2025年高考数学一轮复习-8.2两直线的位置关系【课件】

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1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2. 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3. 探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求 两条平行直线间的距离.
必备知识 系统梳理 基础重落实
1. 点 A （2，5）到直线 l ： x －2 y ＋3＝0的距离为（　　）
2. 已知点 A （3，3 a ＋3）与点 B （ a ，3）之间的距离为5，则实数 a ＝（　　）
3. 若直线 l 1： ax －（ a ＋1） y ＋1＝0与直线 l 2：2 x － ay －1＝0垂直， 则实数 a ＝（　　）
解析：　∵直线 l 1与直线 l 2垂直，∴2 a ＋ a （ a ＋1）＝0，整理得 a 2＋3 a ＝0，解得 a ＝0或 a ＝－3.故选D.
4. 已知直线3 x ＋4 y －3＝0与直线6 x ＋8 y ＋14＝0平行，则它们之间的 距离是 ⁠.
5. 若三条直线 y ＝2 x ， x ＋ y ＝3， mx ＋2 y ＋5＝0相交于同一点，则 m ＝ ⁠.
1. 与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0（ A 2＋ B 2≠0）垂直或平行的直线方程 可设为：
（1）垂直： Bx － Ay ＋ m ＝0；
（2）平行： Ax ＋ By ＋ n ＝0（ n ≠ C ）.
2. 过直线 l 1： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1＝0与 l 2： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2＝0的交点的 直线系方程为 A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1＋λ（ A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2）＝0 （λ∈R），但不包括 l 2.
3. 与对称问题相关的六个结论（1）点（ x ， y ）关于原点（0，0）的对称点为（－ x ，－ y ）；（2）点（ x ， y ）关于点（ a ， b ）的对称点为（2 a － x ，2 b － y ）；（3）点（ x ， y ）关于 x 轴的对称点为（ x ，－ y ），关于 y 轴的对 称点为（－ x ， y ）；（4）点（ x ， y ）关于直线 x ＝ a 的对称点为（2 a － x ， y ），关于 直线 y ＝ b 的对称点为（ x ，2 b － y ）；
（5）点（ x ， y ）关于直线 y ＝ x 的对称点为（ y ， x ），关于直线 y ＝－ x 的对称点为（－ y ，－ x ）；（6）点（ x ， y ）关于直线 x ＋ y ＝ k 的对称点为（ k － y ， k － x ），关于直线 x － y ＝ k 的对称点为（ k ＋ y ， x － k ）.
1. 过点（2，1）且与直线3 x －2 y ＝0垂直的直线方程为（　　）
解析：　由结论1可设直线方程为2 x ＋3 y ＋ b ＝0，把（2，1）代 入，则4＋3＋ b ＝0，即 b ＝－7，则所求直线方程为2 x ＋3 y －7＝0.
2. 过直线2 x － y ＋2＝0和 x ＋ y ＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程 为 ⁠.
3. 点 P （2，5）关于直线 x ＋ y ＝1的对称点的坐标是 ⁠.
解析：由结论3可知，对称点为（1－5，1－2），即（－4，－1）.
3 x － y ＋3＝0
精选考点 典例研析 技法重悟通
1. “ a ＝1”是“直线（2 a ＋1） x ＋ ay ＋1＝0和直线 ax －3 y ＋3＝0垂 直”的（　　）
2. （多选）已知直线 l 1：（ a ＋1） x ＋ ay ＋2＝0， l 2： ax ＋（1－ a ） y －1＝0，则（　　）
3. （2024·泸州模拟）已知两直线 l 1： x ＋ y sin α＋1＝0和 l 2：2 x sin α ＋ y ＋1＝0.若 l 1∥ l 2，则α＝ ⁠.
4. （2024·石家庄质检）已知直线 l 经过直线2 x － y －3＝0和4 x －3 y － 5＝0的交点 P ，且垂直于直线 x ＋ y －2＝0，则直线 l 的方程为 ⁠ ⁠.
练后悟通1. 斜率存在的两直线平行、垂直的判断方法（1）两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；（2）两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
2. 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
【例1】　（1）已知直线 l 1： ax ＋ y ＋1＝0过定点 P ，则点 P 到直线 l 2： y ＝ k （ x ＋1）距离的最大值是（　　）
解题技法求解距离问题的解题思路（1）点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来 求，但要注意此时直线方程必须为一般式；（2）两平行线间的距离的求法：①利用“转化法”将两条平行线间 的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利 用两平行线间的距离公式.
1. 设直线 l ：3 x ＋2 y －6＝0， P （ m ， n ）为直线 l 上的动点，则（ m －1）2＋ n 2的最小值为（　　）
2. 若 P ， Q 分别为直线3 x ＋4 y －12＝0与6 x ＋8 y ＋5＝0上任意一点， 则｜ PQ ｜的最小值为（　　）
考向1　中心对称问题【例2】　（1）（2024·宁波质检）直线 x －2 y －3＝0关于定点 M （－2，1）对称的直线方程是 ⁠；
解析：设所求直线上任一点（ x ， y ），则关于 M （－2，1）的对称点（－4－ x ，2－ y ）在已知直线上，所以所求直线方程为（－4－ x ）－2（2－ y ）－3＝0，即 x －2 y ＋11＝0.
x －2 y ＋11＝0
（2）过点 P （0，1）作直线 l ，使它被直线 l 1：2 x ＋ y －8＝0和 l 2： x －3 y ＋10＝0截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 ⁠ ⁠.
解析：设 l 1与 l 的交点为 A （ a ，8－2 a ），则由题意知，点 A 关 于点 P 的对称点 B （－ a ，2 a －6）在 l 2上，代入 l 2的方程得－ a －3（2 a －6）＋10＝0，解得 a ＝4，即点 A （4，0）在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x ＋4 y －4＝0.
解题技法中心对称问题的类型及解题策略
（2）直线关于点对称：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式 求出它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直 线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜 式得到所求直线方程.
考向2　轴对称问题【例3】　（1）已知入射光线经过点 M （－3，4），被直线 l ： x － y ＋3＝0反射，反射光线经过点 N （2，6），则反射光线所在直线的方 程为 ⁠；
6 x － y －6＝0
（2）直线2 x － y ＋3＝0关于直线 x － y ＋2＝0对称的直线方程是 ⁠ ⁠.
轴对称问题的类型及解题策略
①当 l 1与 l 相交时，则交点必在 l 2上，再求出 l 1上某个点 P 1关于 直线 l 对称的点 P 2，那么由交点及点 P 2的坐标即可求出直线 l 2的 方程；
②当 l 1∥ l 时，借助两直线平行所满足的条件设出对称直线 l 2的 方程，再利用两平行直线间的距离公式列出方程，求得直线 l 2 的方程中的常数项，从而得 l 2的方程.
（2）直线关于直线对称：设直线 l 1关于直线 l 的对称直线为 l 2.
1. 坐标原点（0，0）关于直线 x －2 y ＋2＝0对称的点的坐标是 （　　）
2. 光线沿着直线 y ＝－3 x ＋ b 射到直线 x ＋ y ＝0上，经反射后沿着直 线 y ＝ ax ＋2射出，则有（　　）
关键能力 分层施练 素养重提升
1. （2024·合肥质检）若 l 1：3 x － my －1＝0与 l 2：3（ m ＋2） x －3 y ＋1＝0是两条不同的直线，则“ m ＝1”是“ l 1∥ l 2”的（　　）
解析：　若 l 1∥ l 2，则3×（－3）＝－ m ×3（ m ＋2），解得 m ＝1 或 m ＝－3，而当 m ＝－3时， l 1， l 2重合，故舍去，则“ m ＝1”是 “ l 1∥ l 2”的充要条件.
2. （2024·厦门模拟）已知 A （4，0）到直线4 x －3 y ＋ a ＝0的距离等 于3，则 a 的值为（　　）
3. （2024·临川模拟）已知点 A （0，－1），点 B 在直线 x － y ＋1＝0 上，直线 AB 垂直于直线 x ＋2 y －3＝0，则点 B 的坐标是（　　）
4. （多选）已知直线 l ：（ a 2＋ a ＋1） x － y ＋1＝0，其中 a ∈R，则 下列说法正确的是（　　）
解析：　对于A，当 a ＝－1时，直线 l 的方程为 x － y ＋1＝0，显 然与 x ＋ y ＝0垂直，正确；对于B，若直线 l 与直线 x － y ＝0平行， 可知（ a 2＋ a ＋1）·（－1）＝1×（－1），解得 a ＝0或 a ＝－1， 不正确；对于C，当 x ＝0时，有 y ＝1，所以直线过定点（0，1）， 正确；对于D，当 a ＝0时，直线 l 的方程为 x － y ＋1＝0，在 x 轴， y 轴上的截距分别是－1，1，不正确.
5. （多选）已知三条直线 l 1：2 x －3 y ＋1＝0， l 2：4 x ＋3 y ＋5＝0， l 3： mx － y －1＝0.若 l 1， l 2， l 3三条直线构不成三角形，则 m 的值可能为（　　）
6. （2024·汕头一模）点（3，4）关于直线 x ＋ y ＋1＝0对称的点的坐 标为 ⁠.
7. （2024·东北师大附中模拟）已知 l 1， l 2是分别经过 A （1，1）， B （0，－1）的两条平行直线，当 l 1与 l 2之间的距离最大时，直线 l 1 的方程是 ⁠.
x ＋2 y －3＝0
8. 若直线 ax ＋4 y －2＝0与直线2 x －5 y ＋ b ＝0垂直，垂足为（1， c ），则 a ＋ b ＋ c ＝ ⁠.
9. 直线 l ： y ＝ k （ x ＋2）上存在两个不同的点到原点的距离等于1， 则 k 的取值范围是（　　）
10. 若直线 y ＝2 x ， x ＋ y ＝3， mx ＋ ny ＋5＝0相交于同一点，则点 （ m ， n ）与原点之间的距离的最小值为（　　）
11. 设△ ABC 的一个顶点是 A （3，－1），角 B ， C 的角平分线的方程 分别是 x ＝0， y ＝ x ，则直线 BC 的方程是（　　）
解析：　 A 关于直线 x ＝0的对称点是 A '（－3，－1），关于直线 y ＝ x 的对称点是 A ″（－1，3），由角平分线的性质可知，点 A '， A ″均在直线 BC 上，所以直线 BC 的方程为 y ＝2 x ＋5.故选C.
12. （多选）已知直线 l 1： ax － y ＋1＝0， l 2： x ＋ ay ＋1＝0， a ∈R，以下结论正确的是（　　）
解析：　对于A， a ×1＋（－1）× a ＝0恒成立， l 1与 l 2互相 垂直恒成立，故A正确；对于B，直线 l 1： ax － y ＋1＝0，当 a 变 化时， x ＝0， y ＝1恒成立，所以 l 1恒过定点 A （0，1）； l 2： x ＋ ay ＋1＝0，当 a 变化时， x ＝－1， y ＝0恒成立，所以 l 2恒过定点 B （－1，0），故B正确；对于C，在 l 1上任取点（ x ， ax ＋1）， 其关于直线 x ＋ y ＝0对称的点的坐标为（－ ax －1，－ x ），代入 l 2： x ＋ ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；
14. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽 火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将 军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到 河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐 标系中，设军营所在区域为 x 2＋ y 2≤3，若将军从点 A （3，1）处 出发，河岸线所在直线方程为 x ＋ y ＝5，并假定将军只要到达军 营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 ⁠.
15. 已知直线 l 1： kx ＋ y －1＝0， l 2： x ＋ ky ＋1＝0，若 l 1∥ l 2，则 k ＝ ；若曲线： y ＝｜ x ｜与直线 l 1有两个公共点，则实数 k 的取 值范围是 ⁠.