明哪两个角相等？
(2)如何利用题目中的条件？
(3)你能说说自己的解题思路吗？
(4)你还有其他的证明方法吗？
(5)大家通过小组合作能解决问题并完成证明吗？
证明：∵∠EAC＝∠B＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，
∠B＝∠C(已知)，
∴2∠B＝∠EAC(等式的性质)．
∵AD平分∠EAC(已知)，
∴2∠DAE＝∠EAC(角平分线的定义)．
∴∠DAE＝∠B(等量代换)．
∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
2．课件出示教材第182页例3.
引导学生用不同的方法证明．
四、练习巩固
教材第183页“随堂练习”第1，2题．
五、小结
1．这节课你有什么收获？
2．三角形外角的两条定理是什么？
六、课外作业
教材第183页习题7.7第1～3题．

本节课主要学习三角形外角的两个性质．因为这两个性质是由三角形内角和定理经过推理得来的，所以这两个性质也叫三角形的内角和定理的推论．当遇到证明角的不等关系时应自然想到用三角形的外角的性质．在解决实际问题时，根据题意构建几何模型是解题的关键．
综合与实践
⊙计算器运用与功能探索

1．指导学生学会应用计算器进行实数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算．
2．用计算器完成较为繁杂的计算，鼓励学生用计算器探索规律．
3．使学生了解计算工具的发展历史，进一步认识到数学来源于生活服务于生活的道理，通过类比认识到现代信息技术是学习数学和解决问题的强有力的工具．

重点
计算器的使用及技巧．
难点
运用计算器进行较为繁琐的运算和探索规律，熟练准确地运用计算器进行计算．

一、情境导入
我们日常生活中常常会遇到很多的计算问题，如到市场买菜、到超市买生活用品、到银行存款、到商店买学习用品等都会遇到计算问题，这些地方是怎样计算价格的？
学生回答可能有：口算、用计算器、用算盘、电脑，综合学生的回答作如下引导，同学们发现了没有，这些计算方法各有什么特点？(心算快捷用于简单的运算，算盘用于较为麻烦的运算，但是用的人越来越少，计算器使用范围广，操作简便，男女老少都能用，电脑在银行、超市中使用准确，快捷)由学生的回答进一步引导，大家知道计算器的发展历史吗？由学生回答后教师作简单的讲解(见准备材料)．
二、探究新知
1．探究问题1.
课件出示问题1：任选一个三位数(要求：百位数比个位数至少大2)，将这个数的百位、十位、个位数字顺序完全颠倒，得到另一个三位数，用其中较大的那个三位数减去较小的三位数，再将所得差的各位数字的顺序完全颠倒，又得到一个三位数，将这个三位数再加上差本身，你得到的结果是多少？ 学生小组讨论完成．
注意：教师要强调运算的顺序，任何一步的错误都会影响结果和规律的探索．
师：请同学们用计算器验证刚才计算的过程，看结果是否一致．
学生小组验证，进一步明确计算的过程，选一名代表作记录．
师：再换几个数试试，你发现了什么？
学生小组合作完成，谈论发现的规律，派代表发言．
(按照问题1的过程计算，所得结果都是1 089)
师：任选一个四位数，仿照上面的规则，你会得到什么结果呢？如果任选一个五位数呢？……
学生小组交流讨论，汇总所得的结果，对结果进行分析找出存在的规律．
2．探究问题2.
课件出示问题2：任选一个正数，执行下列操作：加1，再取倒数．将所得到的结果不断执行上述操作……你发现了什么？
学生小组合作探究，派代表作记录，观察所得到的结果存在的规律．(所得结果取三位小数都是0.618)
师：如果改变操作规则：加2，再取倒数．将所得到的结果不断执行上述操作……你发现了什么？
学生小组合作探究，派代表作记录，观察所得到的结果存在的规律．(所得结果取三位小数都是0.414)
3．探究问题3.
课件出示问题3：借助你的计算器分别得出，，，的循环节．
学生用计算器计算并总结．
4．探究问题4.
课件出示问题4：如果计算器上的某个数字按键(比如3)坏了，怎么计算含有这个数字的算式呢？(如2＋3，34－12，3×49，325，413，…)
学生小组讨论，交流想法．
师：如果某个运算符按键坏了，又该怎么办呢？
学生小组讨论，派代表发言．
三、举例分析
1．课件出示：用计算器计算：
112＝　　　　　　1112＝
1 1112＝ 11 1112＝
111 1112＝
通过计算你发现了什么规律？你能用这个规律写出11 111 1112的结果吗？111 111 1112呢？
2．按下面的步骤做一做：

↓

↓

四、小结
今天这节课我们学习了用计算器计算，你有什么体会？你觉得今天的学习对你有用吗，能不能说说？
启发学生说出本节课的感受与体会，教师补充以下两条：
(1)科学计算器有哪些主要功能键？
(2)用计算器计算时输入顺序与书写顺序有何关系？
五、课外作业
1．按下列程序计算，把答案写在表格内：n→平方→＋n→÷n→－n→答案．
(1)填写表格：

输入n
3

－2
－3
…
输出答案
1



…
　　(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并予以化简．
2．算式5×(7－2)－33的按键顺序正确的是(　　)
A．7－2×5－3xy3＝　　　　B．5×(7－2)－3xy3＝
C．5×7－2－3xy3＝ D．3xy3－5×(7－2)＝

在本节课的教学实践中发现，学生的动手能力很强，操作熟练快捷，获悉按键功能比较顺利，所以应该放心地让学生去操作发现按键功能，不必教师讲解，而且教师讲授远比不上学生自己实践的效果好，但应注意的是学生发现按键功能后教师要及时总结，有条理地展示给学生，便于学生记忆．学生体验到计算器处理复杂计算的优越性后，必然会产生对计算器的依赖心理，实践证明，在今后的学习过程中，学生离不开计算器的现象普遍存在，影响了对估计、笔算、心算的学习，所以在本节课后，应随时控制计算器的使用，教育学生不能随意使用计算器，而应按学习要求，适当选用各种算法．


⊙哪一款手机资费套餐更合适

1．能找出生活中类似“手机资费”的问题．
2．能从类似“手机资费”的问题中建立一次函数模型，感受函数表达数中的k，b在具体情境中的实际意义．
3．通过对比，能分析说明不同套餐分别适用的消费群体．

重点
能从类似“手机资费”的问题中建立一次函数模型，感受函数表达中的k，b在具体情境中的实际意义．
难点
通过对比，能分析说明不同套餐分别适用的消费群体．

一、情境导入
师：当今手机遍布了每个人的生活，它不仅仅带来了方面，也带来生活开销．到底该选择哪一款手机资费套餐更合适呢？
课件出示：现有小明到营业厅为其家人选择手机套餐，业务员给他推荐了下面三种套餐．但小明不知道该选择哪一款套餐更合适？请你帮帮他．

套餐
类型






资费内容






月租
本地主叫
长途主叫
本地及长途被叫
套餐包含内容
备注

A
0元
0.2元/min
0.3元/min
免费
来电显示＋30M流量
本地通话最低消费10元，流量按0.3元/M收费
B
18元
0.12元/min
0.25元/min
免费
来电显示＋100M流量＋100 min本地通话
流量按0.3元/M收费
C
38元
0.1元/min
0.2元/min
免费
来电显示＋500M流量＋1 000 min本地通话
流量按0.3元/M收费
　　小红了解情况后，就问小明：“你家人每月打多少电话呢？”小明答：“我爷爷每月主要接电话，打电话一般打短途，时间少的时候为40 min、50 min，多的时候为90 min.”
小红又问小明：“那你妈妈呢？”小明答：“妈妈电话也不多，也主要是短途电话，时间少的时候为100 min、150 min，多的时候为500 min，有的时候我要玩她手机，要保证100 M流量．”
“那你爸爸呢？”小红问， “爸爸打短途电话很多，时间少的时候为1 100 min、1 200 min，多的时候为1 300 min，还经常上网，流量大概要用300 M流量．” 小明答．
二、探究新知
1．课前练习．
师：请同学们结合上面三段话，填写下面的表格，并说说小明的爷爷、妈妈、爸爸应该选择哪一种手机套餐更合适．
表1　爷爷的套餐费用

套餐时间
40 min
50 min
90 min
A套餐费用(元)



B套餐费用(元)



C套餐费用(元)



表2　妈妈的套餐费用

套餐时间
100 min
150 min
500 min
A套餐费用(元)



B套餐费用(元)



C套餐费用(元)



表3　爸爸的套餐费用

套餐时间
1 100 min
1 200 min
1 300 min
A套餐费用(元)



B套餐费用(元)



C套餐费用(元)



　　2.课堂探究．
小张听说小红帮小明解决问题后，也来问小红．
“小红，我家人该选择A、B、C哪一种呢？”
“你家人每月本地通话时间和流量费用是多少呢？”小红问．
“我也不怎么清楚，你能不能告诉我，在不考虑流量费用的情况下，本地通话时间在什么情况下，我该选择套餐A、套餐B、套餐C呢？”
于是，小红建立如下表格．请同学们填充下面表格．
表4　A套餐资费表

套餐费用(元)/通
话时间(min)
40
50
90
100
150
500
1 100
1 200
1 300
A套餐资费费用









表5　B套餐资费表

套餐费用(元)/
通话时间(min)
40
50
90
100
150
500
1 100
1 200
1 300
B套餐资费费用









表6　C套餐资费表

套餐费用(元)/
通话时间(min)
40
50
90
100
150
500
1 100
1 200
1 300
C套餐资费费用









　　小组活动一：
(1)请小组合作并讨论，并分别列出套餐A、B、C资费标准下，资费套餐费用y(元)与通话时间x (min)的关系式．
(2)根据表4、表5、表6的部分数据，在坐标系中标出对应点．

小组活动二：
(1)观察图象，在什么情况下，选择套餐A？说明理由.
(2)观察图象，在什么情况下，选择套餐B？说明理由．
(3)根据问题(1)(2)，发现规律，说说在什么情况下，选择套餐C.
小组活动三：
(1)当x＝0，x＝90，x＝1 100时，三种函数关系式有什么特点？
(2)利用问题(1)的发现，思考不画图和列表，只通过表达式的计算，判断选择何种套餐．
三、举例分析
1．生活中有很多与上述“手机资费”类似的问题情境，其中变量之间的关系可以用一次函数近似表述，请你找出一些这样的问题；
2．一次函数由两个系数k，b确定，在你所举的具体背景中，k，b的具体意义是什么？具体背景中哪些因素可以导致k，b的变化．
四、练习巩固
某人1月至5月的通话情况如下表，请根据月平均通话时间算算看，选择哪种套餐更合适？

　月份
通话时间　
1月
2月
3月
4月
5月
月平均通话时间(min)
本地通话时间(min)
344
356
321
384
345
350
长途通话时间(min)
4
9
6
2
0
4.2

套餐
名称



资费内容



拨打本地电话
拨打长途电话
基础定制

A
0.2元/min
0.32元/min
2元天气预报＋3元来电显示＋5元彩铃
B
0.18元/min
0.25元/min
市话最低消费54元
C
0.15元/min
0.3元/min
3元来电显示＋2元天气预报或新闻早晚报
　　 固定本地通话时间以长途通话时间为主：设长途通话时间为x min，手机费用为y元，写出三种套餐相应的函数表达式．
五、小结
1．所得的函数表达式中的k，b对每月资费有怎样的影响？
2．用一次函数建模来解决实际生活中的类似问题，我们研究的主要思路是什么？

通过本节课的学习，学生掌握了解决“手机资费”问题的数学方法，但利用本节课学习的方法来解决类似问题，又有所不同．让学生带着问题观察生活，发现生活中的数学，感受数学，并应用本节知识．⊙哪个城市夏天更热

1．经历数据收集、处理、分析的全过程，进一步发展学生的数据分析观念，提高运用统计知识解决实际问题的能力.
2．经历小组合作与交流活动，进一步积累数学活动经验，发展合作能力.
3．体会数学与生活的密切联系，感受数学的广泛应用.

重点
综合平均数、方差、极差等知识分析实际问题．
难点
衡量标准的选择和确定，综合运用各学科知识对获取的信息进行合理解释．

一、情境导入

师：哪个地方的夏天更热呢？比较两个地方的冷热能不能凭自己的感觉作出判断呢？教师进行适当的引导引出本节课的课题．
师：同学们你所了解的影响一个城市天气冷热的因素有哪些？
(学生口答：温度、湿度、降水量、风速、地形、太阳辐射、植被、日照时间、人口密度、海拔、纬度等)
师：为了对这些因素作出客观判断，我们该收集哪个时间段内的相关数据？
(学生口答：夏天7月份，冬天12月份)
展示课前学生完成的作业：任选两个你喜欢的城市收集2015年夏季同一时段连续十天的相关数据，选择合适的方式对收集的数据进行整理，并比较哪个城市的夏季更热．(教师选择具有代表性的不同类型让学生展示，并给予积极的评价与肯定)
二、探究新知
1．想一想．
(1)影响人体冷热感觉的因素有哪些？
(穿衣的多少、所处的位置、温度、湿度、风速、降水、季风、海拔、海陆位置、纬度、地形、日照时间等．)
(2)其中更能体现一个城市夏季气候特点的因素是哪几个？
(学生意识到众多因素中最能体现城市夏季气候特点的主要是温度、降水和风速，从而针对温度、降水以及风速进行下面的探究)
2．小组合作完成探究．
师：要对两地进行比较，就必须做到统一时间段、统一标准、统一衡量尺度，从不同的层面进行，运用统计知识(平均数、中位数、众数、极差、方差等)以及各学科知识对获取的信息进行合理解释，作出相应的决策．
3．做一做．
师：下面我们就以各小组为单位，分工合作，以老师给你们提供的2014年7月份贺兰县与固原市两地的部分气象资料数据开展研究，各组将自己设定的比较标准填写在所发的表格中，对数据进行分析、处理．(使用计算器计算)
(1)每一小组选取两地7月9日～21日内连续13天不同因素进行分析．
(2)运用统计知识对数据进行分析处理以及各学科知识对获取的信息进行合理解释，作出相应的决策．
(3)进行全班交流．

贺兰县2014年7月气象数据







日期
平均温度
最高气温
最低气温
最小湿度/%
降水量/mm
平均风速
最大风速
9
18
23
15
57
0
0.4
1.4
10
21
31
14
28
0
0.5
1.3
11
20
27
18
46
2.6
0.8
4.2
12
21
29
14
31
0
0.7
2.1
13
20
30
14
31
0
0.7
2.1
14
22
32
14
20
0
0.4
2.3
15
25
35
16
13
0
0.6
2.3
16
26
36
19
19
0
0.4
2.3
17
27
36
18
22
0
0.8
2.4
18
28
36
19
19
0
1.4
2.9
19
28
34
21
32
0
1.6
3.8
20
28
33
22
34
0
1.7
3
21
22
28
20
35
8.7
1.6
2.9


固原市2014年7月气象数据







日期
平均温度
最高气温
最低气温
最小湿度/%
降水量/mm
平均风速
最大风速
9
18
20
11
64
3.4
3.7
2.5
10
21
26
13
35
0
0.3
3.5
11
18
27
16
53
0
0.3
3.2
12
22
23
14
38
6.8
7.1
3.2
13
21
27
13
35
5.6
5.9
5
14
23
24
14
27
3.4
3.7
3.7
15
25
27
12
20
0
0.3
3.4
16
24
25
11
46
7.2
7.5
3.4
17
25
25
14
29
0
0.3
3.5
18
26
25
13
36
4.5
4.8
4
19
27
29
14
39
0
0.3
4.9
20
25
27
15
41
2.3
2.6
4.1
21
25
28
13
42
9.2
9.5
5.2

　　　　影响因素
城市名称　　
贺兰县
固原市
　　三、举例分析
1．你现在能为小明与小亮在哪儿过假期作决定了吗？
2.大家的结论一致吗？是什么原因导致了不同的结论？
教师对各小组的研究成果给予评价，最后明确：去哪里过假期除了运用统计知识进行解释外，在实际情况中还应考虑个人的适应情况，不是温度低就去，要综合考虑各种因素．而比较两个城市究竟哪个更热，在不同标准下，分析结果会不一致，我们现只抽样了一年中7月份的相关数据，不足以说明问题，真正要研究两个城市夏天哪个更热应至少搜集30年以上的数据进行分析．
四、练习巩固
大连和青岛是两个美丽的海滨城市，你知道在哪个城市居住，人们生活的幸福指数更高吗？
(1)小组讨论，设计方案并阐述你们的设计思路.
(2)以小组为单位，收集数据，整理数据，并对数据进行分析，完成一份调查报告．
五、小结
回顾本节课问题的探究过程，我们的探究思路是什么？你有哪些感悟和收获？你对小组成员有什么评价和建议？你还能解决生活中遇到的哪些问题？
六、课外作业
教材192页习题．

这节综合实践课，设置在平均数、极差、方差、标准差等数据分析知识之后，学生此时已经积累了部分数学活动经验，教师充分考虑了八年级学生的年龄特点、知识基础和活动能力，整节课都是在学生活动、学生探究、学生实践中完成的，教师起到了引领和指导的作用，充分发挥了学生的主观能动性，给学生提供了多角度思考、多途径解决问题的空间和时间．在本节课的课前准备和授课过程中，教师抓住学生好动、善钻研的特点，给学生提供了充分自主探究的空间，鼓励学生多种途径开展调查活动，通过有效的问题引领启发学生如何筛选数据、如何制定标准、如何借助标准对实际问题作出决策．利用所学知识解决实际问题，这种亲身经验对于学生来说是非常宝贵的，也是本节课最突出的亮点之一，通过这种方式对学生综合能力的提高起到了重要的推动作用.