河南省许昌市2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年河南省许昌市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  使式子有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在▱中，一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列二次根式中能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列等式正确的是(    )

A.  B.
C.  D. ．

7.  下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    )

A.  B. ，， C. ，， D. ，，

8.  下列说法错误的是(    )

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

9.  如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，，，矩形内部有一动点，满足，则点到、两点的距离之和的最小值(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如图，在四边形中，，再添加一个条件，可使四边形是平行四边形．______

12.  在中，，，当 ______ 时，是直角三角形．

13.  如图，在矩形中，对角线、交于点，已知，，则的长为______ ．

14.  如图，过平行四边形对角线的交点，交于，交于，若平行四边形的周长为，，则四边形的周长为______．

15.  如图，四边形是矩形纸片，，，在边上取一点，将纸片沿折叠，使点落在边上的处，的长等于______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
已经，求下列各式的值：
；
．

18.  本小题分
如图，在矩形中，是的中点，连接、．
求证：≌；
若，，求的周长．

19.  本小题分

一架方梯长米，如图所示，斜靠在一面上：

若梯子底端离墙米，这个梯子的顶端距地面有多高？

在的条件下，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

20.  本小题分
如图，平行四边形的对角线、交于点，、是线段上的两点，并且求证：．

21.  本小题分
观察下列运算：
由，得；
由，得；
由，得；

通过观察得 ______ ；
利用中你发现的规律计算：．

22.  本小题分
如图，在中，，过上一点作交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点．
求证：四边形为平行四边形；
延长图中的到点，使，连接，，，得到图，若，判断四边形的形状，并说明理由．
 

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为原点，点是轴的正半轴上的动点，点是轴的正半轴上的动点，连结，以为直角顶点作等腰直角三角形点、、按顺时针方向排列，以轴为对称轴作等腰三角形，直线交轴于点．

若，求的度数．
连结，请你用等式写出关于，和的数量关系，并结合图加以证明．
当点，点在运动过程中，若，，求的长，并直接写出此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，不是最简二次根式；
B.，不是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，是最简二次根式．
故选：．
直接根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
此题考查的是最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不能再进一步运算，此选项错误；
B、，此选项计算正确；
C、，此选项计算正确；
D、此选项计算正确．
故选A．
利用二次根式加减乘除的运算方法逐一计算得出答案，进一步比较选择即可．
此题考查二次根式的运算，掌握运算方法与化简的方法是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为的二次根式即可．
【解答】
解：、，不能与合并，错误；
B、能与合并，正确；
C、不能与合并，错误；
D、不能与合并，错误；
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，，
，
不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故本选项符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项不符合题意；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的定义、判定定理，矩形的判定定理即可判断．
本题考查平行四边形和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质和折叠的性质得，再由三角形的外角性质得，然后由三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设中边上的高是．
，
，
，
动点在与平行且与的距离是的直线上，如图，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．

在中，，，
，
即的最小值为．
故选：．
首先由，得出动点在与平行且与的距离是的直线上，作关于直线的对称点，连接，连接，则的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形中，由勾股定理求得的值，即的最小值．
本题考查了轴对称最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键．
 

11.【答案】或． 

【解析】解：根据平行四边形的判定，可添加：或，
故答案为：或．
根据平行四边形的判定方法，可以再加一个：或的条件，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：当为斜边时，三角形要为直角三角形，则应有，
当为斜边时，则应有，
故答案为：或．
根据勾股定理的逆定理，当分两种情况：当为斜边；当为斜边．
此题主要考查勾股定理的逆定理，关键是根据对勾股定理的理解和掌握解答．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
本题考查矩形的性质，勾股定理，关键是根据矩形的对角线相等且平分解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，周长为，
，，，，
，，
在和中，，
≌，
，，
则的周长，
故答案为．
先利用平行四边形的性质求出，，，可利用全等的性质得到≌，求出，即可求出四边形的周长．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据折叠可得，
四边形是矩形，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得．
则．
故答案为：．
根据折叠的性质得；根据矩形的性质得，则，设，则，，然后在中根据勾股定理得到，再解方程即可得到的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先算乘方，计算二次根式的乘法，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
先根据二次根式的除法法则计算，再化为最简二次根式，最后合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次感受相关运算的法则．
 

17.【答案】解：；
． 

【解析】根据完全平方公式写成，把、的值代入计算即可；
根据平方差公式写成，把、的值代入计算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，熟记乘法公式是解题的关键．
 

18.【答案】证明：在矩形中，，．
是的中点，
．
在与中，
，
≌；
由知：≌，则．
在直角中，，，
由勾股定理知，，
的周长． 

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
由全等三角形的判定定理证得结论；
由中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段的长度，结合三角形的周长公式解答．
 

19.【答案】解：在中，米，米，
米．
答：梯子的顶端距地面米；
在中，米，
米，
米．
答：梯子的底端在水平方向滑动了米． 

【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
利用勾股定理可得，再计算即可；
在直角三角形中计算出的长度，再计算即可．
 

20.【答案】证明：如图，连接，，
四边形是平行四边形，
，．
又，
．
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由平行四边形的性质可求得，再结合条件可求得，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求得是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；


．
从数字找规律，即可解答；
利用的规律，然后进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形；

解：四边形是矩形，理由如下：
由得，四边形为平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行线的性质得到，根据题意得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理证明；
根据等腰三角形的性质得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：是等腰直角三角形，
，，
是等腰三角形，，
，，
，，
；
，
理由如下：如图，连接，

，，
垂直平分，
，，
是等腰直角三角形，
，，，，
是等腰三角形，，
，，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
；
如图，当点在点上方时，过点作轴于，

，，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
点；
如图，当点在上时，过点作轴于，

同理可求点；
综上所述：点的坐标为和． 

【解析】由等腰三角形的性质可求，，即可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，在中，由勾股定理可得，即可得结论；
分两种情况讨论，利用的结论，先求出的长，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，四点共圆的性质等知识，求出的长是本题的关键．