新疆伊犁州新源县2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题

这是一份新疆伊犁州新源县2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新疆伊犁州新源县2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．记函数的导函数为．若，则（    ）
A． B．
C． D．
2．已知函数的导函数为，且，则（    ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，曲线，与x轴所围成的封闭区域的面积为（    ）
A．2 B．3 C． D．
4．如图，已知5个数据A，B，C，D，E，去掉后，下列说法错误的是（    ）

A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．变大
D．解释变量x与响应变量y的相关程度变强
5．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为
A． B． C． D．
6．.直线为参数）和圆交于两点，则的中点坐标为
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和为，且，可归纳猜想出的表达式为
A． B． C． D．
8．某次文艺汇演为，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如下表：
序号
1
2
3
4
5
6
节目






如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 A．192种 B．144种 C．96种 D．72种
9．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ）
A． B．
C． D．
10．展开式中不含项的系数的和为
A． B． C． D．2
11．设复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
12．若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．等于
14．若是函数的极值点，则的极大值为 .
15．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .
16．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 .

三、解答题
17．已知函数图象上在点处的切线与直线平行，
求（1）函数的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间．
18．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M（5，6），且斜率为．
（1）求圆 C的平面直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）若直线l与圆C交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．
19．2022年北京冬奥会圆满落幕，为了解冬奥会之后市民对冰雪项目的熟悉程度，某社区随机抽取了一些市民进行问卷调查，根据问卷调查的分数评估市民对冰雪项目的熟悉程度，将最后的分数分为5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值，并估计这些问卷分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)（i）若问卷分数X服从正态分布，其中可近似为样本中的问卷分数的平均值，且，利用该正态分布，求X落在的概率；
（ii）将频率视为概率，若随机从这些问卷中抽取3份，记这3份问卷成绩在的份数为Y，求Y的分布列与数学期望．参考数据：．若，则，．
20．某传染病疫情爆发期间，当地政府积极整合医疗资源，建立“舱医院”对所有密切接触者进行14天的隔离观察治疗．治疗期满后若检测指标仍未达到合格标准，则转入指定专科医院做进一步的治疗．“舱医院”对所有人员在“入口”及“出口”时都进行了医学指标检测，若“入口”检测指标在35以下者则不需进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院进行治疗．以下是20名进入“舱医院”的密切接触者的“入口”及“出口”医学检测指标：
入口
50
35
35
40
55
90
80
60
60
60
65
35
60
90
35
40
55
50
65
50
出口
70
50
60
50
75
70
85
70
80
70
55
50
75
90
60
60
65
70
75
70
（Ⅰ）建立关于的回归方程；（回归方程的系数精确到0.1）
（Ⅱ）如果60是“舱医院”的“出口”最低合格指标，那么，“入口”指标低于多少时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院接受治疗．（检测指标为整数）
附注：参考数据：，．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
21．某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率有帮助”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练），乙班为对比班（常规教学，无额外训练），在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整数）如下表所示：

60分及以下
61～70分
71～80分
81～90分
91～100分
甲班（人数）
3
6
12
15
9
乙班（人数）
4
7
16
12
6
现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀.
（1）由以上统计数据填写列联表，并判断是否有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助；
（2）对甲乙两班60分及以下的同学进行定期辅导，一个月后从中抽取3人课堂检测，表示抽取到的甲班学生人数，求及至少抽到甲班1名同学的概率.
22．已知函数.
(1)讨论函数的单调性与极值；
(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案：
1．B
【分析】利用导数的运算法则求出，即可得解.
【详解】因为，则.
故选：B.
2．B
【分析】利用导数的定义可求得所求代数式的值.
【详解】由题意可．
故选：B.
3．C
【分析】先作图，然后由微积分基本定理可得.
【详解】，的函数图象如图

记，因为
所以.
所以所求面积为
故选：C
4．B
【分析】根据相关系数的性质，结合残差的性质逐一判断即可.
【详解】由散点图知，去掉后，y与x的线性相关程度变强，且为正相关，所以r变大，变大，残差平方和变小，
故选：B.
5．A
【详解】设圆柱体的底面半径为，高为，由圆柱的体积公式得体积为：.
由题意知.
所以，解得.
故选A.
6．D
【分析】将直线参数方程代入圆方程得：，解得或，
所以两个交点坐标分别是，所以中点坐标为．故选D．
点睛：本题考查直线的参数方程应用．本题求直线和圆的弦中点坐标，直接求出两个交点坐标，得到中点坐标．只需联立方程组，求出解即可．参数方程的求法基本可以代入直接求解即可．
7．A
【详解】由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
所以a2＝，S2＝；
又1＋＋a3＝32a3，
所以a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.
由S1＝1，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝ .
故答案为A．
8．B
【分析】由题意知A，B两个节目要相邻，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，都不排在第3号位置，那么A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，其余四个位置剩下的四个元素全排列．
【详解】由题意知A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，
可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，
A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，
这两个元素共有种排法，
其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，
节目单上不同的排序方式有，
故选B．
【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答的常见方法：要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
9．A
【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.
【详解】由题意，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，

，所以．
故选:A．
【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．
10．B
【详解】试题分析：由二项式定理知，展开式中最后一项含，其系数为1，令=1得，此二项展开式的各项系数和为=1，故不含项的系数和为1-1=0，故选B.
考点：二项展开式各项系数和；二项展开式的通项
11．D
【详解】分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.
详解：因为，所以,
因此
选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
12．D
【分析】根据给定不等式，构造函数和，作出函数图象，结合图象分析求解作答.
【详解】由不等式（），令，，
，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，且当时，恒有，
函数，表示恒过定点，斜率为的直线，
在同一坐标系内作出函数的图象和直线，如图，

因不等式（）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式解集中的两个整数，
于是得，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.
13．
【分析】根据给定条件，利用定积分的几何意义及性质，结合微积分基本定理计算作答.
【详解】令，化为，其图形表示以(0,0)为圆心，1为半径的上半圆，面积为，
因此，，
所以.
故答案为：
14．
【解析】根据题意得出，可求得实数的值，然后利用导数可求得函数的极大值.
【详解】，，
由题意可得，解得.
，，令，得或.
列表如下：














极大值

极小值

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了利用极值点求参数，考查计算能力，属于中等题.
15．
【解析】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.
【详解】记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，
即求条件概率：
故答案为：
【点睛】本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.
16．240
【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.
【详解】因为二项式系数和，
因此，
又，
令，常数项为.
故答案为：240.
17．（1）；（2）
【解析】（1）利用函数的导数求出切线的斜率，再结合函数经过的点的坐标，列出方程组，解得的值；
（2）先对求导，再令，即可求出单调递减区间.
【详解】解：（1）由得，
在点处的切线与直线平行，
，即，
解得 ，
；
（2）由（1）知，，
令，即，则，
故函数的单调递减区间为：
【点睛】本题考查了导函数的几何意义，导函数的计算，利用导函数求单调区间，属于中档题.
18．（1）（x﹣2）2+y2＝4  为参数 ）； （2）.
【分析】（1）由可求得圆的直角坐标方程，直线l经过点M（5，6），且斜率为，由直线的参数方程公式可得答案；
（2）把直线l的参数方程代入圆C, 得：5t2+66t+205＝0然后得出|MA|+|MB|的值.
【详解】（1）∵圆C的方程为ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，
∵ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，
∴圆C的平面直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2＝4，
∵直线l经过点M（5，6），且斜率为，
∴.
∴直线l的参数方程为为参数 ）．
（2）把直线l的参数方程代入圆C：（x﹣2）2+y2＝4，得：5t2+66t+205＝0，
所以
【点睛】本题考查了极坐标与参数方程的综合知识，属于中档题.
19．(1)，67
(2)（i）0.8186；（ii）分布列见解析，

【分析】（1）利用频率分布直方图，借助频率之和为1，求出m的值，再算出平均值即可；
（2）（i）先得出，的值，利用正态分布即可求解；（ii）先求出问卷成绩在的频率，进而得到，即可求出Y的分布列与数学期望．
【详解】（1）由题意得，解得，
则频率分布直方图中m的值是0.010．
这些问卷分数的平均值为（分）．
（2）（i）由（Ⅰ）得，，
所以，
即X落在的概率为0.8186．
（ii）由频率分布直方图知，问卷成绩在的频率为0.3，且将频率视为概率，所以．
Y的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
，
，
，
所以Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
所以．
20．（Ⅰ）．（Ⅱ）低于41
【解析】（Ⅰ）结合表格中的数据和的公式计算出回归方程的系数即可得解；
（Ⅱ）把代入回归方程，算出的值即可得解．
【详解】（Ⅰ）由表格中的数据，可得，，
所以，
，
所以关于的回归方程为．
（Ⅱ）当时，有，解得，
所以当“入口”指标低于41时，将来这些密切接触者将不能进入“舱医院”而是直接进入指定专科医院接受治疗．
【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及线性回归分析的应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．
21．（1）见解析；（2）.
【分析】（1）根据题意得到列联表，然后由列联表中的数据得到的值，再结合临界值表可得结论．（2）由题意得到随机变量的所有可能取值，并分别求出对应的概率，进而得到的分布列，于是可得所求．
【详解】（1）由题意可得列联表如下:

优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
21
24
45
乙班
27
18
45
合计
48
42
90
由表中数据可得，
所以没有95%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．
（2）由题意得60分以下共有7人，其中甲班有3人，所以随机变量显然的所有可能取值为．
，，，，
所以随机变量的分布列为

0
1
2
3





所以，
至少抽到1名甲班学生概率为．
【点睛】在独立性检验中，再求出后查临界值表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，临界值表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．
22．(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）求导得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.
（2）时，，令，求函数的最小值，得到答案.
【详解】（1），.
①当时，恒成立，
在R上单调递增，无极大值也无极小值；
②当，时，，
时，，
在上单调递减，在单调递增.
函数有极小值为，无极大值.
（2）若对任意，恒成立，
则恒成立，即.
设，则，令，
解得，当时，，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，，
，当时满足对任意，恒成立，
实数a的取值范围为.