高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品第1课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品第1课时导学案，共13页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间向量与平行关系
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.了解空间中点、直线和平面的向量表示．
2.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)
3.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)
1、直观想象
2、数学运算
3、逻辑推理
【自主学习】
一．空间中点、直线和平面的向量表示
点P的位置向量
在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 表示，我们把向量 称为点P的位置向量.
空间直线的向量表示式
a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ ，也可以表示为＝ .这两个式子称为空间直线的向量表示式.
空间平面ABC的向量表示式
设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝ .那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝ ，这就是空间平面ABC的向量表示式.

二．直线的方向向量与平面的法向量
1.直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线 的非零向量，一条直线的方向向量有 个．
2.平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的 a，则向量a叫做平面α的法向量．
解读：（1）法向量不能为零向量；（2）法向量与平面内任一向量垂直；（3）平面的法向量可以有无数个，任意两个都是共线向量.
三．空间中平行关系的向量表示
线线平行
设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔ ⇔
线面平行
设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔
⇔
面面平行
设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔ ⇔



【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　)
(2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α.(　　)
(3)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为＝t.(　　)
(4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．( )
2.若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2，2，6) B．(－1，1，3)
C．(3，1，1) D．(－3，0，1)
3.设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________．
【经典例题】
题型一　求平面的法向量
点拨：求平面法向量的步骤
1.设法向量n＝(x，y，z)；
2.在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
3.建立方程组
4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量．






【跟踪训练】1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．




题型二 证明线线平行
点拨：证明两直线平行的方法
法一：平行直线的传递性；
法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn.
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2.
例2 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.



【跟踪训练】2 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)
A．2， B．， C．－3,2 D．2,2

题型三 证明线面、面面平行
点拨：1.向量法证明线面平行的思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u,即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．





【跟踪训练】3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.



【当堂达标】
1.(多选)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1为正方体，则(　　)

A.直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)
B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)
C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)
D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)
2.已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
3.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)
A．l∥α B．l⊂α C．l⊥α D．l⊂α或l∥α

4.已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________．

5.已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.


6.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.



【课堂小结】
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2.证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
3.直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量．









【参考答案】
【自主学习】
一． ＋ta ＋t xa＋yb ＋x＋y
二．平行或共线 无数 方向向量
三．u1∥u2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
n1∥n2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
【小试牛刀】
1.(1) √　(2)√　(3) √　(4)√
2.A解析：＝(1，1，3)，所以与共线的向量都可以充当直线l的方向向量．
3.4解析：因为α∥β，所以它们的法向量共线，从而＝＝，解得k＝4.
【经典例题】
例1 解：如图所示建立空间直角坐标系．

依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)，
于是＝，＝(1,1,0)．
设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，于是
取x＝1，则y＝－1，z＝1，
故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)．
【跟踪训练】1解　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
由题意知＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．
∵n⊥，n⊥，∴解得令x＝1，则y＝z＝1.
∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．
例2 证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.

则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，
∴＝，∴∥，即PQ∥RS.
法二：＝＋＝－＋，
＝＋＝＋－，
∴＝，∴∥，即RS∥PQ.
【跟踪训练】2 A解析：若a∥b，则2μ－1＝0且＝，解得μ＝且λ＝2或λ＝－3，故选A.
例3 思路点拨：方法1：可证明与，是共面向量；方法2：可证明与平面A1BD中的DA1是共线向量；方法3：可通过平面A1BD的法向量来证明．
证明：方法1：∵＝－＝－＝－－＋＝－，
∴，，是共面向量．
又∵MN⊄平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD．
方法2：∵＝－＝－
＝(－)＝，∴∥．
又∵MN⊄平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD．
方法3：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．

设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．
于是＝，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
∵·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n．
又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
【跟踪训练】3 证明　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，
得得
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【当堂达标】
1.ABC 解析：因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正确；因为AD1∥BC1，＝(0，1，1)，所以B正确；因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，所以C正确；因为＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误．
2.D解析：由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.
3.D 解析：∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α.
4. l⊂α或l∥α 解析：因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.所以u⊥a，所以l⊂α或l∥α.
5.－8解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m,1)×＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.
6.证明　如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
方法一连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．
因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故点G的坐标为(，，0)，
所以＝(，0，－)．又＝(a,0，－a)，所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB.
方法二　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，＝(0，，)，＝(a，，－)，
则有即即
令y＝－1，则所以n＝(1，－1,1)，又＝(a,0，－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.所以n⊥.所以PA∥平面EDB.