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2023年安徽省安庆市岳西县巍岭中学中考数学适应性试卷（含解析）
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这是一份2023年安徽省安庆市岳西县巍岭中学中考数学适应性试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省安庆市岳西县巍岭中学中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12的倒数是( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
2. 由中国发起创立的“亚洲基础设施投资银行”的法定资本金为100 000 000 000美元，用科学记数法表示为( )
A. 1.0×109美元 B. 1.0×1010美元 C. 1.0×1011美元 D. 1.0×1012美元
3. 下列运算正确的是( )
A. 3a+2a=5a2 B. 5a2⋅3a3=15a6
C. (a−1)2=a2−1 D. (2a3)2=4a6
4. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列调查中，不适合采用全面调查方式的是( )
A. 神舟十五号发射前对重要零部件的检查 B. 旅客上飞机前的安检
C. 了解某班同学的每周课前预习的时间 D. 灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
6. 若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 已知关于x的不等式组3x−1<4(x−1)x
8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为( )
A. x+y=30504x+903y=570 B. x+y=30904x+503y=570
C. x+y=30903x+504y=570 D. x+y=30503x+904y=570
9. 如图，面积为6 3的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO=30°，反比例函数y=kx的图象恰好经过点A，则k的值为( )
A. 3 32
B. −3 32
C. 3 3
D. −3 3
10. 如图，边长为2 2的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E在BD上由点B向点D运动(点E不与点B，D重合)，连接AE.将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF交AO于点G.设BE的长为x，AG的长为y，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 点P(−2,3)关于原点对称的点的坐标是______ ．
12. 关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．
13. 如图，AB//CD，∠A=45°，∠C=30°则∠AEC的度数是______ ．
14. 如图，点A，B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，在网格格点上除点A，B外任取一点C，则使△ABC的面积为1的概率是______ ．
15. 如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y=______．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处.当△AEF为直角三角形时，AE= ______ ．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=4，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得线段DP，连接AP，则AP的长是______ ．
18. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，F是以BC为直径的半圆上的一个动点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
先化简，再求值：a2−2ab+b2a2−b2÷a2−aba−2a+b，其中a，b满足(a−2)2+ b+1=0．
20. (本小题12.0分)
如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，这样既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销.为此某班数学兴趣小组对本班学生一天饮用饮品的情况进行了调查，饮品大致可分为四种：A.白开水，B.瓶装矿泉水，C.碳酸饮料，D.非碳酸饮料，并根据统计结果绘制出如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)求该班共有多少名学生，并补全条形统计图．
(2)若该班学生每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶，价格如下表所示)，则该班学生每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格/(元/瓶)
0
2
3
4
(3)为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部(其中有2位班长记为A1，A2，其余3位记为A3，A4，A5)中随机抽取2名班委干部作为良好习惯监督员，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
21. (本小题12.0分)
甲、乙两个服装厂都接到了生产同一种型号的医用防护服的任务.已知甲服装厂每天生产的数量是乙服装厂每天生产数量的1.5倍，它们同时生产600套防护服，甲服装厂比乙服装厂少用5天．
(1)求甲、乙两个服装厂每天各生产多少套这种医用防护服．
(2)已知甲、乙两个服装厂生产这种防护服每天的生产费用分别是1500元和1200元，现有3000套这种防护服的生产任务，甲服装厂单独生产一段时间后另有安排，剩余任务由乙服装厂继续完成.如果总生产费用不超过78000元，那么甲服装厂至少生产了多少天？
22. (本小题12.0分)
如图，公园中有A，B，C三个凉亭，凉亭A，B在人工湖的两侧，经测量，凉亭B位于凉亭A北偏西30°的方向上，从凉亭A出发沿着北偏东15°的方向走100米到达凉亭C，测量后知凉亭B位于凉亭C北偏西60°的方向上．
(1)求∠B的度数；
(2)求凉亭A，B之间的距离.(结果精确到1米.参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.449)
23. (本小题12.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在弦AC的延长线上，连接BD，恰有∠DBC=∠DAB．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若点E是弧AC的中点，且∠EAB=75°，求∠D的度数．
24. (本小题12.0分)
某公司2022年投入研发费用120万元，成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为8元/件.经试销发现年销售量y(万件)与售价x(元/件)的对应关系如下表所示：
x/(元/件)
11
13
15
y/万件
29
27
25
(1)直接写出y关于x的函数关系式；
(2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%，则当产品的售价为多少时，该年年利润w(万元)最大？其最大年利润是多少？
25. (本小题12.0分)
△ABC和△CDE都是等边三角形，连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接GF，GH，BE，AD．
(1)如图1，当点B，C，D在一条直线上时，线段GF与GH的数量关系为______ ，∠FGH= ______ °.
(2)当△CDE绕顶点C逆时针旋转到如图2所示的位置时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明．
(3)已知△ABC的边长为3 3，△CDE的边长为2，在△CDE由图1的位置绕点C逆时针旋转一周的过程中，当CE⊥AC时，请直接写出FH的长度．
26. (本小题14.0分)
如图，直线y=mx+n(m≠0).与抛物线y=−x2+bx+c交于A(−1,0)，B(2,3)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线上，且△ABC的面积为3，求点C的坐标；
(3)若点P在抛物线上，PQ⊥OA交直线AB于点Q，点M在坐标平面内，当以B，P，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−12的倒数是−2，
故选：A．
根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】C
【解析】解：100 000 000000=1.0×1011，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：2a+3a=5a，故选项A错误，不符合题意；
5a2⋅3a3=15a5，故选项B错误，不符合题意；
(a−1)2=a2−2a+1，故选项C错误，不符合题意；
(2a3)2=4a6，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据整式的加减，单项式乘单项式，积的乘方，完全平方公式等计算法则计算即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：B．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5.【答案】D
【解析】解：神舟十五号发射前对重要零部件的检查，采用全面调查方式，
∴A不符合题意；
旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，
∴B不符合题意；
了解某班同学的每周课前预习的时间，采用全面调查方式，
∴C不符合题意；
灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采取抽样调查的方式，
∴D符合题意；
故选D．
根据抽样调查和普查的特点，选择合适的调查方式．
本题考查了调查的两种方式，熟练掌握两种方式使用的基本特点是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：当x≤1时，中位数是3，因为中位数与平均数相等，则得到：15(x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去)；
当1
当3≤x<6时，中位数是3，中位数与平均数相等，则得到：15(x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去)；
当x≥6时，中位数是3，中位数与平均数相等，则得到：15(x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去)．
所以x的值为2．
故选：A．
根据平均数与中位数的定义分四种情况x≤1，1
7.【答案】A
【解析】解：解不等式3x−1<4(x−1)，得：x>3，
∵不等式组无解，
∴m≤3，
故选：A．
先按照一般步骤进行求解，因为大大小小无解，那么根据所解出的x的解集，将得到一个新的关于m的不等式，解答即可．
主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时(如：x>a，x
8.【答案】B
【解析】解：设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为x+y=30904x+503y=570．
故选：B．
设有绢x疋，布y疋，依据“今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯”列出方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：作AD⊥OB于D，
∵Rt△OAB中，∠ABO=30°，
∴OA=12OB，
∵∠ADO=∠OAB=90°，∠AOD=∠BOA，
∴△AOD∽△BOA，
∴S△AODS△BOA=(OAOB)2=14，
∴S△AOD=14S△BOA=14×6 3=3 32，
∵S△AOD=12|k|，
∴|k|=3 3，
∵反比例函数y=kx图象在二、四象限，
∴k=−3 3，
故选：D．
作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA=12OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数y=kx的几何意义即可求得k的值．
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AB=AD，∠BAD=90°，AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠BAE=90°−∠EAD，∠DAF=90°−∠EAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵AB=AD∠BAE=∠DAFAE=AF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠AOB=90°，OB=OD，
∴∠ABD=∠ADB=∠ADF=45°，
∴∠ODF=90°，
∴OG//DF，
∴BOOD=BGGF，
∴BG=GF，
∴OG=12DF=12BE=12x，
∵边长为2 2的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AC= 2AB=4，OA=OC=2，
∴AG=OA−OG=2−12x，
∴y=2−12x(0
故选：A．
连接DF，证明△ABE≌△ADF(SAS)，得到BE=DF，结合OG//DF构造三角形中位线定理，计算判断即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象、全等三角形的判定和性质、中位线的性质定理，解题的关键是通过辅助线构造全等三角形而后转化线段．
11.【答案】(2,−3)
【解析】解：∵P(−2,3)，
∴关于原点对称的点的坐标是P1(2,−3)，
故答案为：(2,−3)．
根据关于原点对称的点的坐标特征即可解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
12.【答案】a≤14且a≠−2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，
∴Δ≥0且a+2≠0，
∴(−3)2−4(a+2)×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤14且a≠−2，
故答案为：a≤14且a≠−2．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且Δ≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】75°
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠ABE=∠C=30°，
∵∠AEC=∠ABE+∠A，∠A=45°，
∴∠AEC=30°+45°=75°，
故答案为：75°．
利用两直线平行，内错角相等，三角形外角性质计算即可．
本题考查了平行线性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
14.【答案】29
【解析】解：∵任意放置一点C(除点A，B)共有20−2=18(种)可能的结果，其中能使△ABC的面积为1的结果有4种：点C1，C2，C3，C4均满足题意，
∴使△ABC的面积为1的概率为：418=29．
故答案为：29．
根据△ABC的面积为1，在网格上找到满足题意的点C，再根据概率公式，即可．
本题考查概率的知识，解题的关键是全面找到满足题意的结果，熟练掌握概率的公式．
15.【答案】2x−7
【解析】解：根据题意得：
第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，
第一行第一列的数为：x+y+7−x−4=y+3，
第一行第二列的数为：x+y+7−(y+3)−7=x−3，
第三行第二列的数为：x+y+7−(x−3)−x=10−x+y，
第三行的三个数之和为：y+(10−x+y)+4=x+y+7，
整理得：y=2x−7，
故答案为：2x−7．
根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案．
本题考查了列代数式，正确掌握观察图形和列代数式是解题的关键．
16.【答案】2或5
【解析】解：当∠AFE=90°时，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6，
∴∠ABC=∠CFE=90°，AC= 62+82=10，AD=BC=6，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFE+∠CFE=180°，
∴A，F，C三点共线，
根据折叠的性质，得CF=BC=6，EF=EB，
∴AF=AC−CF=4，
设AE=x，则EF=EB=8−x，
根据勾股定理，得x2=(8−x)2+42，
解得x=5，
故AE=5；
当∠AEF=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6，
∴∠ABC=∠CFE=90°，AD=BC=6，
∵∠AFE=90°，
∴四边形BCFE是矩形，
根据折叠的性质，得CF=BC=6，EF=EB，
∴四边形BCFE是正方形，
，
∴AE=AB−BE=8−6=2，
故AE=2；
当∠FAE=90°时，
∵CD>CF，
∴F点不可能落到AD上，
故∠FAE=90°不成立，
故AE=2或AE=5，
故答案为：2或5．
分∠AEF=90°，∠AFE=90°，∠FAE=90°三种情形计算．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：如图，过P作PE⊥AD交AD于E，
∴∠PED=∠PEA=90°，
∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得线段DP，
∴BD=PD，∠PEA=∠BDP=90°，
∴∠ADB+∠ADP=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠ADP，
∴△ABD≌△EDP(AAS)，
∴ED=AB=1，PE=4，
∴AE=AD−DE=4−1=3，
在Rt△APE中，
PA= PE2+AE2= 42+32=5．
故答案为：5．
过P作PE⊥AD交AD于E，根据线段DB绕点D顺时针旋转90°得线段DP，BD=PD，∠PEA=∠BDP=90°，进而得到∠ADB+∠ABP=90°，之后证明△ABD≌△EDP，最后在Rt△APE中利用勾股定理即可得到答案．
本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】2( 13−1)
【解析】解：延长AD到点G，使得AD=DG，设半圆的圆心为点O，连接OG交CD于点M，交半圆于点N，则AE+EF的最小值是GN，如图：
∵E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，点F是以BC为直径的半圆上的一个动点，
∴AD=DG=BC=4，ON=OC=2，
过点⊙O作OH⊥AD于H，
∴∠ADC=∠DCB=90°，
∴四边形OCDH是矩形，
∴OH=CD=4，DH=OC，
∴OG= 42+(2+6)2=2 13，
当点F与点N重合，点E与点M重合时，AE+EF最小，
且GN=OG−ON=2 13−2=2( 13−1)．
故答案为：2( 13−1)．
延长AD到点G，使得AD=DG，设半圆的圆心为点O，连接OG交CD于点M，交半圆于点N，则AE+EF的最小值是GN，根据GN=OG−ON用勾股定理计算即可．
本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质，熟练掌握线段和最小原理，圆的最值性质，是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)⋅aa(a−b)−2a+b，
=1a+b−2a+b，
=−1a+b ，
∵a，b满足(a−2)2+ b+1=0，
∴a−2=0，b+1=0，
∴a=2，b=−1，
∴原式=−12−1=−1．
【解析】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键，属于基础题．
先化简分式，然后将a、b的值求出代入计算即可．
20.【答案】解：(1)这个班级的学生人数为15÷30%=50(人)，
选择C饮品的人数为50−(10+15+5)=20(人)，
补全图形如下：
(2)10×0+15×2+20×3+5×450=2.2(元)，
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；
(3)画树状图如下：
由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为220=110．
【解析】(1)由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；
(2)根据加权平均数的定义计算可得；
(3)画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)设乙服装厂每天生产x套这种医用防护服，则甲服装厂每天生产1.5x套这种医用防护服，
依题意得：600x−6001.5x=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×40=60，
答：甲服装厂每天生产60套这种医用防护服，乙服装厂每天生产40套这种医用防护服；
(2)设甲服装厂生产了m天，则乙服装厂生产了3000−60m40=(75−32m)天，
依题意得：1500m+1200(75−32m)≤78000，
解得：m≥40，
答：甲服装厂至少生产了40天．
【解析】(1)设乙服装厂每天生产x套这种医用防护服，则甲服装厂每天生产1.5x套这种医用防护服，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合“它们同时加工600套防护服，甲比乙少用5天”，列出分式方程，解方程即可；
(2)设甲服装厂生产了m天，则乙服装厂生产了(75−32m)天，根据总生产费用不超过78000元，列出一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)根据题意，得∠BAE=30°，∠EAC=∠ACF=15°，∠GCB=60°，
∴∠BAC=45°，∠ACB=105°，
∴∠B=180°−45°−105°=30°，
(2)如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠BAC=45°，AC=100，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD=ACcos45°=100× 22=50 2(米)，
在Rt△BCD中，tan30°=CDBD=50 2BD= 33，
解得BD=50 6(米)，
∴AB=BD+AD=50 2+50 6≈50×(1.414+2.449)≈193(米)．
【解析】(1)根据题意，先求∠BAC=45°，∠ACB=105°，再运用三角形内角和定理计算∠B的度数即可．
(2)过点C作CD⊥AB于点D，解直角三角形，求得BD，AD，再求和即可．
本题考查了方位角的应用，解直角三角形，熟练掌握化斜为直解直角三角形是解题的关键．
23.【答案】 (1)证明：连接BO，
∵BM是⊙O的直径，
∴∠BCM=90°，
∴∠CBM+∠M=90°，
∵∠DAB=∠M，∠DBC=∠DAB，
∴∠DBC=∠M，
∴∠CBM+∠DBC=90°，
∴∠OBD=90°，
∴BD是⊙O的切线；
(2)解：连接OE交AC于F，
∵点E是弧AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠EFD=90°，
∴∠EDF+∠OED=90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∵∠BOE=2∠BAE=150°，
∴∠ADB=360°−∠OBD−∠BOE−(∠EDF+∠OED)=30°．
【解析】(1)连接BO，根据圆周角定理得到∠BCM=90°，求得∠CBM+∠M=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)连接OE交AC于F，根据垂径定理得到OE⊥AC，根据切线的性质得到∠OBD=90°，于是得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设函数关系式为y=kx+b(k≠0)，根据题意可得：
11k+b=2913k+b=27，
解得：k=−1b=40，
∴y关于x的函数关系式为y=−x+40；
(2)根据题意可得：
w=y(x−8)−120=(x−8)(−x+40)−120=−x2+48x−440=−(x−24)2+136，
∴−1<0，开口向下，
∵x−8≤8×150%，
∴x≤20，
∵w=−(x−24)2+136，当x<24时，y随x的增大而增大，
∴当x=20时，w有最大值，最大值为w=120，
答：当售价为20元时，利润最大，最大利润为120万元．
【解析】(1)由图表可知y关于x的函数关系为一次函数，设函数关系式y=kx+b(k≠0)利用待定系数法即可解答；
(2)根据利润的关系式利润=销售总价−成本价得到函数关系式即可解答．
本题考查了一次函数与实际问题，二次函数在销售问题中的应用，理清数量关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】GF=GH ∠FGH=120°
【解析】解：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，EC=DC，∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，∠ACD=∠ECD+∠ACE=120°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，∠BEC=∠ADC，
∴∠CBE+∠ADC=∠CAD+∠BEC=60°，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴GF//AD,GF=12AD,GH//BE,GH=12BE，
∴GF=GH，∠CBE=∠DGH，∠BGF=∠ADC，
∴∠DGH+∠BGF=∠ADC+∠CBE=60°，
∴∠FGH=120°，
故答案为：GF=GH，∠FGH=120°．
(2)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，EC=DC，∠ECD=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+∠ACE，∠ACD=∠ECD+∠ACE=60°+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴GF//AD,GF=12AD,GH//BE,GH=12BE，
∴GF=GH，∠BFG=∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+∠CBE，∠DGH=∠DBE，
设BE与GF的交点为M，
∴∠FMB=180°−∠MFB−∠MBF=180°−60°−∠CBE−∠MBF
=120°−∠ABC=120°−60°=60°，
∴∠DGH+∠BGF=∠DBM+∠BGF=∠BMF=60°，
∴∠FGH=120°，
∴GF=GH，∠FGH=120°．
故结论依然成立．
(3)如图，当CE在AC的右侧时，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC=AB=3 3,∠ACB=∠ABC=60°，EC=DC=2，∠ECD=∠CED=60°，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECH=30°，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴BF=12AB=3 32，CH⊥ED，
过点F作FM⊥BC与点M，
∴FM=BFsin60°=3 32× 32=94,BM=BFcos60°=3 32×12=3 34，
CH=CEsin60°=2× 32= 3，
∴MH=BC−BM+CH=3 3−3 34+ 3=13 34，
∴FH= FM2+MH2= (13 34)2+(94)2=7 32．
如图，当CE在AC的左侧时，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC=AB=3 3,∠ACB=∠ABC=60°，EC=DC=2，∠ECD=∠CED=60°，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECH=30°，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴BF=12AB=3 32，CH⊥ED，
过点F作FN⊥BC与点N，
∴FN=BFsin60°=3 32× 32=94,BN=BFcos60°=3 32×12=3 34，
CH=CEsin60°=2× 32= 3，
∴NH=BC−BM−CH=3 3−3 34− 3=5 34，
∴FH= FN2+NH2= (5 34)2+(94)2= 392．
综上所述，FH= 392或FH=7 32．
(1)利用SAS证明△BCE≌△ACD得到BE=AD，根据三角形中位线定理，全等三角形的性质计算证明即可；
(2)利用SAS证明△BCE≌△ACD得到BE=AD，根据三角形中位线定理，全等三角形的性质计算证明即可；
(3)利用等边三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值分类计算即可．
本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，勾股定理，特殊角三角函数值，解直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角三角函数值，解直角三角形，三角形中位线定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，B(2,3)两点，
∴−1−b+c=0−4+2b+c=3，
∴解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)设点C的坐标为(x,y)，
如图1，当点C在直线AB上方时，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接CD，
∴点D(2,0)，
∴AD=3，BD=3，
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC−S△ABD=12×3×3+12×3×(x−2)−12×3×3=3，
∴x=5，
∵点C在抛物线上，
∴y=−x2+2x+3=−52+2×5+3，
解得：y=−12，
∴点C的坐标(5,−12)；
如图2，当点C在AB的下方时，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接CD，
∴S△ABC=S△ADB+S△BDC−S△ADC=12×3×3+12×3×(x−2)−12×3×y=3，
∴y=x−1，
∵点C在抛物线上，
∴x−1=−x2+2x+3，
解得：x1=1− 172，x2=1+ 172；
∴点C的坐标为(1− 172,−1− 172)或(1+ 172,−1+ 172)
综上，点C的坐标为(0,3)或(1,4)或(1− 172,−1− 172)或(1+ 172,−1+ 172)．
(3)设点P(a,−a2+2a+3)，
∴点Q(a,a+1)，
如图3，当PQ=BP时，
∵PQ⊥OA，
∴∠PQB=45°，
∴∠BPQ=90°，
∴PB//x轴，
∴点P(0,3)，
∴点M(2,1)；
如图4，当BP=BQ时，此时点B在PQ的垂直平分线上，
∴BM⊥PQ，
∴点M(0,3)；
如图5，6，当PQ=BQ时且点P在B的左侧时，
∵∠PQB=45°，
∴BQ= 2(2−a)，PQ=|−a2+a+2|，
∴ 2(2−a)=−a2+a+2或 2(2−a)=a2−a−2，
解得：a1=2(舍)a2= 2−1或a3=2(舍)，a4=− 2−1；
∵四边形BMPQ是菱形，
∴BM//PQ，BM=PQ，
∴点M(2,3 2+1)或(2,−3 2+1)；
当PQ=BQ时且点P在B的右侧时，
∴BQ= 2(2−a)，PQ=a2−a−2，
∴ 2(2−a)=a2−a−2，
解得：a1=2(舍)，a2= 2−1，
∵ 2−1<2，
∴与点P在B的右侧矛盾，故舍去；
综上所述，点M的坐标为(2,1)或(0,3)或(2,3 2+1)或(2,−3 2+1)．
【解析】(1)将A(−1,0)、B(2,3)代入二次函数解析式，利用待定系数法即可解答；
(2)根据题意分当点C在直线AB上方时和点C在AB的下方两种情况即可解答；
(3)设点P(a,−a2+2a+3)根据菱形的性质分情况讨论即可解答．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与特殊四边形，一次函数与二次函数交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2023年安徽省安庆市岳西县巍岭中学中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −12的倒数是( )
A. −2 B. 2 C. −12 D. 12
2. 由中国发起创立的“亚洲基础设施投资银行”的法定资本金为100 000 000 000美元，用科学记数法表示为( )
A. 1.0×109美元 B. 1.0×1010美元 C. 1.0×1011美元 D. 1.0×1012美元
3. 下列运算正确的是( )
A. 3a+2a=5a2 B. 5a2⋅3a3=15a6
C. (a−1)2=a2−1 D. (2a3)2=4a6
4. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列调查中，不适合采用全面调查方式的是( )
A. 神舟十五号发射前对重要零部件的检查 B. 旅客上飞机前的安检
C. 了解某班同学的每周课前预习的时间 D. 灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
6. 若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 已知关于x的不等式组3x−1<4(x−1)x
8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为( )
A. x+y=30504x+903y=570 B. x+y=30904x+503y=570
C. x+y=30903x+504y=570 D. x+y=30503x+904y=570
9. 如图，面积为6 3的Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO=30°，反比例函数y=kx的图象恰好经过点A，则k的值为( )
A. 3 32
B. −3 32
C. 3 3
D. −3 3
10. 如图，边长为2 2的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E在BD上由点B向点D运动(点E不与点B，D重合)，连接AE.将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF交AO于点G.设BE的长为x，AG的长为y，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 点P(−2,3)关于原点对称的点的坐标是______ ．
12. 关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，则a的取值范围是______．
13. 如图，AB//CD，∠A=45°，∠C=30°则∠AEC的度数是______ ．
14. 如图，点A，B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，在网格格点上除点A，B外任取一点C，则使△ABC的面积为1的概率是______ ．
15. 如图，九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等，请用含x的代数式表示y，y=______．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处.当△AEF为直角三角形时，AE= ______ ．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=4，连接DB，将线段DB绕点D顺时针旋转90°得线段DP，连接AP，则AP的长是______ ．
18. 如图，E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，F是以BC为直径的半圆上的一个动点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
先化简，再求值：a2−2ab+b2a2−b2÷a2−aba−2a+b，其中a，b满足(a−2)2+ b+1=0．
20. (本小题12.0分)
如今很多初中生喜欢购买饮品饮用，这样既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销.为此某班数学兴趣小组对本班学生一天饮用饮品的情况进行了调查，饮品大致可分为四种：A.白开水，B.瓶装矿泉水，C.碳酸饮料，D.非碳酸饮料，并根据统计结果绘制出如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)求该班共有多少名学生，并补全条形统计图．
(2)若该班学生每人每天只饮用一种饮品(每种仅限一瓶，价格如下表所示)，则该班学生每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格/(元/瓶)
0
2
3
4
(3)为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部(其中有2位班长记为A1，A2，其余3位记为A3，A4，A5)中随机抽取2名班委干部作为良好习惯监督员，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
21. (本小题12.0分)
甲、乙两个服装厂都接到了生产同一种型号的医用防护服的任务.已知甲服装厂每天生产的数量是乙服装厂每天生产数量的1.5倍，它们同时生产600套防护服，甲服装厂比乙服装厂少用5天．
(1)求甲、乙两个服装厂每天各生产多少套这种医用防护服．
(2)已知甲、乙两个服装厂生产这种防护服每天的生产费用分别是1500元和1200元，现有3000套这种防护服的生产任务，甲服装厂单独生产一段时间后另有安排，剩余任务由乙服装厂继续完成.如果总生产费用不超过78000元，那么甲服装厂至少生产了多少天？
22. (本小题12.0分)
如图，公园中有A，B，C三个凉亭，凉亭A，B在人工湖的两侧，经测量，凉亭B位于凉亭A北偏西30°的方向上，从凉亭A出发沿着北偏东15°的方向走100米到达凉亭C，测量后知凉亭B位于凉亭C北偏西60°的方向上．
(1)求∠B的度数；
(2)求凉亭A，B之间的距离.(结果精确到1米.参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.449)
23. (本小题12.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在弦AC的延长线上，连接BD，恰有∠DBC=∠DAB．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若点E是弧AC的中点，且∠EAB=75°，求∠D的度数．
24. (本小题12.0分)
某公司2022年投入研发费用120万元，成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为8元/件.经试销发现年销售量y(万件)与售价x(元/件)的对应关系如下表所示：
x/(元/件)
11
13
15
y/万件
29
27
25
(1)直接写出y关于x的函数关系式；
(2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%，则当产品的售价为多少时，该年年利润w(万元)最大？其最大年利润是多少？
25. (本小题12.0分)
△ABC和△CDE都是等边三角形，连接BD，F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，连接GF，GH，BE，AD．
(1)如图1，当点B，C，D在一条直线上时，线段GF与GH的数量关系为______ ，∠FGH= ______ °.
(2)当△CDE绕顶点C逆时针旋转到如图2所示的位置时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论并证明．
(3)已知△ABC的边长为3 3，△CDE的边长为2，在△CDE由图1的位置绕点C逆时针旋转一周的过程中，当CE⊥AC时，请直接写出FH的长度．
26. (本小题14.0分)
如图，直线y=mx+n(m≠0).与抛物线y=−x2+bx+c交于A(−1,0)，B(2,3)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线上，且△ABC的面积为3，求点C的坐标；
(3)若点P在抛物线上，PQ⊥OA交直线AB于点Q，点M在坐标平面内，当以B，P，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−12的倒数是−2，
故选：A．
根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2.【答案】C
【解析】解：100 000 000000=1.0×1011，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：2a+3a=5a，故选项A错误，不符合题意；
5a2⋅3a3=15a5，故选项B错误，不符合题意；
(a−1)2=a2−2a+1，故选项C错误，不符合题意；
(2a3)2=4a6，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据整式的加减，单项式乘单项式，积的乘方，完全平方公式等计算法则计算即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：B．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5.【答案】D
【解析】解：神舟十五号发射前对重要零部件的检查，采用全面调查方式，
∴A不符合题意；
旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，
∴B不符合题意；
了解某班同学的每周课前预习的时间，采用全面调查方式，
∴C不符合题意；
灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采取抽样调查的方式，
∴D符合题意；
故选D．
根据抽样调查和普查的特点，选择合适的调查方式．
本题考查了调查的两种方式，熟练掌握两种方式使用的基本特点是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：当x≤1时，中位数是3，因为中位数与平均数相等，则得到：15(x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去)；
当1
当3≤x<6时，中位数是3，中位数与平均数相等，则得到：15(x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去)；
当x≥6时，中位数是3，中位数与平均数相等，则得到：15(x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去)．
所以x的值为2．
故选：A．
根据平均数与中位数的定义分四种情况x≤1，1
7.【答案】A
【解析】解：解不等式3x−1<4(x−1)，得：x>3，
∵不等式组无解，
∴m≤3，
故选：A．
先按照一般步骤进行求解，因为大大小小无解，那么根据所解出的x的解集，将得到一个新的关于m的不等式，解答即可．
主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时(如：x>a，x
8.【答案】B
【解析】解：设有绢x疋，布y疋，依据题意可列方程组为x+y=30904x+503y=570．
故选：B．
设有绢x疋，布y疋，依据“今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯”列出方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：作AD⊥OB于D，
∵Rt△OAB中，∠ABO=30°，
∴OA=12OB，
∵∠ADO=∠OAB=90°，∠AOD=∠BOA，
∴△AOD∽△BOA，
∴S△AODS△BOA=(OAOB)2=14，
∴S△AOD=14S△BOA=14×6 3=3 32，
∵S△AOD=12|k|，
∴|k|=3 3，
∵反比例函数y=kx图象在二、四象限，
∴k=−3 3，
故选：D．
作AD⊥OB于D，根据30°角的直角三角形的性质得出OA=12OB，然后通过证得△AOD∽△BOA，求得△AOD的面积，然后根据反比例函数y=kx的几何意义即可求得k的值．
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，求得△AOD的面积是解答此题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，
∴AB=AD，∠BAD=90°，AE=AF，∠EAF=90°，
∴∠BAE=90°−∠EAD，∠DAF=90°−∠EAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵AB=AD∠BAE=∠DAFAE=AF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠AOB=90°，OB=OD，
∴∠ABD=∠ADB=∠ADF=45°，
∴∠ODF=90°，
∴OG//DF，
∴BOOD=BGGF，
∴BG=GF，
∴OG=12DF=12BE=12x，
∵边长为2 2的正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AC= 2AB=4，OA=OC=2，
∴AG=OA−OG=2−12x，
∴y=2−12x(0
故选：A．
连接DF，证明△ABE≌△ADF(SAS)，得到BE=DF，结合OG//DF构造三角形中位线定理，计算判断即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象、全等三角形的判定和性质、中位线的性质定理，解题的关键是通过辅助线构造全等三角形而后转化线段．
11.【答案】(2,−3)
【解析】解：∵P(−2,3)，
∴关于原点对称的点的坐标是P1(2,−3)，
故答案为：(2,−3)．
根据关于原点对称的点的坐标特征即可解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
12.【答案】a≤14且a≠−2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，
∴Δ≥0且a+2≠0，
∴(−3)2−4(a+2)×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤14且a≠−2，
故答案为：a≤14且a≠−2．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且Δ≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】75°
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠ABE=∠C=30°，
∵∠AEC=∠ABE+∠A，∠A=45°，
∴∠AEC=30°+45°=75°，
故答案为：75°．
利用两直线平行，内错角相等，三角形外角性质计算即可．
本题考查了平行线性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．
14.【答案】29
【解析】解：∵任意放置一点C(除点A，B)共有20−2=18(种)可能的结果，其中能使△ABC的面积为1的结果有4种：点C1，C2，C3，C4均满足题意，
∴使△ABC的面积为1的概率为：418=29．
故答案为：29．
根据△ABC的面积为1，在网格上找到满足题意的点C，再根据概率公式，即可．
本题考查概率的知识，解题的关键是全面找到满足题意的结果，熟练掌握概率的公式．
15.【答案】2x−7
【解析】解：根据题意得：
第一行第三列，第二行第二列，第三行第一列的三个数之和为：x+y+7，
第一行第一列的数为：x+y+7−x−4=y+3，
第一行第二列的数为：x+y+7−(y+3)−7=x−3，
第三行第二列的数为：x+y+7−(x−3)−x=10−x+y，
第三行的三个数之和为：y+(10−x+y)+4=x+y+7，
整理得：y=2x−7，
故答案为：2x−7．
根据“九宫格中横向、纵向、对角线上的三个数之和均相等”，结合图中已知的数，列出关于x和y的等式，整理后即可得到答案．
本题考查了列代数式，正确掌握观察图形和列代数式是解题的关键．
16.【答案】2或5
【解析】解：当∠AFE=90°时，连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6，
∴∠ABC=∠CFE=90°，AC= 62+82=10，AD=BC=6，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFE+∠CFE=180°，
∴A，F，C三点共线，
根据折叠的性质，得CF=BC=6，EF=EB，
∴AF=AC−CF=4，
设AE=x，则EF=EB=8−x，
根据勾股定理，得x2=(8−x)2+42，
解得x=5，
故AE=5；
当∠AEF=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6，
∴∠ABC=∠CFE=90°，AD=BC=6，
∵∠AFE=90°，
∴四边形BCFE是矩形，
根据折叠的性质，得CF=BC=6，EF=EB，
∴四边形BCFE是正方形，
，
∴AE=AB−BE=8−6=2，
故AE=2；
当∠FAE=90°时，
∵CD>CF，
∴F点不可能落到AD上，
故∠FAE=90°不成立，
故AE=2或AE=5，
故答案为：2或5．
分∠AEF=90°，∠AFE=90°，∠FAE=90°三种情形计算．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
17.【答案】5
【解析】解：如图，过P作PE⊥AD交AD于E，
∴∠PED=∠PEA=90°，
∵将线段DB绕点D顺时针旋转90°得线段DP，
∴BD=PD，∠PEA=∠BDP=90°，
∴∠ADB+∠ADP=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠ADP，
∴△ABD≌△EDP(AAS)，
∴ED=AB=1，PE=4，
∴AE=AD−DE=4−1=3，
在Rt△APE中，
PA= PE2+AE2= 42+32=5．
故答案为：5．
过P作PE⊥AD交AD于E，根据线段DB绕点D顺时针旋转90°得线段DP，BD=PD，∠PEA=∠BDP=90°，进而得到∠ADB+∠ABP=90°，之后证明△ABD≌△EDP，最后在Rt△APE中利用勾股定理即可得到答案．
本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
18.【答案】2( 13−1)
【解析】解：延长AD到点G，使得AD=DG，设半圆的圆心为点O，连接OG交CD于点M，交半圆于点N，则AE+EF的最小值是GN，如图：
∵E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，点F是以BC为直径的半圆上的一个动点，
∴AD=DG=BC=4，ON=OC=2，
过点⊙O作OH⊥AD于H，
∴∠ADC=∠DCB=90°，
∴四边形OCDH是矩形，
∴OH=CD=4，DH=OC，
∴OG= 42+(2+6)2=2 13，
当点F与点N重合，点E与点M重合时，AE+EF最小，
且GN=OG−ON=2 13−2=2( 13−1)．
故答案为：2( 13−1)．
延长AD到点G，使得AD=DG，设半圆的圆心为点O，连接OG交CD于点M，交半圆于点N，则AE+EF的最小值是GN，根据GN=OG−ON用勾股定理计算即可．
本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质，熟练掌握线段和最小原理，圆的最值性质，是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(a−b)2(a+b)(a−b)⋅aa(a−b)−2a+b，
=1a+b−2a+b，
=−1a+b ，
∵a，b满足(a−2)2+ b+1=0，
∴a−2=0，b+1=0，
∴a=2，b=−1，
∴原式=−12−1=−1．
【解析】本题考查了分式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键，属于基础题．
先化简分式，然后将a、b的值求出代入计算即可．
20.【答案】解：(1)这个班级的学生人数为15÷30%=50(人)，
选择C饮品的人数为50−(10+15+5)=20(人)，
补全图形如下：
(2)10×0+15×2+20×3+5×450=2.2(元)，
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；
(3)画树状图如下：
由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为220=110．
【解析】(1)由B饮品的人数及其所占百分比可得总人数，再根据各饮品的人数之和等于总人数求出C的人数即可补全图形；
(2)根据加权平均数的定义计算可得；
(3)画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：(1)设乙服装厂每天生产x套这种医用防护服，则甲服装厂每天生产1.5x套这种医用防护服，
依题意得：600x−6001.5x=5，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=1.5×40=60，
答：甲服装厂每天生产60套这种医用防护服，乙服装厂每天生产40套这种医用防护服；
(2)设甲服装厂生产了m天，则乙服装厂生产了3000−60m40=(75−32m)天，
依题意得：1500m+1200(75−32m)≤78000，
解得：m≥40，
答：甲服装厂至少生产了40天．
【解析】(1)设乙服装厂每天生产x套这种医用防护服，则甲服装厂每天生产1.5x套这种医用防护服，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合“它们同时加工600套防护服，甲比乙少用5天”，列出分式方程，解方程即可；
(2)设甲服装厂生产了m天，则乙服装厂生产了(75−32m)天，根据总生产费用不超过78000元，列出一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)根据题意，得∠BAE=30°，∠EAC=∠ACF=15°，∠GCB=60°，
∴∠BAC=45°，∠ACB=105°，
∴∠B=180°−45°−105°=30°，
(2)如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠BAC=45°，AC=100，
∴∠ACD=45°，
∴AD=CD=ACcos45°=100× 22=50 2(米)，
在Rt△BCD中，tan30°=CDBD=50 2BD= 33，
解得BD=50 6(米)，
∴AB=BD+AD=50 2+50 6≈50×(1.414+2.449)≈193(米)．
【解析】(1)根据题意，先求∠BAC=45°，∠ACB=105°，再运用三角形内角和定理计算∠B的度数即可．
(2)过点C作CD⊥AB于点D，解直角三角形，求得BD，AD，再求和即可．
本题考查了方位角的应用，解直角三角形，熟练掌握化斜为直解直角三角形是解题的关键．
23.【答案】 (1)证明：连接BO，
∵BM是⊙O的直径，
∴∠BCM=90°，
∴∠CBM+∠M=90°，
∵∠DAB=∠M，∠DBC=∠DAB，
∴∠DBC=∠M，
∴∠CBM+∠DBC=90°，
∴∠OBD=90°，
∴BD是⊙O的切线；
(2)解：连接OE交AC于F，
∵点E是弧AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴∠EFD=90°，
∴∠EDF+∠OED=90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD=90°，
∵∠BOE=2∠BAE=150°，
∴∠ADB=360°−∠OBD−∠BOE−(∠EDF+∠OED)=30°．
【解析】(1)连接BO，根据圆周角定理得到∠BCM=90°，求得∠CBM+∠M=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)连接OE交AC于F，根据垂径定理得到OE⊥AC，根据切线的性质得到∠OBD=90°，于是得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设函数关系式为y=kx+b(k≠0)，根据题意可得：
11k+b=2913k+b=27，
解得：k=−1b=40，
∴y关于x的函数关系式为y=−x+40；
(2)根据题意可得：
w=y(x−8)−120=(x−8)(−x+40)−120=−x2+48x−440=−(x−24)2+136，
∴−1<0，开口向下，
∵x−8≤8×150%，
∴x≤20，
∵w=−(x−24)2+136，当x<24时，y随x的增大而增大，
∴当x=20时，w有最大值，最大值为w=120，
答：当售价为20元时，利润最大，最大利润为120万元．
【解析】(1)由图表可知y关于x的函数关系为一次函数，设函数关系式y=kx+b(k≠0)利用待定系数法即可解答；
(2)根据利润的关系式利润=销售总价−成本价得到函数关系式即可解答．
本题考查了一次函数与实际问题，二次函数在销售问题中的应用，理清数量关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.【答案】GF=GH ∠FGH=120°
【解析】解：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，EC=DC，∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=120°，∠ACD=∠ECD+∠ACE=120°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，∠BEC=∠ADC，
∴∠CBE+∠ADC=∠CAD+∠BEC=60°，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴GF//AD,GF=12AD,GH//BE,GH=12BE，
∴GF=GH，∠CBE=∠DGH，∠BGF=∠ADC，
∴∠DGH+∠BGF=∠ADC+∠CBE=60°，
∴∠FGH=120°，
故答案为：GF=GH，∠FGH=120°．
(2)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，EC=DC，∠ECD=60°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=60°+∠ACE，∠ACD=∠ECD+∠ACE=60°+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴GF//AD,GF=12AD,GH//BE,GH=12BE，
∴GF=GH，∠BFG=∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+∠CBE，∠DGH=∠DBE，
设BE与GF的交点为M，
∴∠FMB=180°−∠MFB−∠MBF=180°−60°−∠CBE−∠MBF
=120°−∠ABC=120°−60°=60°，
∴∠DGH+∠BGF=∠DBM+∠BGF=∠BMF=60°，
∴∠FGH=120°，
∴GF=GH，∠FGH=120°．
故结论依然成立．
(3)如图，当CE在AC的右侧时，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC=AB=3 3,∠ACB=∠ABC=60°，EC=DC=2，∠ECD=∠CED=60°，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECH=30°，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴BF=12AB=3 32，CH⊥ED，
过点F作FM⊥BC与点M，
∴FM=BFsin60°=3 32× 32=94,BM=BFcos60°=3 32×12=3 34，
CH=CEsin60°=2× 32= 3，
∴MH=BC−BM+CH=3 3−3 34+ 3=13 34，
∴FH= FM2+MH2= (13 34)2+(94)2=7 32．
如图，当CE在AC的左侧时，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC=AB=3 3,∠ACB=∠ABC=60°，EC=DC=2，∠ECD=∠CED=60°，
∵CE⊥AC，
∴∠ACE=90°，
∴∠ECH=30°，
∵F，G，H分别是AB，BD，DE的中点，
∴BF=12AB=3 32，CH⊥ED，
过点F作FN⊥BC与点N，
∴FN=BFsin60°=3 32× 32=94,BN=BFcos60°=3 32×12=3 34，
CH=CEsin60°=2× 32= 3，
∴NH=BC−BM−CH=3 3−3 34− 3=5 34，
∴FH= FN2+NH2= (5 34)2+(94)2= 392．
综上所述，FH= 392或FH=7 32．
(1)利用SAS证明△BCE≌△ACD得到BE=AD，根据三角形中位线定理，全等三角形的性质计算证明即可；
(2)利用SAS证明△BCE≌△ACD得到BE=AD，根据三角形中位线定理，全等三角形的性质计算证明即可；
(3)利用等边三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值分类计算即可．
本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，勾股定理，特殊角三角函数值，解直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角三角函数值，解直角三角形，三角形中位线定理是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，B(2,3)两点，
∴−1−b+c=0−4+2b+c=3，
∴解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)设点C的坐标为(x,y)，
如图1，当点C在直线AB上方时，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接CD，
∴点D(2,0)，
∴AD=3，BD=3，
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC−S△ABD=12×3×3+12×3×(x−2)−12×3×3=3，
∴x=5，
∵点C在抛物线上，
∴y=−x2+2x+3=−52+2×5+3，
解得：y=−12，
∴点C的坐标(5,−12)；
如图2，当点C在AB的下方时，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接CD，
∴S△ABC=S△ADB+S△BDC−S△ADC=12×3×3+12×3×(x−2)−12×3×y=3，
∴y=x−1，
∵点C在抛物线上，
∴x−1=−x2+2x+3，
解得：x1=1− 172，x2=1+ 172；
∴点C的坐标为(1− 172,−1− 172)或(1+ 172,−1+ 172)
综上，点C的坐标为(0,3)或(1,4)或(1− 172,−1− 172)或(1+ 172,−1+ 172)．
(3)设点P(a,−a2+2a+3)，
∴点Q(a,a+1)，
如图3，当PQ=BP时，
∵PQ⊥OA，
∴∠PQB=45°，
∴∠BPQ=90°，
∴PB//x轴，
∴点P(0,3)，
∴点M(2,1)；
如图4，当BP=BQ时，此时点B在PQ的垂直平分线上，
∴BM⊥PQ，
∴点M(0,3)；
如图5，6，当PQ=BQ时且点P在B的左侧时，
∵∠PQB=45°，
∴BQ= 2(2−a)，PQ=|−a2+a+2|，
∴ 2(2−a)=−a2+a+2或 2(2−a)=a2−a−2，
解得：a1=2(舍)a2= 2−1或a3=2(舍)，a4=− 2−1；
∵四边形BMPQ是菱形，
∴BM//PQ，BM=PQ，
∴点M(2,3 2+1)或(2,−3 2+1)；
当PQ=BQ时且点P在B的右侧时，
∴BQ= 2(2−a)，PQ=a2−a−2，
∴ 2(2−a)=a2−a−2，
解得：a1=2(舍)，a2= 2−1，
∵ 2−1<2，
∴与点P在B的右侧矛盾，故舍去；
综上所述，点M的坐标为(2,1)或(0,3)或(2,3 2+1)或(2,−3 2+1)．
【解析】(1)将A(−1,0)、B(2,3)代入二次函数解析式，利用待定系数法即可解答；
(2)根据题意分当点C在直线AB上方时和点C在AB的下方两种情况即可解答；
(3)设点P(a,−a2+2a+3)根据菱形的性质分情况讨论即可解答．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与特殊四边形，一次函数与二次函数交点，掌握二次函数的性质是解题的关键．
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