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2022-2023学年河南省实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省实验中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＜25 B．t≥12 C．12≤t≤25 D．12＜t＜25
3．已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣5＜y﹣5 B．﹣2x＜﹣2y C．a2x＞a2y D．
4．用反证法证明：在△ABC中，∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角时，假设，∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）
A．已知 B．三角形内角和等于180°
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
5．在联欢会上，三名同学分别站在锐角△ABC的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在△ABC内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子最适合摆放的位置是△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＞0，b＞0，则ab＞0
B．若a＝b，则|a|＝|b|
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．对顶角相等
7．甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地，甲种运输车载重4吨，乙种运输车载重5吨，每种车都不能超载．现已安排甲种车6辆，要一次性完成该物资的运输，则乙种车至少安排（ ）
A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C，A，B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
9．如图，将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，连接CE，若△ABC的周长为9，四边形ADEC的周长为13，则平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且AP＝1，∠PAN＝60°，若动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，移动到N点停止，连接PQ，则在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
B．直角三角形——等腰三角形一一直角三角形——等边三角形
C．等腰三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
D．等腰三角形一一直角三角形——等边三角形——直角三角形
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点M（3，﹣5）向右平移3个单位长度得到M′，则M′的坐标为 ．
12．已知3m﹣2x2+m＞1是关于x的一元一次不等式，那么m＝ ．
13．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝ °．
14．如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC＝35，EF＝5，DE＝13，则△EBD的面积为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）解不等式：2（﹣3+x）＞3（x+2）；
（2）解不等式组：．
17．如图，△ABC在坐标平面内（正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度），A、B、C都在格点上（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC进行平移，使点A平移到点D（3，2）处，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）画出平移后的△DEF，E点坐标为 ，F点坐标为 ；
（2）线段AB扫过的图形面积为 ；
（3）将△DEF绕着原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，10秒后，E点坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，∠B＝15°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形AB边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求△ABC的面积．
19．4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x（x＞50）元，方案一应付y1元，方案二应付y2元．
（1）当x＝150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
（2）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（3）小明如何选择购书方案才更划算？
20．将△ADC和△DEF按如图方式摆放，其中C、E、B、F位于同一直线上，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，CE＝BF，AB与DE相交于点M，MN平分∠EMB交EB于点N．
（1）求证：AB＝DE；
（2）若FC＝14，EN＝1，求BC的长．
21．已知方程组的解满足﹣1＜x+y≤3．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？
22．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，与y轴交于点E．
（1）求直线AB的表达式和C点坐标；
（2）观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集；
（3）若P为y轴上一动点，连接PC，当时，请直接写出P点坐标．
23．【背景】数学课上，老师给出一个问题背景让同学们探究结论：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点，点E为射线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF．
【探究】（1）小明先画出当点E与点D重合时的图形（如图2），并探究出此时AF与DC之间的数量关系，下面是小明的部分分析过程，请将其补充完整．
结论：AF与CD的数量关系为
方法分析：过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．
由条件：“线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF”
可知CE＝CF，DCF＝90°；
又根据∠FCA+∠ACD＝90°，∠GCE+∠ACD＝90°
可得∠FCA＝∠GCE（理论依据是 ）；
通过证明易得AC＝CG，
从而证得△AFC≌△GEC
……
（2）小明又画出当点E在线段AD上时的图形（如图3），通过方法类比，请你探究此时线段AF，ED，DC之间的数量关系，并说明理由；
【应用】（3）在【背景】下，老师提出这样一个问题：若，ED＝1，那么△ACF的面积为多少？请直接写出该问题的答案．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＜25 B．t≥12 C．12≤t≤25 D．12＜t＜25
【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可．
解：∵某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，
∴当天气温t（℃）的变化范围是12≤t＜25，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的定义，能理解题意是解此题的关键．
3．已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣5＜y﹣5 B．﹣2x＜﹣2y C．a2x＞a2y D．
【分析】根据x＞y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
解：A．∵x＞y，
∴x﹣5＞y﹣5，故本选项不合题意；
B．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，a2x＝a2y，故本选项不合题意；
D．∵x＞y，
∴，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
4．用反证法证明：在△ABC中，∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角时，假设，∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）
A．已知 B．三角形内角和等于180°
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
解：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，
令∠A＞90°，∠B＞90°，
则∠A+∠B＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．在联欢会上，三名同学分别站在锐角△ABC的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在△ABC内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子最适合摆放的位置是△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：A．
【点评】本题主要考查了游戏的公平性和线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＞0，b＞0，则ab＞0
B．若a＝b，则|a|＝|b|
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．对顶角相等
【分析】先写出各个命题的逆命题，根据实数的运算、绝对值的性质、全等三角形的性质、对顶角相等判断即可．
解：A、若a＞0，b＞0，则ab＞0的逆定理是若ab＞0，则a＞0，b＞0，是假命题，不符合题意；
B、若a＝b，则|a|＝|b|的逆定理是若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题，不符合题意；
C、三条边对应相等的两个三角形是全等三角形的逆定理是全等三角形的三条边对应相等，是真命题，符合题意；
D、对顶角相等的逆定理是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆定理的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地，甲种运输车载重4吨，乙种运输车载重5吨，每种车都不能超载．现已安排甲种车6辆，要一次性完成该物资的运输，则乙种车至少安排（ ）
A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
【分析】设安排乙种车x辆，根据安排的两种运输车一趟至少可运输46吨物资，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
解：设安排乙种车x辆，
根据题意得：4×6+5x≥46，
解得：x≥，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为5，
∴乙种车至少安排5辆．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C，A，B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】由三角形内角和定理可求∠CAB＝50°，由旋转的性质可得旋转角为∠BAB1＝130°．
解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠CAB＝50°，
∵将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，
∴旋转角为∠BAB1＝180°﹣50°＝130°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9．如图，将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，连接CE，若△ABC的周长为9，四边形ADEC的周长为13，则平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平移的基本性质作答．
解：∵四边形ADEC的周长为13，
∴AB+BD+DE+CE+AC＝13，即（AB+DE+AC）+BD+CE＝13，
∵将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，若△ABC的周长为9，
∴AB+BC+AC＝9，BD＝AB＝CE，DE＝BC，
∴AB+DE+AC＝9，
∴BD+CE＝4，
∴CE＝2，
∴平移的距离为2．
故选：A．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到BD＝AB＝CE，DE＝BC，是解题的关键．
10．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且AP＝1，∠PAN＝60°，若动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，移动到N点停止，连接PQ，则在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
B．直角三角形——等腰三角形一一直角三角形——等边三角形
C．等腰三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
D．等腰三角形一一直角三角形——等边三角形——直角三角形
【分析】动点Q从M点出发沿直线l向N点移动的过程中，由等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，即可解决问题．
解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，
当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形；
当Q运动到A的右侧AQ＝AP＝时，△APQ是直角三角形；
当AQ＝AP＝1时，因为∠PAN＝60，此时△APQ是等边三角形；
当AQ＝2PA＝2时，△APQ是直角三角形．
∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点M（3，﹣5）向右平移3个单位长度得到M′，则M′的坐标为 （6，﹣5） ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
解：∵点M（3，﹣5），
∴向右平移3个单位长度得到M′的坐标为（3+3，﹣5），
即：（6，﹣5）．
故答案为：（6，﹣5）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12．已知3m﹣2x2+m＞1是关于x的一元一次不等式，那么m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以2+m＝1，求解即可．
解：根据题意得：2+m＝1，
解得：m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查．
13．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝ 30 °．
【分析】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BC＝BE，
∴∠C＝∠BEC＝70°．
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．
14．如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC＝35，EF＝5，DE＝13，则△EBD的面积为 55 ．
【分析】过E作EM⊥BC于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM，根据平行线和角平分线的性质易证∠DCE＝∠DEC，根据等角对等边求得CD，从而求得BD，最后根据三角形面积公式求解即可．
解：过E作EM⊥BC于M，
∵BE平分∠ABC，EM⊥BC，EF⊥AB，EF＝5，
∴EM＝EF＝5，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵ED∥AC，
∴∠ACE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴CD＝DE＝13，
∵BC＝35，
∴BD＝BC﹣CD＝35﹣13＝22，
∴S△EBD＝BD•EM＝×22×5＝55．
故答案为：55．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为 2或6 ．
【分析】先根据勾股定理求得AB＝5，再分两种情况求BD的长，一是点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，BE＝AB﹣AE＝1，可求得BD＝；二是点E在边BA的延长线上，则BE＝AB+AE＝9，可求得BD＝3．
解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
由旋转得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝6，AE＝AC＝8，
如图1，点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠C＝90°，
∵BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
∴BD＝＝＝2；
如图2，点E在边BA的延长线上，
∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝10+8＝18，
∴BD＝＝＝6，
综上所述，线段BD的长为2或6，
故答案为：2或6．
【点评】本题重点考查旋转的性质、勾股定理的应用、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，求出点E在边AB上及点E在边BA的延长线上时BE的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）解不等式：2（﹣3+x）＞3（x+2）；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：（1）去括号，得：﹣6+2x＞3x+6，
移项，得：2x﹣3x＞6+6，
合并同类项，得：﹣x＞12，
系数化为1，得：x＜﹣12；
（2）解不等式，得：x＜3，
解不等式，得：x≥0，
则不等式组的解集为0≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．如图，△ABC在坐标平面内（正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度），A、B、C都在格点上（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC进行平移，使点A平移到点D（3，2）处，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）画出平移后的△DEF，E点坐标为 （1，﹣2） ，F点坐标为 （4，﹣1） ；
（2）线段AB扫过的图形面积为 30 ；
（3）将△DEF绕着原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，10秒后，E点坐标为 （﹣1，2） ．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）连接AD，BE，由图可得AB⊥AD，则线段AB扫过的图形面积为S矩形ABED，利用勾股定理求出AD，AB的长，即可得出答案．
（3）根据90°×10＝900°＝360°×2+180°，可以看作将△DEF绕着原点O顺时针旋转180°，进而可得答案．
解：（1）如图，△DEF即为所求.
E点坐标为（1，﹣2），F点坐标为（4，﹣1）．
故答案为：（1，﹣2）；（4，﹣1）．
（2）连接AD，BE，
由图可得AB⊥AD，
由勾股定理得AD＝＝，AB＝＝，
∴线段AB扫过的图形面积为S矩形ABED＝＝30．
故答案为：30．
（3）∵90°×10＝900°＝360°×2+180°，
∴可以看作将△DEF绕着原点O顺时针旋转180°，
此时点E的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，∠B＝15°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形AB边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）过C点作AB的垂线即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝15°，再利用三角形外角性质计算出∠DAC＝30°，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到CD＝10，然后根据三角形的面积公式．
解：（1）如图，CD为所作；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，
∴CD＝AC＝×20＝10，
∴S△ABC＝×20×10＝100．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．
19．4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x（x＞50）元，方案一应付y1元，方案二应付y2元．
（1）当x＝150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
（2）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（3）小明如何选择购书方案才更划算？
【分析】（1）当x＝150时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；
（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；
（3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．
解：（1）当x＝150时，
方案一：150×0.8＝120（元），
方案二：50+150×0.8×0.75＝50+90＝140（元），
∵120＜140，
∴小明用方案一购书更划算；
（2）方案一：y1＝0.8x；
方案二：y2＝50+0.8×0.75x＝0.6x+50；
∴y1与x的函数关系式为y1＝0.8x；y2与x的函数关系式为y2＝0.6x+50；
（3）当y1＞y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＞250；
当y1＜y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＜250；
当y1＝y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＝250．
∴当x＜250时，方案一更划算；当x＞250时，方案二更划算；当x＝250时，方案一、方案二一样划算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
20．将△ADC和△DEF按如图方式摆放，其中C、E、B、F位于同一直线上，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，CE＝BF，AB与DE相交于点M，MN平分∠EMB交EB于点N．
（1）求证：AB＝DE；
（2）若FC＝14，EN＝1，求BC的长．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC和≌Rt△DEF，可得AB＝DE；
（2）由全等三角形的性质可得∠∠ABC＝∠DEF，由等腰三角形的性质可求BN＝EN＝1，即可求解．
【解答】（1）证明：∵CE＝BF，
∴CB＝FE，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC和≌Rt△DEF（HL），
∴AB＝DE；
（2）∵Rt△ABC和≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴BM＝EM，
∵MN平分∠EMB，
∴EN＝BN＝1，
∵FC＝14＝BC+EF﹣BE，
∴2BC＝16，
∴BC＝8，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．已知方程组的解满足﹣1＜x+y≤3．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？
【分析】（1）两个方程相加可得出x+y＝a+1，根据﹣1＜x+y≤3列出关于a的不等式，解之可得答案；
（2）根据不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1、a为整数和（1）中a的取值范围，可以求得a的值．
解：（1）两个方程相加可得3x+3y＝3a+3，
则x+y＝a+1，
根据题意，得：﹣1＜a+1≤3，
解得﹣2＜a≤2，
即a的取值范围是﹣2＜a≤2；
（2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1，
∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1，
∴2a﹣1＜0，得a＜0.5，
又∵﹣2＜a＜2且a为整数，
∴a＝﹣1，0，
即a的值是﹣1或0．
【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．
22．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，与y轴交于点E．
（1）求直线AB的表达式和C点坐标；
（2）观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集；
（3）若P为y轴上一动点，连接PC，当时，请直接写出P点坐标．
【分析】（1）根据直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），列方程组即可得到直线AB的表达式为y＝x+5；解方程组于是得到C点坐标为（﹣3，2）；
（2）根据函数图象即可得到结论；
（3）解方程求得D（0，5），E（0，﹣4），设P（0，m），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），
∴，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝x+5；
解得，
∴C点坐标为（﹣3，2）；
（2）由图象知不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集为x＞﹣3；
（3）对于y＝x+5，令x＝0，则y＝5，
∴D（0，5），
对于y＝﹣2x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，
∴E（0，﹣4），
设P（0，m），
∵，
∴|5﹣m|×3＝3×9，
∴m＝或m＝，
∴P（0，）或（0，）．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，两一次函数交点坐标的求法，三角形的面积，正确求出交点坐标是解题的关键．
23．【背景】数学课上，老师给出一个问题背景让同学们探究结论：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点，点E为射线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF．
【探究】（1）小明先画出当点E与点D重合时的图形（如图2），并探究出此时AF与DC之间的数量关系，下面是小明的部分分析过程，请将其补充完整．
结论：AF与CD的数量关系为 AF＝CD
方法分析：过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．
由条件：“线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF”
可知CE＝CF，DCF＝90°；
又根据∠FCA+∠ACD＝90°，∠GCE+∠ACD＝90°
可得∠FCA＝∠GCE（理论依据是 同角的余角相等 ）；
通过证明易得AC＝CG，
从而证得△AFC≌△GEC
……
（2）小明又画出当点E在线段AD上时的图形（如图3），通过方法类比，请你探究此时线段AF，ED，DC之间的数量关系，并说明理由；
【应用】（3）在【背景】下，老师提出这样一个问题：若，ED＝1，那么△ACF的面积为多少？请直接写出该问题的答案．
【分析】（1）过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．根据旋转的性质得到CE＝CF，DCF＝90°；根据同角的余角相等得到∠FCA＝∠GCE，根据全等三角形的性质得到AF＝CD；
（2）如图3，过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．根据旋转的性质得到CE＝CF，DCF＝90°；根据同角的余角相等得到∠FCA＝∠GCE，根据全等三角形的性质得到AF＝CD，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC＝AC＝6，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，CD＝BC＝3，当点E在线段AD上时，如图3，当点E在AD的延长线上时，如图4，根据三角形 打麻将公式即可得到结论．
解：（1）AF与CD的数量关系为AF＝CD，
过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．
由条件：“线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF”
可知CE＝CF，DCF＝90°；
又根据∠FCA+∠ACD＝90°，∠GCE+∠ACD＝90°
可得∠FCA＝∠GCE，
（理论依据是同角的余角相等）；
通过证明易得AC＝CG，
从而证得△AFC≌△GEC（SAS），
于是得到AF＝CD；
故答案为：AF＝CD，同角的余角相等；
（2）AF＝DE+CD，
理由：如图3，过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，
∵将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∵∠ACG＝90°，
∴∠FCA+∠ACD＝90°，∠GCE+∠ACD＝90°，
∴∠FCA＝∠GCE，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC边中点，
∴，AD⊥BC，
∴∠AGC＝45°，
∴∠CAD＝∠AGC，
∴AC＝CG，
∴△AFC≌△GEC（SAS），
∴AF＝EG，
∵AD⊥BC，∠AGC＝45°，
∴∠DCG＝∠AGC，
∴CD＝DG，
∴AF＝EG＝DE+DG＝DE+CD；
（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，
∴BC＝AC＝6，
∵点D为BC边中点，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝3，
当点E在线段AD上时，如图3，
由（2）知DG＝CD＝3，△AFC≌△GEC，
∴△ACF的面积＝△GEC的面积＝EG•CD＝＝6；
当点E在AD的延长线上时，如图4，
同理可得△ACF的面积＝△GEC的面积＝EG•CD＝＝3，
综上所述，△ACF的面积为6或3．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
2022-2023学年河南省实验中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＜25 B．t≥12 C．12≤t≤25 D．12＜t＜25
3．已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣5＜y﹣5 B．﹣2x＜﹣2y C．a2x＞a2y D．
4．用反证法证明：在△ABC中，∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角时，假设，∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）
A．已知 B．三角形内角和等于180°
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
5．在联欢会上，三名同学分别站在锐角△ABC的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在△ABC内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子最适合摆放的位置是△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＞0，b＞0，则ab＞0
B．若a＝b，则|a|＝|b|
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．对顶角相等
7．甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地，甲种运输车载重4吨，乙种运输车载重5吨，每种车都不能超载．现已安排甲种车6辆，要一次性完成该物资的运输，则乙种车至少安排（ ）
A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C，A，B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
9．如图，将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，连接CE，若△ABC的周长为9，四边形ADEC的周长为13，则平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且AP＝1，∠PAN＝60°，若动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，移动到N点停止，连接PQ，则在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
B．直角三角形——等腰三角形一一直角三角形——等边三角形
C．等腰三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
D．等腰三角形一一直角三角形——等边三角形——直角三角形
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点M（3，﹣5）向右平移3个单位长度得到M′，则M′的坐标为 ．
12．已知3m﹣2x2+m＞1是关于x的一元一次不等式，那么m＝ ．
13．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝ °．
14．如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC＝35，EF＝5，DE＝13，则△EBD的面积为 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）解不等式：2（﹣3+x）＞3（x+2）；
（2）解不等式组：．
17．如图，△ABC在坐标平面内（正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度），A、B、C都在格点上（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC进行平移，使点A平移到点D（3，2）处，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）画出平移后的△DEF，E点坐标为 ，F点坐标为 ；
（2）线段AB扫过的图形面积为 ；
（3）将△DEF绕着原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，10秒后，E点坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，∠B＝15°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形AB边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求△ABC的面积．
19．4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x（x＞50）元，方案一应付y1元，方案二应付y2元．
（1）当x＝150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
（2）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（3）小明如何选择购书方案才更划算？
20．将△ADC和△DEF按如图方式摆放，其中C、E、B、F位于同一直线上，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，CE＝BF，AB与DE相交于点M，MN平分∠EMB交EB于点N．
（1）求证：AB＝DE；
（2）若FC＝14，EN＝1，求BC的长．
21．已知方程组的解满足﹣1＜x+y≤3．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？
22．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，与y轴交于点E．
（1）求直线AB的表达式和C点坐标；
（2）观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集；
（3）若P为y轴上一动点，连接PC，当时，请直接写出P点坐标．
23．【背景】数学课上，老师给出一个问题背景让同学们探究结论：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点，点E为射线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF．
【探究】（1）小明先画出当点E与点D重合时的图形（如图2），并探究出此时AF与DC之间的数量关系，下面是小明的部分分析过程，请将其补充完整．
结论：AF与CD的数量关系为
方法分析：过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．
由条件：“线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF”
可知CE＝CF，DCF＝90°；
又根据∠FCA+∠ACD＝90°，∠GCE+∠ACD＝90°
可得∠FCA＝∠GCE（理论依据是 ）；
通过证明易得AC＝CG，
从而证得△AFC≌△GEC
……
（2）小明又画出当点E在线段AD上时的图形（如图3），通过方法类比，请你探究此时线段AF，ED，DC之间的数量关系，并说明理由；
【应用】（3）在【背景】下，老师提出这样一个问题：若，ED＝1，那么△ACF的面积为多少？请直接写出该问题的答案．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，则当天气温t（℃）的变化范围是（ ）
A．t＜25 B．t≥12 C．12≤t≤25 D．12＜t＜25
【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可．
解：∵某日我市最高气温是25℃，最低气温是12℃，
∴当天气温t（℃）的变化范围是12≤t＜25，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的定义，能理解题意是解此题的关键．
3．已知x＞y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣5＜y﹣5 B．﹣2x＜﹣2y C．a2x＞a2y D．
【分析】根据x＞y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
解：A．∵x＞y，
∴x﹣5＞y﹣5，故本选项不合题意；
B．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，故本选项符合题意；
C．当a＝0时，a2x＝a2y，故本选项不合题意；
D．∵x＞y，
∴，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
4．用反证法证明：在△ABC中，∠A、∠B、∠C中不能有两个角是钝角时，假设，∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，令∠A＞90°，∠B＞90°，则所得结论与下列四个选项相矛盾的是（ ）
A．已知 B．三角形内角和等于180°
C．钝角三角形的定义 D．以上结论都不对
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
解：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是钝角，
令∠A＞90°，∠B＞90°，
则∠A+∠B＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
5．在联欢会上，三名同学分别站在锐角△ABC的三个顶点位置上，玩“抢凳子”的游戏，游戏要求在△ABC内放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子最适合摆放的位置是△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．
故选：A．
【点评】本题主要考查了游戏的公平性和线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．
6．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若a＞0，b＞0，则ab＞0
B．若a＝b，则|a|＝|b|
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．对顶角相等
【分析】先写出各个命题的逆命题，根据实数的运算、绝对值的性质、全等三角形的性质、对顶角相等判断即可．
解：A、若a＞0，b＞0，则ab＞0的逆定理是若ab＞0，则a＞0，b＞0，是假命题，不符合题意；
B、若a＝b，则|a|＝|b|的逆定理是若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题，不符合题意；
C、三条边对应相等的两个三角形是全等三角形的逆定理是全等三角形的三条边对应相等，是真命题，符合题意；
D、对顶角相等的逆定理是相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆定理的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地，甲种运输车载重4吨，乙种运输车载重5吨，每种车都不能超载．现已安排甲种车6辆，要一次性完成该物资的运输，则乙种车至少安排（ ）
A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
【分析】设安排乙种车x辆，根据安排的两种运输车一趟至少可运输46吨物资，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
解：设安排乙种车x辆，
根据题意得：4×6+5x≥46，
解得：x≥，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为5，
∴乙种车至少安排5辆．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C，A，B1在一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】由三角形内角和定理可求∠CAB＝50°，由旋转的性质可得旋转角为∠BAB1＝130°．
解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠CAB＝50°，
∵将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，
∴旋转角为∠BAB1＝180°﹣50°＝130°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
9．如图，将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，连接CE，若△ABC的周长为9，四边形ADEC的周长为13，则平移的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据平移的基本性质作答．
解：∵四边形ADEC的周长为13，
∴AB+BD+DE+CE+AC＝13，即（AB+DE+AC）+BD+CE＝13，
∵将△ABC沿直线AB向右平移得到△BDE，若△ABC的周长为9，
∴AB+BC+AC＝9，BD＝AB＝CE，DE＝BC，
∴AB+DE+AC＝9，
∴BD+CE＝4，
∴CE＝2，
∴平移的距离为2．
故选：A．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到BD＝AB＝CE，DE＝BC，是解题的关键．
10．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且AP＝1，∠PAN＝60°，若动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，移动到N点停止，连接PQ，则在△APQ形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
B．直角三角形——等腰三角形一一直角三角形——等边三角形
C．等腰三角形——等边三角形——直角三角形——等腰三角形
D．等腰三角形一一直角三角形——等边三角形——直角三角形
【分析】动点Q从M点出发沿直线l向N点移动的过程中，由等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，即可解决问题．
解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，
当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形；
当Q运动到A的右侧AQ＝AP＝时，△APQ是直角三角形；
当AQ＝AP＝1时，因为∠PAN＝60，此时△APQ是等边三角形；
当AQ＝2PA＝2时，△APQ是直角三角形．
∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点M（3，﹣5）向右平移3个单位长度得到M′，则M′的坐标为 （6，﹣5） ．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
解：∵点M（3，﹣5），
∴向右平移3个单位长度得到M′的坐标为（3+3，﹣5），
即：（6，﹣5）．
故答案为：（6，﹣5）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12．已知3m﹣2x2+m＞1是关于x的一元一次不等式，那么m＝ ﹣1 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，所以2+m＝1，求解即可．
解：根据题意得：2+m＝1，
解得：m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件的考查．
13．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A＝40°，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则∠ABE＝ 30 °．
【分析】利用等腰三角形的性质先求出∠C、∠BEC，再利用三角形的外角与内角的关系得结论．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠A）＝70°．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BC＝BE，
∴∠C＝∠BEC＝70°．
∵∠BEC＝∠A+∠ABE，
∴∠ABE＝∠BEC﹣∠A＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”及“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”等知识点是解决本题的关键．
14．如图，在△ABC中，BE，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，ED∥AC，交BC于点D，EF⊥AB于点F．若BC＝35，EF＝5，DE＝13，则△EBD的面积为 55 ．
【分析】过E作EM⊥BC于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得EM，根据平行线和角平分线的性质易证∠DCE＝∠DEC，根据等角对等边求得CD，从而求得BD，最后根据三角形面积公式求解即可．
解：过E作EM⊥BC于M，
∵BE平分∠ABC，EM⊥BC，EF⊥AB，EF＝5，
∴EM＝EF＝5，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵ED∥AC，
∴∠ACE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴CD＝DE＝13，
∵BC＝35，
∴BD＝BC﹣CD＝35﹣13＝22，
∴S△EBD＝BD•EM＝×22×5＝55．
故答案为：55．
【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE（点D与点B对应），连接BD．当点E落在直线AB上时，线段BD的长为 2或6 ．
【分析】先根据勾股定理求得AB＝5，再分两种情况求BD的长，一是点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠＝90°，BE＝AB﹣AE＝1，可求得BD＝；二是点E在边BA的延长线上，则BE＝AB+AE＝9，可求得BD＝3．
解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
由旋转得∠AED＝∠C＝90°，DE＝BC＝6，AE＝AC＝8，
如图1，点E在边AB上，则∠DEB＝180°﹣∠C＝90°，
∵BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2，
∴BD＝＝＝2；
如图2，点E在边BA的延长线上，
∵∠DEB＝90°，BE＝AB+AE＝10+8＝18，
∴BD＝＝＝6，
综上所述，线段BD的长为2或6，
故答案为：2或6．
【点评】本题重点考查旋转的性质、勾股定理的应用、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，求出点E在边AB上及点E在边BA的延长线上时BE的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）解不等式：2（﹣3+x）＞3（x+2）；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：（1）去括号，得：﹣6+2x＞3x+6，
移项，得：2x﹣3x＞6+6，
合并同类项，得：﹣x＞12，
系数化为1，得：x＜﹣12；
（2）解不等式，得：x＜3，
解不等式，得：x≥0，
则不等式组的解集为0≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．如图，△ABC在坐标平面内（正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度），A、B、C都在格点上（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC进行平移，使点A平移到点D（3，2）处，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）画出平移后的△DEF，E点坐标为 （1，﹣2） ，F点坐标为 （4，﹣1） ；
（2）线段AB扫过的图形面积为 30 ；
（3）将△DEF绕着原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，10秒后，E点坐标为 （﹣1，2） ．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）连接AD，BE，由图可得AB⊥AD，则线段AB扫过的图形面积为S矩形ABED，利用勾股定理求出AD，AB的长，即可得出答案．
（3）根据90°×10＝900°＝360°×2+180°，可以看作将△DEF绕着原点O顺时针旋转180°，进而可得答案．
解：（1）如图，△DEF即为所求.
E点坐标为（1，﹣2），F点坐标为（4，﹣1）．
故答案为：（1，﹣2）；（4，﹣1）．
（2）连接AD，BE，
由图可得AB⊥AD，
由勾股定理得AD＝＝，AB＝＝，
∴线段AB扫过的图形面积为S矩形ABED＝＝30．
故答案为：30．
（3）∵90°×10＝900°＝360°×2+180°，
∴可以看作将△DEF绕着原点O顺时针旋转180°，
此时点E的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，∠B＝15°．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出该三角形AB边上的高（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）过C点作AB的垂线即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝15°，再利用三角形外角性质计算出∠DAC＝30°，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到CD＝10，然后根据三角形的面积公式．
解：（1）如图，CD为所作；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，
∴CD＝AC＝×20＝10，
∴S△ABC＝×20×10＝100．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．
19．4月23日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；
方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的优惠．
设小明当天购书标价总额为x（x＞50）元，方案一应付y1元，方案二应付y2元．
（1）当x＝150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
（2）直接写出y1，y2与x的函数关系式；
（3）小明如何选择购书方案才更划算？
【分析】（1）当x＝150时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；
（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；
（3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．
解：（1）当x＝150时，
方案一：150×0.8＝120（元），
方案二：50+150×0.8×0.75＝50+90＝140（元），
∵120＜140，
∴小明用方案一购书更划算；
（2）方案一：y1＝0.8x；
方案二：y2＝50+0.8×0.75x＝0.6x+50；
∴y1与x的函数关系式为y1＝0.8x；y2与x的函数关系式为y2＝0.6x+50；
（3）当y1＞y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＞250；
当y1＜y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＜250；
当y1＝y2时，即0.8x＞0.6x+50，
解得x＝250．
∴当x＜250时，方案一更划算；当x＞250时，方案二更划算；当x＝250时，方案一、方案二一样划算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
20．将△ADC和△DEF按如图方式摆放，其中C、E、B、F位于同一直线上，已知∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，CE＝BF，AB与DE相交于点M，MN平分∠EMB交EB于点N．
（1）求证：AB＝DE；
（2）若FC＝14，EN＝1，求BC的长．
【分析】（1）由“HL”可证Rt△ABC和≌Rt△DEF，可得AB＝DE；
（2）由全等三角形的性质可得∠∠ABC＝∠DEF，由等腰三角形的性质可求BN＝EN＝1，即可求解．
【解答】（1）证明：∵CE＝BF，
∴CB＝FE，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC和≌Rt△DEF（HL），
∴AB＝DE；
（2）∵Rt△ABC和≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴BM＝EM，
∵MN平分∠EMB，
∴EN＝BN＝1，
∵FC＝14＝BC+EF﹣BE，
∴2BC＝16，
∴BC＝8，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
21．已知方程组的解满足﹣1＜x+y≤3．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为何整数时，不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1？
【分析】（1）两个方程相加可得出x+y＝a+1，根据﹣1＜x+y≤3列出关于a的不等式，解之可得答案；
（2）根据不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1、a为整数和（1）中a的取值范围，可以求得a的值．
解：（1）两个方程相加可得3x+3y＝3a+3，
则x+y＝a+1，
根据题意，得：﹣1＜a+1≤3，
解得﹣2＜a≤2，
即a的取值范围是﹣2＜a≤2；
（2）由不等式2ax﹣x＞2a﹣1，得（2a﹣1）x＞2a﹣1，
∵不等式2ax﹣x＞2a﹣1的解集为x＜1，
∴2a﹣1＜0，得a＜0.5，
又∵﹣2＜a＜2且a为整数，
∴a＝﹣1，0，
即a的值是﹣1或0．
【点评】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．
22．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），直线y＝﹣2x﹣4与直线AB相交于点C，与y轴交于点E．
（1）求直线AB的表达式和C点坐标；
（2）观察图象，直接写出关于x的不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集；
（3）若P为y轴上一动点，连接PC，当时，请直接写出P点坐标．
【分析】（1）根据直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），列方程组即可得到直线AB的表达式为y＝x+5；解方程组于是得到C点坐标为（﹣3，2）；
（2）根据函数图象即可得到结论；
（3）解方程求得D（0，5），E（0，﹣4），设P（0，m），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣5，0），B（﹣1，4），
∴，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝x+5；
解得，
∴C点坐标为（﹣3，2）；
（2）由图象知不等式kx+b＞﹣2x﹣4的解集为x＞﹣3；
（3）对于y＝x+5，令x＝0，则y＝5，
∴D（0，5），
对于y＝﹣2x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，
∴E（0，﹣4），
设P（0，m），
∵，
∴|5﹣m|×3＝3×9，
∴m＝或m＝，
∴P（0，）或（0，）．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，两一次函数交点坐标的求法，三角形的面积，正确求出交点坐标是解题的关键．
23．【背景】数学课上，老师给出一个问题背景让同学们探究结论：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC边中点，点E为射线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接AF．
【探究】（1）小明先画出当点E与点D重合时的图形（如图2），并探究出此时AF与DC之间的数量关系，下面是小明的部分分析过程，请将其补充完整．
结论：AF与CD的数量关系为 AF＝CD
方法分析：过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．
由条件：“线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF”
可知CE＝CF，DCF＝90°；
又根据∠FCA+∠ACD＝90°，∠GCE+∠ACD＝90°
可得∠FCA＝∠GCE（理论依据是 同角的余角相等 ）；
通过证明易得AC＝CG，
从而证得△AFC≌△GEC
……
（2）小明又画出当点E在线段AD上时的图形（如图3），通过方法类比，请你探究此时线段AF，ED，DC之间的数量关系，并说明理由；
【应用】（3）在【背景】下，老师提出这样一个问题：若，ED＝1，那么△ACF的面积为多少？请直接写出该问题的答案．
【分析】（1）过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．根据旋转的性质得到CE＝CF，DCF＝90°；根据同角的余角相等得到∠FCA＝∠GCE，根据全等三角形的性质得到AF＝CD；
（2）如图3，过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．根据旋转的性质得到CE＝CF，DCF＝90°；根据同角的余角相等得到∠FCA＝∠GCE，根据全等三角形的性质得到AF＝CD，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC＝AC＝6，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，CD＝BC＝3，当点E在线段AD上时，如图3，当点E在AD的延长线上时，如图4，根据三角形 打麻将公式即可得到结论．
解：（1）AF与CD的数量关系为AF＝CD，
过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，如图2．
由条件：“线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF”
可知CE＝CF，DCF＝90°；
又根据∠FCA+∠ACD＝90°，∠GCE+∠ACD＝90°
可得∠FCA＝∠GCE，
（理论依据是同角的余角相等）；
通过证明易得AC＝CG，
从而证得△AFC≌△GEC（SAS），
于是得到AF＝CD；
故答案为：AF＝CD，同角的余角相等；
（2）AF＝DE+CD，
理由：如图3，过点C作AC的垂线交AD延长线于点G，
∵将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∵∠ACG＝90°，
∴∠FCA+∠ACD＝90°，∠GCE+∠ACD＝90°，
∴∠FCA＝∠GCE，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC边中点，
∴，AD⊥BC，
∴∠AGC＝45°，
∴∠CAD＝∠AGC，
∴AC＝CG，
∴△AFC≌△GEC（SAS），
∴AF＝EG，
∵AD⊥BC，∠AGC＝45°，
∴∠DCG＝∠AGC，
∴CD＝DG，
∴AF＝EG＝DE+DG＝DE+CD；
（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，
∴BC＝AC＝6，
∵点D为BC边中点，
∴AD⊥BC，CD＝BC＝3，
当点E在线段AD上时，如图3，
由（2）知DG＝CD＝3，△AFC≌△GEC，
∴△ACF的面积＝△GEC的面积＝EG•CD＝＝6；
当点E在AD的延长线上时，如图4，
同理可得△ACF的面积＝△GEC的面积＝EG•CD＝＝3，
综上所述，△ACF的面积为6或3．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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