2024年高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件

这是一份2024年高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件，共42页。PPT课件主要包含了n∈R，答案A，答案D，答案相交，题后反思，分别化为相等，答案B，A′ab，图D55，A2x2y2等内容，欢迎下载使用。

1.两条直线的位置关系
【常用结论】(1)直线系方程
①与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝
0(m∈R且 m≠C).
②与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝
③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2.
(2)五种常用对称关系
①点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
②点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，－y)，关于 y 轴的对称点
③点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x
的对称点为(－y，－x).
④点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线
y＝b 的对称点为(x，2b－y).
⑤点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
考点一 两直线的平行与垂直1.(2022 年南充市期末)“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋
1＝0 与直线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的(
A.充分不必要条件C.充要条件
B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析：∵直线l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m＝0 或 m＝1，∴m＝1 是直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直线l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直的充分不必要条件，故选 A.
2.(2023 年三元区校级期中)已知直线 mx＋4y－2＝0 与直线
2x－5y＋n＝0 互相垂直，垂足为(1，p).则 m＋n－p 等于(
3.设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，则l1与l2的位置关系是________(填“平行”“相交”或“垂直”).
这与k1为实数相矛盾，从而k1≠k2，即l1不平行于l2.假设l1⊥l2，则k1k2＝－1，即k1k2＋1＝0，这与已知条件k1k2＋2＝0矛盾，故l1不垂直于l2，故满足k1k2＋2＝0的两直线l1与l2在同一直角坐标平面内相交.
(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的
系数间的关系得出结论.
考点二 两直线的交点与距离问题[例 1](1)若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0 相交于
同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(
解得 c＝2 或－6.答案：2 或－6
(1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)利用距离公式的注意点
①点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离 d＝|x0－a|，到直线 y＝b 的
距离 d＝|y0－b|.
②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数
【变式训练】1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时，点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
2.直线 l 过点 P(－1，2)且到点 A(2，3)和点 B(－4，5)的距离
相等，则直线 l 的方程为________.
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程 x＝－1，也符合题意.答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
[例 2](1)过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为____________________；
解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a，8－2a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(－a，2a－6)在l2 上，代入l2 的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4，0)在直线 l 上，因为 P(0，1)也在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0.
答案：x＋4y－4＝0
(2)已知入射光线经过点 M(－3，4)，被直线 l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点 N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为____________________.
解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2，6)，所以反射光线所在直线的方程为 6x－y－6＝0.
答案：6x－y－6＝0
【题后反思】解决对称问题的方法(1)中心对称①点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点 P′(x′，y′)
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为 A′(m，n)，
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【变式训练】1.(2023 年船山区校级期中)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
解析：如图 D55，设点 A 关于直线 x＋2y＝3 对称的点为
2.已知三角形的一个顶点 A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为 l1：x－y－1＝0 和 l2：x－1＝0，则 BC 边所在直线的方程为____________.
解析：易得点 A 不在 l1 和 l2 上，因此 l1，l2 为∠B，∠C 的平分线，所以点 A 关于 l1，l2 的对称点在 BC 边所在的直线上，设点 A 关于 l1 的对称点为 A1(x1，y1)，点 A 关于 l2 的对称点为
所以A1(0，3)，又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(－2，－1)，
答案：2x－y＋3＝0
⊙巧用直线系求直线方程
(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中A1B2－A2B1≠0，待定系数λ∈R.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为参数)
(3)平行直线系方程：与直线 y＝kx＋b 平行的直线系方程为 y＝kx＋m(m 为参数且 m≠b)；与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C).
(4)垂直直线系方程：与直线 Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)垂直
的直线系方程是 Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数).
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件
待定时，那么可选用直线系方程来求解.
[例 3](1)求证：动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0(其中 m∈R)恒过定点，并求出定点坐标.证明：(方法一)令 m＝0，则直线方程为3x＋y＋1＝0. ①再令 m＝1 时，直线方程为 6x＋y＋4＝0. ②
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0中，(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，　故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0恒过定点A(－1，2).
(方法二)将动直线方程按 m 降幂排列整理，得 m2(x－y＋3)＋m(2x＋y)＋3x＋y＋1＝0， ①不论 m 为何实数，①式恒为零，
故动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－m2)y＋3m2＋1＝0 恒过定点A(－1，2).
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程.
即 4x＋3y－6＝0.
(方法二)设所求直线方程为 4x＋3y＋m＝0，
将法一中求得的交点 P(0，2)代入上式可得 m＝－6，故所求直线方程为 4x＋3y－6＝0.
(方法三)设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，
∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.
∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”，则直线 l 的方
程为 3x－4y＋8＝0.
【题后反思】确定方程含参数的直线所过定点的方法
(1)将直线方程写成点斜式 y－y0＝f(λ)(x－x0)，从而确定定点
(2)将直线方程整理成关于参数的方程，由方程中各项系数及
常数项为 0 确定定点坐标；
(3)给参数取两个不同值，再解直线方程构成的方程组，从而
【高分训练】1.经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点，并且垂直于 3x＋4y－7＝0 的直线方程为________.
答案：4x－3y＋9＝0
2.经过两直线 l1：2x－3y＋2＝0 与 l2：3x－4y－2＝0 的交点，且平行于直线 4x－2y＋7＝0的直线方程是( )
A.x－2y＋9＝0B.4x－2y＋9＝0C.2x－y－18＝0D.x＋2y＋18＝0