2021-2023年高考数学真题分类汇编专题04 导数及其应用（解答题）（文）（2份打包，原卷版+解析版）

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专题04 导数及其应用（解答题）（文）
知识点目录
知识点1：恒成立与有解问题
知识点2：极最值问题
知识点3：证明不等式
知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）
知识点5：零点问题
近三年高考真题
知识点1：恒成立与有解问题
1．（2023•甲卷（文））已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，，

，
令，，，

，
又，
，
在上单调递减；
（2）设，，
则，，
，
在上单调递减，
若，又，则，，
当时，，
又，，，，
，满足题意；
当时，，，
，满足题意；
综合可得：若，则，
所以的取值范围为，．
2．（2023•乙卷（文））已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若函数在单调递增，求的取值范围．
【解析】（1）当时，
则，
求导可得，，
当时，（1），
当时，（1），
故曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2），
则，
函数在单调递增，
则，化简整理可得，，
令，
求导可得，，
当时，
则，，
故，即在区间上单调递减，
，不符合题意，
令，
则，
当，即时，
，，
故在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，
，符合题意，
当时，令，解得，
当时，，在区间上单调递减，即单调递减，
，
当时，，单调递减，
，
当时，，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
3．（2021•天津）已知，函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）证明函数存在唯一的极值点；
（3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，而，
所以在，处的切线方程为；
（2）证明：令，则，
令，则，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，当时，，
作出图象，如图，

所以当时，与仅有一个交点，令，
则，且，
当时，，，为增函数；
当时，，，为减函数；
所以时是的极大值点，故仅有一个极值点；
（3）由（2）知，
此时，，
所以，
令，
若存在，使对任意的恒成立，
则等价于存在，使得，即，
而，，
当时，，为单调减函数，
当时，，为单调增函数，
所以（1），故，
所以实数的取值范围，．
知识点2：极最值问题
4．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【解析】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
5．（2021•北京）已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值和最小值．
【解析】（Ⅰ）的导数为，
可得在处的切线的斜率为，
则在，（1）处的切线方程为，
即为；
（Ⅱ）的导数为，
由题意可得，即，解得，
可得，
，
当或时，，递增；当时，，递减．
函数的图象如右图，当，；，，
则在处取得极大值1，且为最大值1；在处取得极小值，且为最小值．
所以的增区间为，，减区间为；
的最大值为1，最小值为．

6．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．
【解析】（1）证明：设，，
则，，
在上单调递减，
，
在上单调递减，
，
即，，
，，
设，，
则，
在上单调递增，
，，
即，，
，，
综合可得：当时，；
（2），，
且，，
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，，
在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若，即或时，
存在，使得，时，，
在，上单调递减，又，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；
③若，即时，为偶函数，
只考虑的情况，
此时，时，
，
在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：的取值范围为，，．
知识点3：证明不等式
7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【解析】（1），
则，
①当时，恒成立，在上单调递减，
②当时，令得，，
当时，，单调递减；当，时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当时，，
要证，只需证，
只需证，
设（a），，
则（a），
令（a）得，，
当时，（a），（a）单调递减，当，时，（a），（a）单调递增，
所以（a），
即（a），
所以得证，
即得证．
8．（2022•上海）．
（1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值．
（2）若且，求解不等式．
【解析】（1）因为函数，
将函数图像向下移后，得的图像，
由函数图像经过点和，
所以，
解得，．
（2）且时，不等式可化为，
等价于，
解得，
当时，，，解不等式得，
当时，，，解不等式得；
综上知，时，不等式的解集是，，
时，不等式的解集是，．
9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
【解析】（1）当时，，
，
，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
（2）令，
，，
在上恒成立，
又，
令，则，
，
①当，即，存在，使得当时，，即在上单调递增．
因为，所以在内递增，所以，这与矛盾，故舍去；
②当，即，
，
若，则，
所以在，上单调递减，，符合题意．
若，则，
所以在上单调递减，，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
另的导数为，
①当时，，
所以在递增，所以，与题意矛盾；
②当时，，
所以在递减，所以，满足题意；．
③当时，．
设，，则在递减，所以，
，所以在递减，所以，满足题意；
④当时，，
令，则，，
可得递减，，
所以存在，使得．当时，，
在递增，此时，
所以当时，，在递增，所以，与题意矛盾．
综上可得，的取值范围是，．
（3）由（2）可知，当时，，
令得，，
整理得，，
，
，，
即．
另运用数学归纳法证明．
当时，左边成立．
假设当时，不等式成立，即．
当时，要证，
只要证，
即证．
可令，则，，则需证明，
再令，则需证明．
构造函数，，
，
可得在，上递减，
则（1），所以原不等式成立，
即时，成立．
综上可得，成立．
知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）
10．（2022•天津）已知，，函数，．
（1）求函数在，处的切线方程；
（2）若和有公共点．
（ⅰ）当时，求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
【解析】（1），，
，，
函数在处的切线方程为；
（2）（ⅰ），，又和有公共点，
方程有解，
即有解，显然，
在上有解，
设，，
，
当时，；当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
，且当时，；当时，，
，，
的范围为，；
（ⅱ）证明：令交点的横坐标为，则，
由柯西不等式可得
，
又易证时，，，，
，
故．
11．（2022•北京）已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的，，有．
【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：，
将代入原函数可得，将代入导函数可得：，
故在处切线斜率为1，故，化简得：；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）有：，
，
令，令，
设，恒成立，
故在，单调递增，又因为，
故在，恒成立，故，
故在，单调递增；
解法二：由（Ⅰ）有：，
，
设，，则，
由指数函数的性质得上上是增函数，且，
，当时，，单调递增，
且当时，，
在，单调递增．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有在，单调递增，又，
故在，恒成立，故在，单调递增，
设，，
由（Ⅱ）有在，单调递增，又因为，所以，
故单调递增，又因为，故，
即：，又因为函数，
故，得证．
12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：．
【解析】（1）由函数的解析式可得，
，，单调递增，
，，单调递减，
则在单调递增，在单调递减．
（2）证明：由，得，
即，
由（1）在单调递增，在单调递减，
所以（1），且（e），
令，，
则，为 的两根，其中．
不妨令，，则，
先证，即证，即证，
令，
则在单调递减，
所以（1），
故函数在单调递增，
（1）．，，得证．
同理，要证，
（法一）即证，
根据（1）中单调性，
即证，
令，，
则，令，
，，单调递增，
，，，单调递减，
又时，，且（e），
故，
（1）（1），
恒成立，
得证，
（法二），，
又，故，，
故，，
令，，，
在上，，单调递增，
所以（e），
即，所以，得证，
则．

知识点5：零点问题
13．（2022•甲卷（文））已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求；
（2）求的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，，则，解得，则（1），解得；
（2），则在点，处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，，的变化情况如下表：




0

1



0

0

0


单调递减

单调递增

单调递减

单调递增
则的值域为，，故的取值范围为，．
14．（2022•乙卷（文））已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，同时也是最大值，
函数的最大值为（1）；
（2），
①当时，由（1）可知，函数无零点；
②当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，
又（1），故此时函数无零点；
③当时，易知函数在上单调递增，在单调递减，
且（1），，
又由（1）可得，，即，则，，则，
当时，，
故存在，使得，
此时在上存在唯一零点；
④当时，，函数在上单调递增，
又（1），故此时函数有唯一零点；
⑤当时，易知函数在上单调递增，在上单调递减，
且（1），
又由（1）可得，当时，，则，则，
此时，
故存在，使得，
故函数在上存在唯一零点；
综上，实数的取值范围为．
15．（2021•新高考Ⅱ）已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点．
①，；
②，．
【解析】（Ⅰ），，
①当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
②当时，令，可得或，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减，
时，
且等号不恒成立，在上单调递增，
当时，
当或时，，当时，，
在，，上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：
当 时， 在上单调递减；在上 单调递增；
当 时， 在， 和上单调递增；在，上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在和， 上单调递增；在， 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由 （Ⅰ）知， 在上单调递增，， 单调递减，， 上 单调递增．
注意到．
在 上有一个零点；
，
由 得，，
，当 时，，此时 无零点．
综上： 在 上仅有一个零点．
另当，时，有，，
而，于是
，
所以在没有零点，当时，，
于是，所以在，上存在一个零点，命题得证．
若选②，则由（Ⅰ）知：在， 上单调递增，
在，上单调递减，在 上单调递增．
，
，，，，
当 时，，此时 无零点．
当 时， 单调递增，注意到，
取，，，又易证，
，
在上有唯一零点，即在上有唯一零点．
综上： 在 上有唯一零点．
16．（2021•甲卷（文））设函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若的图像与轴没有公共点，求的取值范围．
【解析】（1），，
因为，
所以，
所以在上，，单调递减，
在，上，，单调递增．
综上所述，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）由（1）可知，，
因为的图像与轴没有公共点，
所以，
所以，
所以的取值范围为，．
17．（2021•乙卷（文））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
【解析】（1），△，
①当△，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；
②当△，即时，令，解得，
令，解得或，令，解得，
在，，单调递增，在，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．
（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，
则切线方程为，
将原点代入切线方程有，，解得，
切线方程为，
令，即，解得或，
曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．