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2024年高考数学一轮复习第九章第七讲条件概率、二项分布与正态分布课件
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这是一份2024年高考数学一轮复习第九章第七讲条件概率、二项分布与正态分布课件，共60页。PPT课件主要包含了答案C，PABPA，nABnA，图9-7-2，事件的和，答案D，答案A等内容，欢迎下载使用。
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称
事件 A 与事件 B 相互独立.
4.独立重复试验与二项分布(1)伯努利实验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验.将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验.n 重伯努利试验具有如下特征：①同一个伯努利试验重复做 n 次.②各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的
此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率.
μ和σ为参数(σ>0，μ∈R).我们称函数f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交.②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称.
④当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴.⑤曲线与 x 轴之间的面积为 1.
⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿 x 轴
平移，如图 9-7-1①所示.
⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图 9-7-1②所示.
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量 x 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X服从正态分布，记作 X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ
数}，B＝{两次的点数之和为 4}，则 P(B|A)＝(
解析：由题意知事件 A 包含的样本点为(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)共 9 个，在 A 发生的条件下，事件 B 包含的样本点为(1，3)，(3，1)共 2 个，所以
3.(一题两空)(2022 年天津)现有 52 张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到 A 的概率为________；在第一次抽到 A 的条件下，第二次也抽到 A 的概率是________.
n(AB)，得 P(B|A)＝
【题后反思】求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即
[例 1]有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%.已知这三个厂的产品次品率分别为 2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
解：设事件 A 为“任取一件为次品”，
事件 Bi 为“任取一件为 i 厂的产品”，i＝1，2，3.如图972，B1∪B2∪B3＝S，
由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3). P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01， 故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
【题后反思】(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发
(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥
(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.
【变式训练】(2022 年古冶区校级期末)有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 6%，第 2，3 台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零
件，则取到的零件是次品的概率为(
解析：设 B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第 i 台
车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3，两两互斥.根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45.P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5.故选D.
考点三 独立重复试验与二项分布
考向 1 相互独立事件的概率
(1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答这道题正确
考向 2 独立重复试验
研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的.
(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的
绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望；
(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率.
考向 3 二项分布
[例 4]某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有 9 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”卡和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者
问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有 9 张卡片的盒中随机抽出 1 张不放回，再用剩下 8 张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X 表示获奖的人数，求 X 的分布列和均值.
【题后反思】(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略①在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首
先要确定 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率；
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，从而求得概率.
2.(考向 2)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过100 km/h的有 25 人.
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列.
3.(考向 3)(2022 年汕头市一模)足球比赛全场比赛时间为 90 分钟，在 90 分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行 30 分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派 5 名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满 5 轮前，一队的进球数已多于另一队踢满 5 次可能射中的球数，则不需再踢，例如第 4 轮结束时，双方进球数比为 2∶0，则不需再踢第 5轮了；③若前 5 轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死
亡法”决出胜负，即从第 6 轮起，双方每轮各派 1 人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
练中，小明射了 3 次点球，且每次射点球互不影响，记 X 为射进点球的次数，求 X 的分布列及数学期望.
(2)记“在第 4 轮结束时，甲队进了 3 个球并刚好胜出”为事
由题意可知，在第 4 轮结束时，甲队进了 3 个球并刚好胜出，则甲、乙两队进球数之比为 3∶0 或 3∶1.“甲、乙两队进球数之比为 3∶0”记为事件A1，“甲、乙两队进球数之比为 3∶1”记为事件 A2，
则A＝A1＋A2，且A1与A2互斥，
考点四 正态分布[例 5](1)(2021 年全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布
N(10，σ2 )，则下列结论中不正确的是(
A.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.1)内的概率越大B.该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C.该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
解析：因为某物理量的测量结果服从正态分布 N(10，σ2 )，所以测量的结果的概率分布关于 10 对称，且方差σ2 越小，则分布越集中.
对于 A，σ越小，概率越集中在 10 左右，则该物理量一次测
量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故 A 正确；
对于 B，由于概率分布关于 10 对称，测量结果大于 10 的概
率为 0.5，故 B 正确；
对于 C，因为 10.01 和 9.99 关于 10 对称，所以测量结果大于
10.01 的概率等于小于 9.99 的概率，故 C 正确；
对于 D，由于概率分布是集中在 10 附近的，(9.9，10.2)分布在 10 附近的区域大于(10，10.3)分布在 10 附近的区域，故测量结果落在(9.9，10.2)内的概率大于落在(10，10.3)内的概率，故 D 错误.
解析：由题意可知 X～N(1，σ2)，
【题后反思】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴
x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x＝0.
【变式训练】设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 X，且 X～N(800，
502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为(
[参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ
∴P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选 A.
⊙二项分布与超几何分布模型识别问题(数据分析、数学建模)教科书和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.
[例 6]写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二
项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？
(1)X1 表示 n 次重复抛掷 1 枚骰子出现点数是 3 的倍数的次数；(2)X2 表示连续抛掷 2 枚骰子，所得的 2 个骰子的点数之和；(3)有一批产品共有 N 件，其中次品有 M 件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取 n 次(n＞N)，抽出的次品件数为 X3；(4)有一批产品共有 N 件，其中 M 件为次品，采用不放回抽取方法抽 n 件，出现次品的件数为 X4(N－M≥n＞0，m＝min{M，n}).
(2)X2 的分布列为
X2 既不服从二项分布，也不服从超几何分布.
(4)X4 的分布列为
X4 服从超几何分布.
【反思感悟】超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是独立的，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图(如图 9-7-5).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量；(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505
克的产品数量，求 X 的分布列；
(3)从该流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产
品数量，求 Y 的分布列.
解：(1)质量超过 505 克的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过 505 克的产品数量为 40×0.3＝12(件).(2)质量超过 505 克的产品数量为 12 件，则质量未超过 505 克的产品数量为 28 件，X 的取值为 0，1，2，X 服从超几何分布.
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)·P(B)，则称
事件 A 与事件 B 相互独立.
4.独立重复试验与二项分布(1)伯努利实验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验.将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验.n 重伯努利试验具有如下特征：①同一个伯努利试验重复做 n 次.②各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的
此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率.
μ和σ为参数(σ>0，μ∈R).我们称函数f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交.②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ对称.
④当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴.⑤曲线与 x 轴之间的面积为 1.
⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿 x 轴
平移，如图 9-7-1①所示.
⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图 9-7-1②所示.
(3)正态分布的定义及表示
若随机变量 x 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X服从正态分布，记作 X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ
数}，B＝{两次的点数之和为 4}，则 P(B|A)＝(
解析：由题意知事件 A 包含的样本点为(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)共 9 个，在 A 发生的条件下，事件 B 包含的样本点为(1，3)，(3，1)共 2 个，所以
3.(一题两空)(2022 年天津)现有 52 张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到 A 的概率为________；在第一次抽到 A 的条件下，第二次也抽到 A 的概率是________.
n(AB)，得 P(B|A)＝
【题后反思】求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数n(A)，再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数，即
[例 1]有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占 50%，三厂生产的占 20%.已知这三个厂的产品次品率分别为 2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
解：设事件 A 为“任取一件为次品”，
事件 Bi 为“任取一件为 i 厂的产品”，i＝1，2，3.如图972，B1∪B2∪B3＝S，
由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3). P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01， 故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
【题后反思】(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发
(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥
(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.
【变式训练】(2022 年古冶区校级期末)有 3 台车床加工同一型号的零件，第 1 台加工的次品率为 6%，第 2，3 台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第 1，2，3 台车床加工的零件数分别占总数的 25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零
件，则取到的零件是次品的概率为(
解析：设 B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第 i 台
车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3，两两互斥.根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45.P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5.故选D.
考点三 独立重复试验与二项分布
考向 1 相互独立事件的概率
(1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于 2 个家庭回答这道题正确
考向 2 独立重复试验
研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的.
(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的
绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望；
(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率.
考向 3 二项分布
[例 4]某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有 9 张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”卡和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者
问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有 9 张卡片的盒中随机抽出 1 张不放回，再用剩下 8 张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用 X 表示获奖的人数，求 X 的分布列和均值.
【题后反思】(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略①在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首
先要确定 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率；
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，从而求得概率.
2.(考向 2)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过100 km/h的有 25 人.
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列.
3.(考向 3)(2022 年汕头市一模)足球比赛全场比赛时间为 90 分钟，在 90 分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行 30 分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派 5 名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满 5 轮前，一队的进球数已多于另一队踢满 5 次可能射中的球数，则不需再踢，例如第 4 轮结束时，双方进球数比为 2∶0，则不需再踢第 5轮了；③若前 5 轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死
亡法”决出胜负，即从第 6 轮起，双方每轮各派 1 人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
练中，小明射了 3 次点球，且每次射点球互不影响，记 X 为射进点球的次数，求 X 的分布列及数学期望.
(2)记“在第 4 轮结束时，甲队进了 3 个球并刚好胜出”为事
由题意可知，在第 4 轮结束时，甲队进了 3 个球并刚好胜出，则甲、乙两队进球数之比为 3∶0 或 3∶1.“甲、乙两队进球数之比为 3∶0”记为事件A1，“甲、乙两队进球数之比为 3∶1”记为事件 A2，
则A＝A1＋A2，且A1与A2互斥，
考点四 正态分布[例 5](1)(2021 年全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布
N(10，σ2 )，则下列结论中不正确的是(
A.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.1)内的概率越大B.该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5C.该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等
解析：因为某物理量的测量结果服从正态分布 N(10，σ2 )，所以测量的结果的概率分布关于 10 对称，且方差σ2 越小，则分布越集中.
对于 A，σ越小，概率越集中在 10 左右，则该物理量一次测
量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故 A 正确；
对于 B，由于概率分布关于 10 对称，测量结果大于 10 的概
率为 0.5，故 B 正确；
对于 C，因为 10.01 和 9.99 关于 10 对称，所以测量结果大于
10.01 的概率等于小于 9.99 的概率，故 C 正确；
对于 D，由于概率分布是集中在 10 附近的，(9.9，10.2)分布在 10 附近的区域大于(10，10.3)分布在 10 附近的区域，故测量结果落在(9.9，10.2)内的概率大于落在(10，10.3)内的概率，故 D 错误.
解析：由题意可知 X～N(1，σ2)，
【题后反思】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴
x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x＝0.
【变式训练】设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 X，且 X～N(800，
502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为(
[参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ
∴P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2.故选 A.
⊙二项分布与超几何分布模型识别问题(数据分析、数学建模)教科书和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.
[例 6]写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二
项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？
(1)X1 表示 n 次重复抛掷 1 枚骰子出现点数是 3 的倍数的次数；(2)X2 表示连续抛掷 2 枚骰子，所得的 2 个骰子的点数之和；(3)有一批产品共有 N 件，其中次品有 M 件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取 n 次(n＞N)，抽出的次品件数为 X3；(4)有一批产品共有 N 件，其中 M 件为次品，采用不放回抽取方法抽 n 件，出现次品的件数为 X4(N－M≥n＞0，m＝min{M，n}).
(2)X2 的分布列为
X2 既不服从二项分布，也不服从超几何分布.
(4)X4 的分布列为
X4 服从超几何分布.
【反思感悟】超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是独立的，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图(如图 9-7-5).
(1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 克的产品数量；(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 X 为质量超过 505
克的产品数量，求 X 的分布列；
(3)从该流水线上任取 2 件产品，设 Y 为质量超过 505 克的产
品数量，求 Y 的分布列.
解：(1)质量超过 505 克的产品的频率为 5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过 505 克的产品数量为 40×0.3＝12(件).(2)质量超过 505 克的产品数量为 12 件，则质量未超过 505 克的产品数量为 28 件，X 的取值为 0，1，2，X 服从超几何分布.
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