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- 1.2 空间向量基本定理-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 试卷 1 次下载
- 1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 试卷 1 次下载
- 1.4 空间向量的应用-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 试卷 1 次下载
- 2.1 直线的倾斜角与斜率-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 试卷 2 次下载
- 2.2 直线的方程-2023-2024学年高二数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 试卷 2 次下载
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精品课堂检测
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算精品课堂检测，文件包含11空间向量及其运算解析版docx、11空间向量及其运算原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共102页， 欢迎下载使用。
1.1空间向量及其运算
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2．几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a
的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b⇔a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
1.定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线向量定理的应用
题型三：共面向量及应用
题型四：空间向量的数量积
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
【典型例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
例1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
例2．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则､的长度相等且方向相同
C．若向量､满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
例3．（2022·四川成都·高二期中（理））如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））在平行六面体中，点P在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·全国·高二课时练习）若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．
①；②；
③；④．
例6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）模为的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共线向量（平行向量）为______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
例7．（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）已知，分别是四面体的校，的中点，点在线段上，且，设向量，，，则______(用表示)
例8．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：
(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
例9．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.
(1)；
(2).
例10．（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2)；
(3).
例11．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
【技巧总结】
在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．
题型二：共线向量定理的应用
例12．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．
例13．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：
(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
(2)；
(3).
例14．（2022·全国·高二课时练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？
例15．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线．
例16．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【技巧总结】
利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
题型三：共面向量及应用
例17．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）例18．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例19．（2021·全国·高二课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，．求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面ABCD．
例20．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量不共面，且，判断向量是否共面，并说明理由.
例22．（2022·全国·高二）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
例23．（2019·北京·人大附中石景山学校高二期中）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
例24．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.
例25．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【技巧总结】
在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
题型四：空间向量的数量积
例26．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
例27．（2021·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.
例28．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.
（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
【技巧总结】
向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
例29．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的大小；
(3)判断与是否垂直．
例30．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
例31．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
例32．（2021·山东山东·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.
(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成角的大小.
例33．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
【技巧总结】
本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
例34．（2021·河北省博野中学高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．
(1)求；
(2)求．
例35．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.
(1)用向量，，表示；
(2)求.
例36．（2021·全国·高二课时练习）如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°．
(1)求；
(2)求点，间的距离．
例37．（2021·河北·滦南县第一中学高二阶段练习）如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
【技巧总结】
空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
例38．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
例39．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)判断与是否垂直．
【技巧总结】
立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）有下列命题：
①若与平行，则与所在的直线平行；
②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；
③若、、两两共面，则、、一定也共面；
④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京·101中学高二期末）在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A．向量的模是3 B．、、两两垂直
C．向量和夹角的余弦值为 D．向量与共线
10．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）有下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．若两个非零向量与满足＋＝，则.
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z)，则P，A，B，C四点共面.
11．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知直三棱柱的所有棱长均为1，点P满足（其中，），则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积是定值 B．当时，的周长是定值
C．当时，的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值
12．（2022·福建南平·高二期末）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．为直线的方向向量
D．设是和的交点，则对空间任意一点，都有
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________．
①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量．
14．（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形中，，则______．
16．（2022·全国·高二单元测试）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知､､是不共面的向量，且，，，.
(1)判断P､A､B､C四点是否共面；
(2)能否用､､表示？并说明理由.
19．（2022·全国·高二课时练习）已知平行六面体的各棱长均为1，且．
(1)求证：；
(2)求对角线的长．
20．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱AD，的中点，设，，，试分别用，，表示，．
21．（2022·全国·高二课时练习）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．
22．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，，且.
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值.
1.1空间向量及其运算
【知识点梳理】
知识点一：空间向量的有关概念
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||.
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2．几类常见的空间向量
名称
方向
模
记法
零向量
任意
0
0
单位向量
任意
1
相反向量
相反
相等
a的相反向量：－a
的相反向量：
相等向量
相同
相等
a＝b
知识点二：空间向量的线性运算
(1)向量的加法、减法
空间向量的运算
加法
＝＋＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法运算律
①交换律：a＋b＝b＋a
②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(2)空间向量的数乘运算
①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当λ>0时，λa与向量a方向相同；
当λ<0时，λa与向量a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
②运算律
结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
知识点三：共线问题
共线向量
(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.
(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa.
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。
知识点四：向量共面问题
共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
知识点五：空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任何向量的数量积为0.
(2)常用结论(a，b为非零向量)
①a⊥b⇔a·b＝0.
②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.
③cos〈a，b〉＝.
(3)数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
知识点六：利用数量积证明空间垂直关系
当a⊥b时，a·b＝0.
知识点七：夹角问题
1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦。
知识点诠释：
（1）规定:
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。
2.利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。
知识点八：空间向量的长度
1.定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；。
2.利用向量求线段的长度。
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
题型二：共线向量定理的应用
题型三：共面向量及应用
题型四：空间向量的数量积
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
【典型例题】
题型一：空间向量的有关概念及线性运算
例1．（2022·全国·高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．空间向量不可以平行移动
C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D．同向且等长的有向线段表示同一向量
例2．（2022·全国·高二课时练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若，则､的长度相等且方向相同
C．若向量､满足，且与同向，则
D．若两个非零向量与满足，则.
例3．（2022·四川成都·高二期中（理））如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））在平行六面体中，点P在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·全国·高二课时练习）若、、、为空间不同的四点，则下列各式为零向量的序号是_______．
①；②；
③；④．
例6．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：
（1）模为的向量是______；
（2）的相等向量是______；
（3）的相反向量是______；
（4）的共线向量（平行向量）为______；
（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）．
例7．（2021·福建·晋江市第一中学高二阶段练习）已知，分别是四面体的校，的中点，点在线段上，且，设向量，，，则______(用表示)
例8．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体中，E为棱上任意一点.只考虑以长方体的八个顶点及点E的两点为始点和终点的向量，分别写出：
(1)的相等向量，的负向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示（举两个例子）.
例9．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量.
(1)；
(2).
例10．（2022·全国·高二课时练习）已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2)；
(3).
例11．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在平行六面体中，M、N分别是、BC的中点．设，，．
(1)已知P是的中点，用、、表示、、；
(2)已知P在线段上，且，用、、表示．
【技巧总结】
在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．
题型二：共线向量定理的应用
例12．（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________．
例13．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：
(1)A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；
(2)；
(3).
例14．（2022·全国·高二课时练习）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？
例15．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3. 求证：B，G，N三点共线．
例16．（2022·湖南·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【技巧总结】
利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
题型三：共面向量及应用
例17．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）例18．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例19．（2021·全国·高二课时练习）如图，从所在平面外一点O作向量，，，．求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面ABCD．
例20．（2022·全国·高二课时练习）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面．
例21．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量不共面，且，判断向量是否共面，并说明理由.
例22．（2022·全国·高二）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)用向量法证明E，F，G，H四点共面；
(2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有．
例23．（2019·北京·人大附中石景山学校高二期中）如图所示，已知斜三棱柱，点、分别在和上，且满足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否与向量，共面？
例24．（2021·河南·范县第一中学高二阶段练习）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.
例25．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值.
【技巧总结】
在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
题型四：空间向量的数量积
例26．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
例27．（2021·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.
例28．（2021·全国·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.
（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
【技巧总结】
向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．
题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角
例29．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的大小；
(3)判断与是否垂直．
例30．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:
(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
例31．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）如图，空间四边形的各边及对角线长为，是的中点，在上，且，设，，，
(1)用，，表示；
(2)求向量与向量所成角的余弦值.
例32．（2021·山东山东·高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.
(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成角的大小.
例33．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二期末）平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
【技巧总结】
本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。
题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度
例34．（2021·河北省博野中学高二期中）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．
(1)求；
(2)求．
例35．（2022·浙江·乐清市第二中学高二阶段练习）如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，.
(1)用向量，，表示；
(2)求.
例36．（2021·全国·高二课时练习）如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°．
(1)求；
(2)求点，间的距离．
例37．（2021·河北·滦南县第一中学高二阶段练习）如图，是平行四边形，，.如图，把平行四边形沿对角线折起，使与成角，求的长.
【技巧总结】
空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。
题型七：利用空间向量的数量积证垂直
例38．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．
(1)用向量、、表示、；
(2)求；
(3)判断与是否垂直．
例39．（2022·全国·高二课时练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)判断与是否垂直．
【技巧总结】
立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零.
【同步练习】
一、单选题
1．（2022·全国·高二课时练习）有下列命题：
①若与平行，则与所在的直线平行；
②若与所在的直线是异面直线，则与一定不共面；
③若、、两两共面，则、、一定也共面；
④若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）化简所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·北京·101中学高二期末）在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A．向量的模是3 B．、、两两垂直
C．向量和夹角的余弦值为 D．向量与共线
10．（2022·江苏省响水中学高二阶段练习）有下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则
B．若两个非零向量与满足＋＝，则.
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量.
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若 (x，y，z)，则P，A，B，C四点共面.
11．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知直三棱柱的所有棱长均为1，点P满足（其中，），则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积是定值 B．当时，的周长是定值
C．当时，的面积是定值 D．当时，三棱锥的体积为定值
12．（2022·福建南平·高二期末）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．为直线的方向向量
D．设是和的交点，则对空间任意一点，都有
三、填空题
13．（2022·全国·高二课时练习）设、、是不共面的向量，下列命题中所有正确的序号是________．
①若，，则；②、、两两共面；③对空间任一向量，总存在有序实数组，使；④，，是不共面的向量．
14．（2022·全国·高二课时练习）化简算式：______．
15．（2022·全国·高二课时练习）已知空间四边形中，，则______．
16．（2022·全国·高二单元测试）在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．
四、解答题
17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量．
18．（2022·全国·高二课时练习）已知､､是不共面的向量，且，，，.
(1)判断P､A､B､C四点是否共面；
(2)能否用､､表示？并说明理由.
19．（2022·全国·高二课时练习）已知平行六面体的各棱长均为1，且．
(1)求证：；
(2)求对角线的长．
20．（2022·湖南·高二课时练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱AD，的中点，设，，，试分别用，，表示，．
21．（2022·全国·高二课时练习）如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．
22．（2022·全国·高二课时练习）已知在平行六面体中，，，，且.
（1）求的长；
（2）求与夹角的余弦值.
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