2023德州一中高二下学期6月月考数学试题含解析

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高二年级6月份阶段性测试
数学试题
考试时间：120分钟
第I卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合A，计算与集合B的交集即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：B.
2. 已知a为非零实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先解绝对值不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，即或，解得或，
所以由“” 可以推出“”，故充分性成立，
由“”不能推出“”，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：C.
4. 已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图

从而可得图像为B选项.
故选：B.
5. 某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如下表所示：

喜欢阅读
不喜欢阅读
总计
男学生
30
20
50
女学生
40
10
50
总计
70
30
100
根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是（ ）
P（x²≥k）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

A. 没有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
B. 有99%以上把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
【答案】D
【解析】
【分析】根据列联表中的数据，求得的值，再与临界值表对照，逐项判断.
【详解】解：
A.因为，所以有95%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；
B.因为，所以没有99%以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；
C.因为，所以在犯错误的概率不超过0.025 的前提下，不能认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；
D.因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故D正确；
故选：D
6. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：）
A. 20 B. 28 C. 32 D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】先由题给条件求得正常数a，b的值，得到分解率与时间（月）近似地满足关系，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数.
【详解】由题意得，，解之得，则
则由，可得，
两边取常用对数得，，
则
故选：C
7. 已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由时， ，利用得到，，且，在求得时的解析式，由求解.
【详解】解：当时，，
则在上递增，在上递减，且，
由知：时，，
时，，且在上递增，在上递减，
因为，当时， ，
因为，
所以，
令，解得，
所以满足，的t的最大值是，
故选：C
8. 若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数可求得单调性，进而得到最大值和最小值，根据稳定函数定义可得，由此可得关于的不等式，解不等式可求得的取值范围.
【详解】，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
，
又，，，
由“稳定函数”定义可知：，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数导数中的新定义运算问题，解题关键是能够充分理解稳定函数的定义，将问题转化为函数最大值和最小值之间的关系，由此利用导数求得最值来构造不等关系.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若，则
B. 命题“，”的否定为“，”
C. 若幂函数在区间上是减函数，则
D. 方程有一个正实根，一个负实根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，举例判断即可，对于B，改量词否结论，对于C，由题意可得，且，从而可求出的值，对于D，由题意得，从而可求出的范围.
详解】对于A，若，则满足，而，所以A错误，
对于B，命题“，”的否定为“，”，所以B正确，
对于C，因为幂函数在区间上是减函数，
所以，且，解得，所以C正确，
对于D，因为方程有一个正实根，一个负实根，
所以，解得，所以D正确，
故选：BCD
10. （多选）设函数，对任意的，，以下结论正确的是
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用指数幂的计算法则判断A，B的对错；利用负整数指数幂的计算法则判断C的对错；D中需要分两种情况分析.
【详解】A．不恒成立，错误；
B．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；
C．由，可知，正确；
D．当时，，当时，，所以 ，错误；
故选BC.
【点睛】本题考查指数幂的计算法则以及指数函数的函数值判断，难度较易.
（1），，；
（2），当时，若则，若则；当时，若则，若时则.
11. 已知正实数a，b满足，则以下不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知得到，再利用基本不等式依次判断各选项即可．
【详解】正实数a，b满足，则，
，当且仅当，时取等号，A正确，
，，当且仅当，时取等号，，B错误，
，当且仅当时取等号，C正确，
由，有，则，由，有，所以，当且仅当，时取等号， D正确.
故选：ACD
12. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ）
A.
B.
C.
D. 数列的前2n项和的最小值为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】当时，,当时，,联立可得，利用累加法可得，从而可求得，在逐项判断即可.
【详解】令且，
当时，①；
当时，②，
由①②联立得.
所以，
累加可得.
令(且为奇数)，得.
当时满足上式，
所以当为奇数时，.
当为奇数时，，
所以，其中为偶数.
所以，故C正确.
所以，故A正确.
当为偶数时，，故B错误.
因为，
所以的前2n项和
，
令，
因为数列是递增数列，所以的最小项为，
故数列的前2n项和的最小值为2，故D正确.
故选:ACD.
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，则______．
【答案】0.36
【解析】
【分析】由指数与对数的运算性质求解
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，，
故答案为：
14. 幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取，则定义域为R，且，
，，满足.
故答案为：.
15. 已知正实数，满足，且有解，则的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知表示出，若有解，则，表示出，然后利用基本不等式即可求出其最小值，即可得出答案.
【详解】由题知，因，
所以，，
若有解，则即可，
因为，都是正数，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故答案为：
16. 已知函数，则函数的零点有______个；关于的方程的实根个数构成的集合为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】首先根据函数函数表达式，直接在定义域内解方程即可判断根的个数；首先根据表达式，画出函数的图像，再对以及进行分类讨论，结合图像，判断函数交点的个数，最后用列举法求出函数的解的个数的集合.
【详解】函数的图像如下,

根据函数零点可得，，当时，解得，此时，符合；当时，解得或，由于，故舍去，所以得零点有2个，为和.
令，则
当时，如下图，此时，则此时与有2个交点，即有2个解.

当时，此时，解得或，此时有一个解，有两个解，则总的有3个解.
当时，如下图，有三个解，分别记作，则此时与的交点为4个.即有4个解.

当时，，解得，此时共有7个解，即即有7个解.
当时，此时有4个解，分别记作，如下图，则此时与的交点为8个，即有8个解.

当时，即，解得或或，则此时共有6个解，即有6个解.
当时，如下图，此时有2个解，分别记作，如下图，则此时与的交点为4个，即有4个解.

综上所述解的个数组成的集合为
故答案为：2；
【点睛】本题考查了方程的根的问题，其中包含了一个复合函数，属于综合题，难度较大；关键点在于通过换元将复合函数简化，借助外层函数的图像，对参数进行分类讨论，确定交点个数，再画出内层函数的图像，结合图像确定交点个数即可求解.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若命题P：“，”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式的解法及集合的补集和交集的定义即可求解；
（2）根据（1）的结论及真命题的定义，结合子集的定义即可求解.
【小问1详解】
当时，
，则 .
【小问2详解】
由（1）知，，，
由命题P：“，”是真命题可知：
故或，解得：或
实数a的取值范围为或．
18. 已知函数（且）的图象过点.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入函数即可求解；
（2）先求出函数的定义域，然后利用单调性列出不等式即可求解
【小问1详解】
由题设条件可知，，
即，解得，
∴
【小问2详解】
∵的定义域为，并在其定义域内单调递增，
∴⇔，解得，
∴不等式的解集为.
19. 已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若__________，求数列的前项和.
（在①；②；③这三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解）
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式分析运算；（2）选①：利用裂项相消法求和；选②：根据并项求和法分析运算，注意讨论项数的奇偶性；选③：利用分组求和法，结合等差、等比数列求和运算.
【小问1详解】
∵，则，即
故数列是首项和公差都为2的等差数列，
∴，即
小问2详解】
选①：
∵，
∴.
选②：
∵，则有：
当时，；
当时，；
∴.
选③：
∵，
∴.
20. 某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：







14.5

0.08
665
0.04
-450
4
表中，．
若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，．
（1）利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
【答案】（1）选择模型②，理由见解析；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）根据已知，根据的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②；
（2）与可用线性回归来拟合，有，求出系数，得到回归方程，即可得到成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，代入，即可求出结果.
【小问1详解】
应该选择模型②.
由题意可知，，则模型②中样本数据的残差平方和比模型①中样本数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.
【小问2详解】
由已知，成本费与可用线性回归来拟合，有.
由已知可得，，
所以，
则关于的线性回归方程为.
成本费与同批次产品生产数量的回归方程为，
当（吨）时，（万元/吨）.
所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.
21. 已知函数是定义在上的偶函数，其中．
（1）求a的值；
（2）若关于x的不等式对都成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义求解参数；
（2）不等式等价于对恒成立，通过换元和基本不等式求算式的最小值即可.
【小问1详解】
因为是偶函数，所以，则，
所以对任意实数x都成立，所以，解得．
【小问2详解】
由（1）知，，
因为关于x的不等式，即对恒成立，
因为，所以，
原问题转化为对恒成立，
设，则对任意的恒成立，
因为，其中，
而，当且仅当时，即时等号成立，
所以时，取最小值．
所以．因此实数m的取值范围是．
22. 设函数，，．
（1）时，求在处切线方程；
（2）若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；
（3）证明：当时，．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.
（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.
【小问1详解】
时，，
∵，∴，
∵，则切线方程为，即.
【小问2详解】
设函数，则，
令，则，
当，即时，，即，
即，
所以成立，此时符合题意；
当，即时，令，解得，
所以在区间上单调递减，
又由，此时在上单调递减，
所以，显然不满足题意，
综上可得，实数a的取值范围为.
【小问3详解】
取，由（2）知在上恒成立，当且仅当时，等号成立，
因为，令，代入得到，
即，且，
令，，即，
代入化简得到，
所以成立．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.