2022-2023学年河南省许昌一中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省许昌一中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年河南省许昌一中八年级（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )
A. 3 B. 12 C. 8 D. 12
2. 判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是(    )
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6
3. 下列各式计算正确的是(    )
A. 2+ 3= 5 B. 4 3−3 3=1
C. 2 3×2 3=4 3 D. 27÷ 3=3
4. 如图，菱形ABCD中，AC=6，BD=8，AH⊥BC，则AH的长是(    )
A. 245
B. 125
C. 5
D. 4
5. 如图，平行四边形ABCD中，AD=4，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于(    )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若∠A=28°.则∠BDC的度数为(    )


A. 26° B. 52° C. 56° D. 64°
7. 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=2，则BC的长为(    )


A. 4 B. 5 C. 3 D. 2
8. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是(    )


A. 18米 B. 24米 C. 28米 D. 30米
9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，点D是BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为(    )

A. 132 B. 13 C. 6013 D. 3013
10. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N.有下列四个结论：
①DF=CF；
②BF⊥EN；
③△BEN是等边三角形；
④S△BEF=3S△DEF．
其中，将正确结论的序号全部选对的是(    )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围为______．
12. 在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠A=______．
13. 如图，已知OA=OB，BC⊥AC于点C，点C对应的数是−2，BC=1，那么数轴上点A所表示的数是______ ．

14. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∠C=45°，BD=1，则AC= ______ ．


15. 如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm，一动点P(与B、C不重合)在底边上从B向C以1cm/s的速度移动，当P运动______ 秒时，△ACP是直角三角形．


三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)(3 12−2 13+ 48)÷2 3；
(2)(7+4 3)(7−4 3)−(3 5−1)2．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−3x+1)÷x2−4x+4x+1，其中x=2+ 3．
18. (本小题9.0分)
如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．

19. (本小题10.0分)
如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点F，使得CF=CD，连接AF，BF，AC，若AD=AF，求证：四边形ABFC是矩形．

20. (本小题10.0分)
如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D，E，且AD2−DC2=BC2．
(1)求证：∠C=90°；
(2)若AC=8，BC=4，求AD的长．

21. (本小题10.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F分别是AB、BC的中点，点D是CA延长线上的一点，且AD=12AC，连接DE、AF．
(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；
(2)若四边形ADEF的周长是14cm，AC的长为4cm，求四边形ADEF的面积．

22. (本小题10.0分)
阅读材料：在进行二次根式的运算时，如遇到2 3+1这样的式子，还需做进一步的化简：
方法一：2 3+1=2( 3−1)( 3+1)( 3−1)=2( 3−1)( 3)2−12=2( 3−1)3−1= 3−1；
方法二：2 3+1=3−1 3+1=( 3)2−12 3+1=( 3+1)( 3−1) 3+1= 3−1
这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
解决问题：
(1)选择你喜欢的一种方法化简2 7− 5；
(2)下面是甲、乙两个同学x−y x+ y对分母有理化的过程：
甲：x−y x+ y=(x−y)( x− y)( x+ y)( x− y)=(x−y)( x− y)( x)2−( y)2=(x−y)( x− y)x−y= x− y
乙：x−y x+ y=( x)2−( y)2 x+ y=( x+ y)( x− y) x+ y= x− y
请你判断，甲、乙两个同学的化简过程______ ．
A.甲、乙都对
B.甲对乙错
C.甲错乙对
D.甲、乙都错
(3)化简：11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+…+1 2022+ 2023．
23. (本小题10.0分)
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动．
动手实践：
(1)如图①，已知正方形纸片ABCD，勤奋小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，易知点E、M、F共线，则∠EAF=______度．
拓展应用：
(2)如图②，腾飞小组在图①的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿EF继续折叠，使得点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上．
①则∠CFE=______度．
②设AM与NF的交点为点P，运用(1)、(2)操作所得结论，求证：△ANP≌△FNE．
解决问题：
(3)在图②中，若AB=3，请直接写出线段MP的长．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：A、 3是最简二次根式，故A符合题意；
B、 12= 22，故B不符合题意；
C、 8=2 2，故C不符合题意；
D、 12=2 3，故D不符合题意；
故选：A．
根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A、12+22≠32，故不可以作为直角三角形的三条边；
B、22+32≠42，故不可以作为直角三角形的三条边；
C、32+42=52，故可以作为直角三角形的三条边；
D、42+52≠62，故不可以作为直角三角形的三条边．
故选C．
要判断三个数是否能是勾股数，只要验证一下，两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方，等于就是直角三角形，否则就不是．
本题主要考查了勾股定理的逆定理的应用．直角三角形的三条边满足勾股定理的逆定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方．

3.【答案】D 
【解析】解：A、 2+ 3，无法合并，故此选项错误；
B、4 3−3 3= 3，故此选项错误；
C、2 3×2 3=12，故此选项错误；
D、 27÷ 3=3，正确．
故选：D．
直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】A 
【解析】解：如图，对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，
∴BC= OB2+OC2= 42+32=5，
∵AH⊥BC，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=BC⋅AH，
即12×6×8=5AH，
∴AH=245，
故选：A．
由菱形的性质和勾股定理求出BC=5，然后由菱形的面积即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC的长是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB=3，
∵BC=AD=4，
∴EC=BC−BE=4−3=1，
故选：A．
根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，根据AD、AB的值，求出EC的值．
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

6.【答案】C 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠DCA=∠A=28°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=56°，
故选：C．
根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CD=AD，则∠DCA=∠A=28°，再由三角形外角的性质即可得到∠BDC=∠A+∠DCA=56°．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明CD=AD是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=12AC，OB=12BD=1，AC=BD=2，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=2，
∴BC= AC2−AB2= 22−12= 3，
故选：C．
由矩形的性质得出OA=OB，再证△AOB是等边三角形，得AB=OB=1，然后由勾股定理即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明△AOB为等边三角形是解题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵D、E是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，
∴DE=12AB，
∴AB=2DE=2×14=28m．
故选C．
根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：∵∠BAC=90°，且BA=5，AC=12，
∴BC= BA2+AC2=13，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN=AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=12AB×AC=12BC×AD，
∴AD=AB⋅ACCB=6013，
∴MN的最小值为6013；
故选：C．
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，
由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF，
∴DF=CF；故①正确；
∵∠BFM=90°−∠EBF，∠BFC=90°−∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC，
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN，
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°，
即BF⊥EN，故②正确；
∵在△DEF和△CNF中，
∠D=∠FCN=90°DF=CF∠DFE=∠CFN，
∴△DEF≌△CNF(ASA)，
∴EF=FN，
∴BE=BN，
假设△BEN是等边三角形，则∠EBN=60°，∠EBA=30°，
则AE=12BE，又∵AE=12AD，则AD=BC=BE，
而明显BE=BN>BC，
∴△BEN不是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM，
∴BE=3EM，
∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；
故④正确．
故选B．
由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；
易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；
易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；
易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

11.【答案】x≥3 
【解析】解：∵二次根式 x−3在实数范围内有意义，
∴x−3≥0，解得x≥3．
故答案为：x≥3．
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是关键．

12.【答案】50° 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=50°，
故答案为：50°．
由▱ABCD中，∠A+∠C=100°，根据平行四边形的性质，可知∠A与∠C对角相等，进而可求得∠A的度数．
此题考查了平行四边形的性质．解题时注意运用：平行四边形的对角相等．

13.【答案】− 5 
【解析】解：∵点C对应的数是−2，
∴OC=2，
∵BC⊥OC，BC=1，
∴OA=OB= OC2+BC2= 22+12= 5．
∵点A在数轴的负半轴上，
∴点A所表示的数是− 5．
故答案为：− 5．
根据勾股定理得出OB的长，即可求出OA的长，又由点A在数轴的负半轴上可得出点A所表示的数．
本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，能够熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键．

14.【答案】 6 
【解析】解：在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD=30°，BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴AD= AB2−BD2= 3．
∵∠C=45°，
∴∠DAC=90°−∠C=45°，
∴∠C=∠DAC，
∴CD=AD= 3，
∴AC= AD2+CD2= 6．
故答案为： 6．
根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AD，再由∠C=45°，利用勾股定理得出AC即可．
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性质得出AD的长是解题的关键．

15.【答案】1.75或4 
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5cm，
∴BD=CD=12BC=4(cm)，
∴AD= AC2−CD2= 52−42=3(cm)，
分两种情况：
①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，

则PB=t，PC=8−t，
∵AP2=PC2−AC2=PD2+AD2，
∴(8−t)2−52=(4−t)2+32，
解得：t=1.75s；
②当AP⊥BC时，如图2，

∵AB=AC，
∴PB=PC=12BC=4(cm)，
∴t=4s，
综上所述，当P运动1.75s或4s秒时，△ACP是直角三角形，
故答案为：1.75或4．
过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=12BC=4(cm)，由勾股定理得到AD= AC2−CD2= 52−42=3(cm)，分两种情况：①当点P运动t秒后有PA⊥AC时，如图1，根据勾股定理得到t=1.75s；②当AP⊥BC时，如图2，根据等腰三角形的性质得到t=4s．
此题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用，此题难度适中，解题的关键是分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．

16.【答案】解：(1)(3 12−2 13+ 48)÷2 3
=(6 3−2 33+4 3)÷2 3
=28 33÷2 3
=143；
(2)(7+4 3)(7−4 3)−(3 5−1)2
=72−(4 3)2−(45−6 5+1)
=49−48−46+6 5
=6 5−45． 
【解析】(1)先把二次根式进行化简，然后根式的除法运算即可；
(2)利用平方差公式和完全平方差公式，进行二次根式的加减法运算即可．
本题主要考查最简二次根式及混合运算，重点在熟练应用完全平方公式及平方差公式．

17.【答案】解：(1−3x+1)÷x2−4x+4x+1
=x+1−3x+1÷(x−2)2x+1
=x−2x+1⋅x+1(x−2)2
=1x−2，
当x=2+ 3时，原式=12+ 3−2=1 3= 33． 
【解析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，正确根据分式的混合计算法则化简是解题的关键．

18.【答案】解：在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，
∴BD= AD2+AB2= 42+32=5，
△BCD中，BC=12，DC=13，DB=5，
52+122=132，即BC2+BD2=DC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=12AD⋅AB+12BD⋅BC
=12×4×3+12×5×12
=6+30
=36． 
【解析】此题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，要将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况，又体现了转化思想在解题时的应用.根据勾股定理的逆定理，判断出DBC是直角三角形，然后根据三角形面积公式求出两个三角形的面积，将其相加即可得到四边形ABCD的面积．

19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，AD=BC，
∵CF=CD，
∴CF=AB，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD=AF，
∴BC=AF，
∴平行四边形ABFC是矩形． 
【解析】由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，AD=BC，再证四边形ABFC是平行四边形，然后证BC=AF，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

20.【答案】(1)证明：如图所示，连接BD，

∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵AD2−DC2=BC2，
∴BD2−DC2=BC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠C=90°；
(2)解：设AD=BD=x，则CD=AC−AD=8−x，
由(1)得BD2−DC2=BC2，
∴x2−(8−x)2=42，
解得x=5，
∴AD=5． 
【解析】(1)由线段垂直平分线的性质得到AD=BD，再结合AD2−DC2=BC2证明△BCD是直角三角形，即可证明结论；
(2)设AD=BD=x，则CD=8−x，然后根据BD2−DC2=BC2建立方程求解即可．
本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理等知识，是重要考点，难度较易，添加辅助线是解题关键．

21.【答案】(1)证明：∵点E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12AC，EF//AC，
∵AD=12AC，
∴EF=AD，
∵EF//AD，
∴四边形ADEF是平行四边形；
(2)解：∵四边形ADEF是平行四边形，四边形ADEF的周长是14cm，
∴AD=EF，AF=DE，AD+AF=7cm，
∵AC的长为4cm，
∴AD=12AC=12×4=2cm，
∴AF=7−AD=7−2=5cm，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF= AF2−AC2= 52−42=3cm，
∴四边形ADEF的面积=AD⋅CF=2×3=6cm2． 
【解析】(1)由三角形中位线定理得EF=12AC，EF//AC，再由AD=12AC，得EF=AD，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得AD+AF=7cm，再求出AF=5(cm)，然后由勾股定理求出CF=3(cm)，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形ADEF为平行四边形是解题的关键．

22.【答案】A 
【解析】解：(1)方法一：2 7− 5=2( 7+ 5)( 7− 5)( 7+ 5)= 7+ 5；
方法二：2 7− 5=7−5 7− 5=( 7)2−( 5)2 7− 5=( 7+ 5)( 7− 5) 7− 5= 7+ 5；
(2)根据(1)中的方法进行判断可知，甲、乙都对．
故选：A；
(3)11+ 2+1 2+ 3+1 3+ 4+⋯+1 2022+ 2023
= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+⋅⋅⋅+ 2023− 2022
= 2023−1．
(1)根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可；
(2)根据(1)中方法进行判断即可；
(3)根据方法一，进行分母有理化计算即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算及分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．

23.【答案】(1)45；
(2)①30；
②证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN=FN，
∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
在△ANP和△FNE中，
∠ANP=∠FNE=90°AN=FN∠NAP=∠NFE，
∴△ANP≌△FNE(ASA)；
(3)MP=2 3−3． 
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠BAD=90°，
由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45°，
即∠EAF=45°，
故答案为：45；

(2)①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
由折叠的性质得：∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，
∴∠ANF=180°−90°=90°，
由(1)得：∠EAF=45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE，
∴2(45°+∠NFE)+∠CFE=180°，
∴∠NFE=∠CFE=30°，
故答案为：30；
②证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN=FN，
∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
在△ANP和△FNE中，
∠ANP=∠FNE=90°AN=FN∠NAP=∠NFE，
∴△ANP≌△FNE(ASA)；
(3)由(1)得：△ANP≌△FNE，
∴AP=FE，PN=EN，
∵∠NFE=∠CFE=30°，∠ENF=∠C=90°，
∴∠NEF=∠CEF=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠B=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE= 33AB= 3，
∴AE=2BE=2 3，
设PN=EN=a，
∵∠ANP=90°，∠NAP=30°，
∴AN= 3PN= 3a，AP=2PN=2a，
∵AN+EN=AE，
∴ 3a+a=2 3，
解得：a=3− 3，
∴AP=2a=6−2 3，
由折叠的性质得：AM=AB=3，
∴MP=AM−AP=3−(6−2 3)=2 3−3．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF=45°是解题的关键，属于中考常考题型．