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2021-2023年高考数学真题分类汇编专题05 立体几何（选择题、填空题）（理）（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份2021-2023年高考数学真题分类汇编专题05 立体几何（选择题、填空题）（理）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含2021-2023年高考数学真题分类汇编专题05立体几何选择题填空题理解析版doc、2021-2023年高考数学真题分类汇编专题05立体几何选择题填空题理原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
知识点1：三视图
知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积
知识点3：空间直线、平面位置关系的判断
知识点4：线线角、线面角、二面角
知识点5：外接球、内切球问题
知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
近三年高考真题
知识点1：三视图
1．（2023•乙卷（理））如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．24B．26C．28D．30
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．
如图所示：
故该几何体的表面积为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的体积（单位： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，
所以几何体的体积为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图还原原几何体如图，
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，
则该四面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的体积（单位： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直四棱柱，底面四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，由三视图可知，延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，等腰梯形的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则该几何体的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积
5．（2023•乙卷（理））已知圆锥 SKIPIF 1 < 0 的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为底面圆心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆锥的母线， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意，设该圆锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由于圆锥 SKIPIF 1 < 0 的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
同时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，变形可得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故该圆锥的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 SKIPIF 1 < 0 上升到 SKIPIF 1 < 0 时，增加的水量约为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意，增加的水量约为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022•北京）已知正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的六条棱长均为6， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 及其内部的点构成的集合．设集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示的区域的面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 内的投影为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 表示的区域是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，
所以其面积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2023•天津）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积之比为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积之比为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2023•甲卷（理））在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一： SKIPIF 1 < 0 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 根据对称性易知 SKIPIF 1 < 0 ，
又底面正方形 SKIPIF 1 < 0 得边长为4， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：如图，设 SKIPIF 1 < 0 在底面的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则根据最小角定理（三余弦定理）可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
再根据最小角定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
10．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为底面直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在底面圆周上，且二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．该圆锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 B．该圆锥的侧面积为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由二面角的定义可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角即为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 SKIPIF 1 < 0 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．23B．24C．26D．27
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，该组合体由直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 和直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 组成，且 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
设重叠后的 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
方法①：四个形状相同的三棱锥 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的体积之和，加上正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积：
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高等于 SKIPIF 1 < 0 的长，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
该组合体的体积 SKIPIF 1 < 0 ；
方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积：
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高等于 SKIPIF 1 < 0 的长，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
该组合体的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，设母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该圆锥的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
13．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的体积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一：如图 SKIPIF 1 < 0 为正四棱台， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正四棱台的体积为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
SKIPIF 1 < 0 该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
SKIPIF 1 < 0 该棱台的记 SKIPIF 1 < 0 ，
下底面面积 SKIPIF 1 < 0 ，上底面面积 SKIPIF 1 < 0 ，
则该棱台的体积为：
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【解析】如图所示，根据题意易知△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又上下底面正方形边长分别为2，4，
SKIPIF 1 < 0 所得棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：28．
16．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该棱台的体积为 ．
【解析】如图，设正四棱台 SKIPIF 1 < 0 的上下底面中心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意易知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该四棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
17．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆柱的侧面积为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】因为圆柱的底面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点3：空间直线、平面位置关系的判断
18．（2023•上海）如图所示，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列直线中，始终与直线 SKIPIF 1 < 0 异面的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是相交直线；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，根据异面直线的定义知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是异面直线；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是平行直线；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是相交直线．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2022•上海）如图正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，联结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．空间任意两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若线段 SKIPIF 1 < 0 上不存在点在线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，则称 SKIPIF 1 < 0 两点可视，则下列选项中与点 SKIPIF 1 < 0 可视的为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．点 SKIPIF 1 < 0 B．点 SKIPIF 1 < 0 C．点 SKIPIF 1 < 0 D．点 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】线段 SKIPIF 1 < 0 上不存在点在线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，即直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不相交，
因此所求与 SKIPIF 1 < 0 可视的点，即求哪条线段不与线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交，
对 SKIPIF 1 < 0 选项，如图，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 易证 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 选项，如图，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都与 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 选项，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 选项分析知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面记为平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为异面直线，
同理由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 选项的分析知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面记为平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为异面直线，
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都没有公共点， SKIPIF 1 < 0 选项正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．0B．2C．4D．12
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
SKIPIF 1 < 0 每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2021•浙江）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
由正方体可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 为△ SKIPIF 1 < 0 的中位线， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 对；
由正方体可知 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是异面直线， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 不与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 错．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
22．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中， SKIPIF 1 < 0 为底面的中心， SKIPIF 1 < 0 为所在棱的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正方体的顶点，则满足 SKIPIF 1 < 0 的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．B．
C．D．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，设正方体棱长为2，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点4：线线角、线面角、二面角
23．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 SKIPIF 1 < 0 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的正切值均为 SKIPIF 1 < 0 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如图，过 SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 分别做 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，.
同理： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
所以由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所有棱长之和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
24．（2023•乙卷（理））已知 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为斜边， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，若二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则根据题意易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 所在直线，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的斜边长为2，
则可易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
25．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点．记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，
如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
再过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
又易知 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ③，
由①②③得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
26．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点5：外接球、内切球问题
27．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，两个圆锥的高之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则这两个圆锥的体积之和为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，设球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的直径为4，
SKIPIF 1 < 0 两个圆锥的高之比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由直角三角形中的射影定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 这两个圆锥的体积之和为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
28．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 SKIPIF 1 < 0 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的球，其上点 SKIPIF 1 < 0 的纬度是指 SKIPIF 1 < 0 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，该卫星信号覆盖地球表面的表面积 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 占地球表面积的百分比约为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ；
卫星信号覆盖的地球表面面积 SKIPIF 1 < 0 ，
那么， SKIPIF 1 < 0 占地球表面积的百分比为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
29．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 各顶点都在同一球面上，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则球心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设正四棱锥的底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该正四棱锥体积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 （4） SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
30．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，下底面所在平面截球所得圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则轴截面中由几何知识可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
当球心在台体内时，如图，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，无解．
综上，该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
31．（2021•甲卷（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是半径为1的球 SKIPIF 1 < 0 的球面上的三个点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以底面 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 所在的截面圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 为斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
32．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位： SKIPIF 1 < 0 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直径为 SKIPIF 1 < 0 的球体
B．所有棱长均为 SKIPIF 1 < 0 的四面体
C．底面直径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体
D．底面直径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，棱长为1的正方体内切球的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
正方体内部最大的正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，棱长为1的正方体的体对角线为 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，六边形 SKIPIF 1 < 0 为正六边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱的中点，
高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，
六边形 SKIPIF 1 < 0 棱长为 SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 米，故六边形 SKIPIF 1 < 0 内切圆直径为 SKIPIF 1 < 0 米，
而 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
33．（2023•甲卷（理））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 ．
【答案】12．
【解析】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
设正方体 SKIPIF 1 < 0 中棱长为2， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，侧面 SKIPIF 1 < 0 的中心为 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 为球心，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则球心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 与棱 SKIPIF 1 < 0 相切，球面与棱 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，
同理，根据正方体 SKIPIF 1 < 0 的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．
故答案为：12．
知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
34．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为定值
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，此时△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处时，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故周长不为定值，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 上的点到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，
又△ SKIPIF 1 < 0 的面积为定值，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，取线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，
当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处， SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在线的 SKIPIF 1 < 0 上，
当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处时，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在正方体形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为过定点 SKIPIF 1 < 0 与定直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
35．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2， SKIPIF 1 < 0 为上底面圆的一条直径， SKIPIF 1 < 0 是下底面圆周上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的面积的取值范围为 ．
【解析】如图1，上底面圆心记为 SKIPIF 1 < 0 ，下底面圆心记为 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意， SKIPIF 1 < 0 为定值2，所以 SKIPIF 1 < 0 的大小随着 SKIPIF 1 < 0 的长短变化而变化，
如图2所示，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
如图3所示，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 取最小值2，
此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点1：三视图
知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积
知识点3：空间直线、平面位置关系的判断
知识点4：线线角、线面角、二面角
知识点5：外接球、内切球问题
知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
近三年高考真题
知识点1：三视图
1．（2023•乙卷（理））如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．24B．26C．28D．30
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．
如图所示：
故该几何体的表面积为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的体积（单位： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台，
所以几何体的体积为： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2021•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图还原原几何体如图，
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边三角形，
则该四面体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2021•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： SKIPIF 1 < 0 ，则该几何体的体积（单位： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由三视图还原原几何体如图，
该几何体为直四棱柱，底面四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，由三视图可知，延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，等腰梯形的高为 SKIPIF 1 < 0 ，
则该几何体的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点2：空间几何体表面积、体积、侧面积
5．（2023•乙卷（理））已知圆锥 SKIPIF 1 < 0 的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为底面圆心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆锥的母线， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，则该圆锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】根据题意，设该圆锥的高为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由于圆锥 SKIPIF 1 < 0 的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
同时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 的面积等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，变形可得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故该圆锥的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022•新高考Ⅰ）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ；水位为海拔 SKIPIF 1 < 0 时，相应水面的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 SKIPIF 1 < 0 上升到 SKIPIF 1 < 0 时，增加的水量约为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意，增加的水量约为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．故选： SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022•北京）已知正三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的六条棱长均为6， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 及其内部的点构成的集合．设集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示的区域的面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设点 SKIPIF 1 < 0 在面 SKIPIF 1 < 0 内的投影为点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 表示的区域是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心，1为半径的圆，
所以其面积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2023•天津）在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积之比为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积之比为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
9．（2023•甲卷（理））在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一： SKIPIF 1 < 0 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 根据对称性易知 SKIPIF 1 < 0 ，
又底面正方形 SKIPIF 1 < 0 得边长为4， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，根据余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：如图，设 SKIPIF 1 < 0 在底面的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
易知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
则根据最小角定理（三余弦定理）可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
再根据最小角定理可得：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
10．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，底面圆心为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为底面直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在底面圆周上，且二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．该圆锥的体积为 SKIPIF 1 < 0 B．该圆锥的侧面积为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由二面角的定义可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角即为 SKIPIF 1 < 0 ，
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
11．（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 SKIPIF 1 < 0 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．23B．24C．26D．27
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，该组合体由直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 和直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 组成，且 SKIPIF 1 < 0 为正方形，
设重叠后的 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
方法①：四个形状相同的三棱锥 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的体积之和，加上正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积：
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高等于 SKIPIF 1 < 0 的长，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
该组合体的体积 SKIPIF 1 < 0 ；
方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积：
在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的高等于 SKIPIF 1 < 0 的长，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
该组合体的体积 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．4D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，设母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该圆锥的母线长为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
13．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．记三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的体积分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
如图所示，
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 正确， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
14．（2021•新高考Ⅱ）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一：如图 SKIPIF 1 < 0 为正四棱台， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
在等腰梯形 SKIPIF 1 < 0 中，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正四棱台的体积为：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
解法二：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
SKIPIF 1 < 0 该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
SKIPIF 1 < 0 该棱台的记 SKIPIF 1 < 0 ，
下底面面积 SKIPIF 1 < 0 ，上底面面积 SKIPIF 1 < 0 ，
则该棱台的体积为：
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2023•新高考Ⅱ）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【解析】如图所示，根据题意易知△ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又上下底面正方形边长分别为2，4，
SKIPIF 1 < 0 所得棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：28．
16．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则该棱台的体积为 ．
【解析】如图，设正四棱台 SKIPIF 1 < 0 的上下底面中心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意易知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该四棱台的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
17．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆柱的侧面积为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】因为圆柱的底面积为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点3：空间直线、平面位置关系的判断
18．（2023•上海）如图所示，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则下列直线中，始终与直线 SKIPIF 1 < 0 异面的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是相交直线；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，根据异面直线的定义知， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是异面直线；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是平行直线；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是相交直线．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
19．（2022•上海）如图正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，联结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．空间任意两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若线段 SKIPIF 1 < 0 上不存在点在线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，则称 SKIPIF 1 < 0 两点可视，则下列选项中与点 SKIPIF 1 < 0 可视的为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．点 SKIPIF 1 < 0 B．点 SKIPIF 1 < 0 C．点 SKIPIF 1 < 0 D．点 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】线段 SKIPIF 1 < 0 上不存在点在线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，即直线 SKIPIF 1 < 0 与线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 不相交，
因此所求与 SKIPIF 1 < 0 可视的点，即求哪条线段不与线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交，
对 SKIPIF 1 < 0 选项，如图，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，
SKIPIF 1 < 0 易证 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 选项，如图，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面，
故 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都与 SKIPIF 1 < 0 相交， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 错误；
对 SKIPIF 1 < 0 选项，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 选项分析知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面记为平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为异面直线，
同理由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 选项的分析知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 四点共面记为平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 为异面直线，
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都没有公共点， SKIPIF 1 < 0 选项正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2022•上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．0B．2C．4D．12
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
SKIPIF 1 < 0 每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2021•浙江）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 异面，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
由正方体可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由题意知 SKIPIF 1 < 0 为△ SKIPIF 1 < 0 的中位线， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 对；
由正方体可知 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 是异面直线， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 错；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 不与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直， SKIPIF 1 < 0 错．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
22．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中， SKIPIF 1 < 0 为底面的中心， SKIPIF 1 < 0 为所在棱的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为正方体的顶点，则满足 SKIPIF 1 < 0 的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．B．
C．D．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，设正方体棱长为2，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2，
则 SKIPIF 1 < 0 ，2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，0， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点4：线线角、线面角、二面角
23．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若 SKIPIF 1 < 0 ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的正切值均为 SKIPIF 1 < 0 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】如图，过 SKIPIF 1 < 0 做 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 分别做 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，.
同理： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
所以由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所有棱长之和为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
24．（2023•乙卷（理））已知 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为斜边， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，若二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则根据题意易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 所在直线，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，
设等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的斜边长为2，
则可易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
25．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点．记 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，
如图，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ①，
再过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
又易知 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ③，
由①②③得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
26．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
B．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
D．直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 错误；
SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
知识点5：外接球、内切球问题
27．（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，两个圆锥的高之比为 SKIPIF 1 < 0 ，则这两个圆锥的体积之和为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，设球 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意， SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，则球 SKIPIF 1 < 0 的直径为4，
SKIPIF 1 < 0 两个圆锥的高之比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由直角三角形中的射影定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 这两个圆锥的体积之和为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
28．（2021•新高考Ⅱ）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 SKIPIF 1 < 0 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的球，其上点 SKIPIF 1 < 0 的纬度是指 SKIPIF 1 < 0 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，该卫星信号覆盖地球表面的表面积 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 占地球表面积的百分比约为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意，作出地球静止同步卫星轨道的左右两端的竖直截面图，
则 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ；
卫星信号覆盖的地球表面面积 SKIPIF 1 < 0 ，
那么， SKIPIF 1 < 0 占地球表面积的百分比为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
29．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示，正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 各顶点都在同一球面上，连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则球心 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
设正四棱锥的底面边长为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该正四棱锥体积 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 （4） SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即该正四棱锥体积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
30．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，下底面所在平面截球所得圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
设球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则轴截面中由几何知识可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
当球心在台体内时，如图，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，无解．
综上，该球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
31．（2021•甲卷（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是半径为1的球 SKIPIF 1 < 0 的球面上的三个点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以底面 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 所在的截面圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 为斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
故三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
32．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位： SKIPIF 1 < 0 的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．直径为 SKIPIF 1 < 0 的球体
B．所有棱长均为 SKIPIF 1 < 0 的四面体
C．底面直径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体
D．底面直径为 SKIPIF 1 < 0 ，高为 SKIPIF 1 < 0 的圆柱体
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，棱长为1的正方体内切球的直径为 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
正方体内部最大的正四面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，棱长为1的正方体的体对角线为 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，六边形 SKIPIF 1 < 0 为正六边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱的中点，
高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，
六边形 SKIPIF 1 < 0 棱长为 SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 米，故六边形 SKIPIF 1 < 0 内切圆直径为 SKIPIF 1 < 0 米，
而 SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
33．（2023•甲卷（理））在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，则以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 ．
【答案】12．
【解析】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
设正方体 SKIPIF 1 < 0 中棱长为2， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，侧面 SKIPIF 1 < 0 的中心为 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 为球心，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
则球心 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 球 SKIPIF 1 < 0 与棱 SKIPIF 1 < 0 相切，球面与棱 SKIPIF 1 < 0 只有一个交点，
同理，根据正方体 SKIPIF 1 < 0 的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，
SKIPIF 1 < 0 以 SKIPIF 1 < 0 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12．
故答案为：12．
知识点6：立体几何中的范围与最值问题及定值问题
34．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．当 SKIPIF 1 < 0 时，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为定值
B．当 SKIPIF 1 < 0 时，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值
C．当 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，此时△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处时，△ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
故周长不为定值，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 上的点到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，
又△ SKIPIF 1 < 0 的面积为定值，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为定值，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，取线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，
当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同理，当点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处， SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 错误；
对于 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 在线的 SKIPIF 1 < 0 上，
当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处时，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
在正方体形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为过定点 SKIPIF 1 < 0 与定直线 SKIPIF 1 < 0 垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故选项 SKIPIF 1 < 0 正确．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
35．（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2， SKIPIF 1 < 0 为上底面圆的一条直径， SKIPIF 1 < 0 是下底面圆周上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的面积的取值范围为 ．
【解析】如图1，上底面圆心记为 SKIPIF 1 < 0 ，下底面圆心记为 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意， SKIPIF 1 < 0 为定值2，所以 SKIPIF 1 < 0 的大小随着 SKIPIF 1 < 0 的长短变化而变化，
如图2所示，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合时， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 取得最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
如图3所示，当点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 取最小值2，
此时 SKIPIF 1 < 0 取得最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
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