2021-2023年高考数学真题分类汇编专题05 立体几何（选择题、填空题）（文）（2份打包，原卷版+解析版）

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知识点1：三视图
知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积
知识点3：空间直线、平面位置关系的判断
知识点4：线线角、线面角、二面角
知识点5：外接球、内切球问题
知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
近三年高考真题
知识点1：三视图
1．（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的体积（单位： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，
所以几何体的体积为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022•甲卷（文））如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．8B．12C．16D．20
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 ，
四棱柱的底面是直角梯形 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该多面体的体积为：
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图还原原几何体如图，
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，
则该四面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的体积（单位： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直四棱柱，底面四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，由三视图可知，延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，等腰梯形的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则该几何体的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2021•甲卷（文））在一个正方体中，过顶点 SKIPIF 1 < 0 的三条棱的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．该正方体截去三棱锥 SKIPIF 1 < 0 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．B．C．D．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，作出正方体，截去三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，根据正视图，
可得 SKIPIF 1 < 0 在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，
可得相应的侧视图是 SKIPIF 1 < 0 图形，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2021•乙卷（文））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）．
【解析】观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，
④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，
当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，
当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．
故答案为：②⑤或③④．
知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积
7．（2023•甲卷（文））在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该棱锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中，求得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2023•天津）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积之比为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积之比为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一：如图 SKIPIF 1 < 0 为正四棱台， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正四棱台的体积为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
SKIPIF 1 < 0 该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
SKIPIF 1 < 0 该棱台的记 SKIPIF 1 < 0 ，
下底面面积 SKIPIF 1 < 0 ，上底面面积 SKIPIF 1 < 0 ，
则该棱台的体积为：
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
10．（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 SKIPIF 1 < 0 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．23B．24C．26D．27
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，该组合体由直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 和直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 组成，且 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
设重叠后的 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
方法①：四个形状相同的三棱锥 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的体积之和，加上正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积：
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高等于 SKIPIF 1 < 0 的长，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
该组合体的体积 SKIPIF 1 < 0 ；
方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积：
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高等于 SKIPIF 1 < 0 的长，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
该组合体的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2022•甲卷（文））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 SKIPIF 1 < 0 ，侧面积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，体积分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，
甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，高分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 SKIPIF 1 < 0 上升到 SKIPIF 1 < 0 时，增加的水量约为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意，增加的水量约为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，设母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该圆锥的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
14．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为底面直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在底面圆周上，且二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．该圆锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 B．该圆锥的侧面积为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由二面角的定义可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角即为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
15．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的体积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【解析】如图所示，根据题意易知△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又上下底面正方形边长分别为2，4，
SKIPIF 1 < 0 所得棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：28．
17．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该棱台的体积为 ．
【解析】如图，设正四棱台 SKIPIF 1 < 0 的上下底面中心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意易知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该四棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
18．（2021•上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆柱的侧面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点3：空间直线、平面位置关系的判断
19．（2022•乙卷（文））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 B．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 D．平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，由选项 SKIPIF 1 < 0 可知，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，在该正方体中，试想 SKIPIF 1 < 0 运动至 SKIPIF 1 < 0 时，平面 SKIPIF 1 < 0 不可能与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直，选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，在平面 SKIPIF 1 < 0 上，易知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 必相交，故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不平行，选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，易知平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 有公共点 SKIPIF 1 < 0 ，故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 不可能平行，选项 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2021•浙江）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
由正方体可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 为△ SKIPIF 1 < 0 的中位线， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 对；
由正方体可知 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是异面直线， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 不与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 错．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点4：线线角、线面角、二面角
21．（2022•甲卷（文））在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角均为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不妨令 SKIPIF 1 < 0 ，
在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选项 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 错误，
由图易知， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影在 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故选项 SKIPIF 1 < 0 错误，
如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
在 SKIPIF 1 < 0 △ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以选项 SKIPIF 1 < 0 正确，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
22．（2021•乙卷（文））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角（或所成角的补角），
设正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
在正△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的平分线，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点5：外接球、内切球问题
23．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 各顶点都在同一球面上，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则球心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设正四棱锥的底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该正四棱锥体积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 （4） SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
24．（2022•乙卷（文））已知球 SKIPIF 1 < 0 的半径为1，四棱锥的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面的四个顶点均在球 SKIPIF 1 < 0 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于圆内接四边形，如图所示，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆的直径，且 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，此时四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
SKIPIF 1 < 0 当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，底面所在圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该四棱锥的高 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该四棱锥的体积 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
SKIPIF 1 < 0 该四棱锥的体积最大时，其高 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
25．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，下底面所在平面截球所得圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则轴截面中由几何知识可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
当球心在台体内时，如图，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，无解．
综上，该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
26．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，两个圆锥的高之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则这两个圆锥的体积之和为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，设球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的直径为4，
SKIPIF 1 < 0 两个圆锥的高之比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由直角三角形中的射影定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 这两个圆锥的体积之和为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
27．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 SKIPIF 1 < 0 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的球，其上点 SKIPIF 1 < 0 的纬度是指 SKIPIF 1 < 0 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，该卫星信号覆盖地球表面的表面积 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 占地球表面积的百分比约为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ；
卫星信号覆盖的地球表面面积 SKIPIF 1 < 0 ，
那么， SKIPIF 1 < 0 占地球表面积的百分比为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
28．（2023•甲卷（文））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若该正方体的棱与球 SKIPIF 1 < 0 的球面有公共点，则球 SKIPIF 1 < 0 的半径的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，
若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径 SKIPIF 1 < 0 为体对角线长 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
分别取侧枝 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 是边长为4的正方形，且 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 的对角线交点，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当球的一个大圆恰好是四边形 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，球的半径最小，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，球 SKIPIF 1 < 0 的半径的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
29．（2023•乙卷（文））已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在半径为2的球面上， SKIPIF 1 < 0 是边长为3的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2．
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球球心为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：2．