2021-2023年高考数学真题分类汇编专题06 立体几何（解答题）（理）（2份打包，原卷版+解析版）

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知识点1：线面角
知识点2：二面角
知识点3：距离问题
知识点4：立体几何存在性问题
近三年高考真题
知识点1：线面角
1．（2023•甲卷（理））在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为1．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 距离为2，求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
2．（2022•浙江）如图，已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
（Ⅰ）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
3．（2022•甲卷（理））在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值．
4．（2022•北京）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
（Ⅰ）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
5．（2022•乙卷（理））如图，四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，当 SKIPIF 1 < 0 的面积最小时，求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值．
6．（2021•上海）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小．
7．（2021•浙江）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
知识点2：二面角
8．（2023•北京）如图，四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小．
9．（2023•乙卷（理））如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
10．（2022•天津）直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的正弦值；
（3）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值．
11．（2023•上海）已知直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小．
12．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点．
（1）证明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
13．（2022•新高考Ⅱ）如图， SKIPIF 1 < 0 是三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
14．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的体积为4，△ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
15．（2021•天津）如图，在棱长为2的正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；
（3）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
16．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角的余弦值．
17．（2021•乙卷（理））如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值．
18．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．
知识点3：距离问题
19．（2023•天津）在三棱台 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点．
（Ⅰ）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
知识点4：立体几何存在性问题
20．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，当二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2021•北京）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 交平面 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅰ）求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点；
（Ⅱ）若点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上一点，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．