人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列第2课时课时训练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.3 等比数列第2课时课时训练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第四章　4.3　4.3.1　第2课时

A组·素养自测
一、选择题
1．等比数列{an}中，a1a2a3＝－8，a5＝16，则公比为(　A　)
A．－2　　　 B．2
C．－4　　 D．4
[解析]　a1a2a3＝－8，a＝－8，a2＝－2，a5＝16，公比为－2.
2．(2022·山东荣成六中高二月考)已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，若an＝128，q＞1，则n＝(　A　)
A．8　　 B．7　　
C．6　　 D．5
[解析]　∵a3a4＝a2·a5＝32，
又∵a2＋a5＝18，
∴或.
∵q＞1，∴a2＝2，a5＝16，∴q＝2.
∴an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1＝128，
∴n－1＝7，∴n＝8.
3．如果数列{an}是等比数列，那么(　A　)
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lg an}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
[解析]　设bn＝a，则＝＝＝q2，
∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数；
当an<0时lg an无意义；设cn＝nan，
则＝＝≠常数．
4．(2022·山东莒县二中高二月考)在等比数列{an}中，a4·a8＝2，a2＋a10＝3，则＝(　C　)
A．2　　 B．
C．2或　　 D．－2或－
[解析]　由等比数列的性质得a4a8＝a2a10＝2，
又∵a2＋a10＝3，∴a2＝1，a10＝2或a2＝2，a10＝1.
当a2＝1，a10＝2时，＝＝2，
当a2＝2，a10＝1时，＝＝.
5．(2022·福建莆田一中高二月考)等比数列{an}的各项都是正数且a1a11＝16，则log2a6＝(　B　)
A．1　 B．2　
C．3　 D．4
[解析]　∵{an}是各项都是正数的等比数列，
∴a1a11＝a＝16，
∴a6＝4，
∴log2a6＝log24＝2.
6．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　B　)
A．210　　 B．220
C．216　　 D．215
[解析]　设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A，B，C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
二、填空题
7．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为__3__．
[解析]　由题意得a4a14＝(2)2＝8，
由等比数列性质，得a4·a14＝a7·a11＝8，
∴log2a7＋log2a11＝log2(a7·a11)＝log28＝3.
8．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝__1__．
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
三、解答题
9．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解析]　(1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
[解析]　设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
整理得10d2－10d＝0，
解得d＝0，或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
B组·素养提升
一、选择题
1．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c(　A　)
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
[解析]　解法一：a＝log23，b＝log26＝1＋log23，
c＝log212＝2＋log23.
∴b－a＝c－b.
解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，
∴a＋c＝2b，∴选A．
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　C　)
A．1＋　　 B．1－
C．3＋2　　 D．3－2
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3，2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
3．(多选题)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是(　ABD　)
A．2　　 B．4
C．　　 D．
[解析]　依题意，数列{an}是正项等比数列，所以a3>0，a7>0，a5>0，
所以＝＋≥2＝，
因为a5>0，所以上式可化为a5≥2，
当且仅当a3＝，a7＝时等号成立．
4．(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项之积为Tn，且满足a1>1，a2 020·a2 021>1，<0，则下列结论中错误的是(　ABD　)
A．q<0　　　　
B．a2 021·a2 022－1>0
C．T2 020是数列{Tn}中的最大值
D．S2 020>S2 021
[解析]　①若q<0，则a2 020＝a1q2 019<0，a2 021＝a1q2 020>0，此时a2 020·a2 021<0，不合题意；
②若q≥1，对任意的n∈N＋，an＝a1qn－1>0，且有＝q≥1，可得an＋1≥an，
可得a2 021≥a2 020≥a1>1，此时>0，与题干不符，不合题意；
③由上可知00，且有＝q<1，可得an＋1 此时，数列{an}为单调递减数列，则a2 020>a2 021，由<0可得0 对于A选项，由上可知，A选项错误；对于B选项，由于数列{an}为正项递减数列，所以0 对于C选项，由上可知，正项数列{an}前2 020项都大于1，而从第2 021项起都小于1，所以T2 020是数列{Tn}中的最大值，C选项正确；
对于D选项，S2 021－S2 020＝a2 021>0，
∴S2 020 二、填空题
5．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝__4__．
[解析]　∵am－1am＋1－2am＝0，
由等比数列的性质可得，a－2am＝0，
∵am≠0，∴am＝2.
∵T2m－1＝a1a2…a2m－1＝(a1a2m－1)·(a2a2m－2)…am＝aam＝a＝22m－1＝128，
∴2m－1＝7，∴m＝4.
6．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为__4__．
[解析]　∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，
∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8×＝，
∴an·an＋1·an＋2＝>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4.
三、解答题
7．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
[解析]　原式可化为
∴或
∴a3＝8，a5＝2，q＝或a5＝8，a3＝2，q＝2.
∴当q＝时，a1＝32，an＝64×＝26－n.
当q＝2时，a1＝，an＝2n－2.
8．(2022·山东青岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，__________．
给出下列三个条件：
条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；
条件②：点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上；
条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1.
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下面两问的解答．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]　方案一：选择条件①.
(1)因为数列{Sn＋a1}为等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)·(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)．
设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，
所以(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍去)，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得an＝2n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋
＝
＝－
＝－.
方案二：选择条件②.
(1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上，
所以an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，
所以an＝Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝an，＝2(n≥2)．
因为a1＝1，a2＝S1＋1＝a1＋1＝2，所以＝2适合上式．
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)同方案一的(2)．
方案三：选择条件③.
(1)当n≥2时，因为2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1(n∈N*)(ⅰ)，
所以2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝(n－1)an，
所以2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2(n－1)an(ⅱ)，
(ⅰ)－(ⅱ)得2an＝nan＋1－2(n－1)an，即＝2(n≥2)，
当n＝1时，2a1＝a2，＝2适合上式．
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)同方案一的(2)．