2023年安徽省宿州市泗县屏山中学中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年安徽省宿州市泗县屏山中学中考数学适应性试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年安徽省宿州市泗县屏山中学中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. − 3的倒数是(    )
A. 3 B. 33 C. − 3 D. − 33
2. 下列运算正确的是(    )
A. (−2a2)2=4a° B. x2⋅x2=2x4
C. m3+2m3=3m3 D. x3÷x3=x
3. 2022年卡塔尔世界杯是自1930年以来举办的第22届世界杯，历届世界杯可谓各具特色，会徽设计也蕴含了不同的文化．下列世界杯会徽的图案中，属于轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
4. 如图所示的几何体的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 某校七年学习小组的人数如下：2，2，3，x，3，6，6.已知这组数据的平均数是4，则这组数据的众数是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
6. 不等式组x+1≥04−2x>0的解集在数轴上的表示正确的是(    )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上.若∠1=42°，则∠2的度数是(    )
A. 72°
B. 92°
C. 102°
D. 108°
8. 甲、乙两个工程队共同承担了全长5100米的公路改造任务，乙队每天的工作效率是甲队的43倍，甲队先单独工作2天后，再与乙队共同完成剩余的工作，其中乙队一共完成了2400米的公路改造任务.设甲队每天能改造x米公路，则下列方程正确的是(    )
A. 2400×43x−5100−2400x=2 B. 5100−2400x−2400×34x=2
C. 5100−2xx=2400×34x D. 5100−2xx=2400×43x
9. 如图，将矩形ABCD沿直线BE折叠，使得∠CBE=30°，点C，D分别落在点C′，D′处，连接DD′，其中AB=3，BC=5 3，则DD′的长为(    )
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 3 3
10. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象，其顶点坐标为(1,−4a)，现有下列结论：①a<−13；②a−b+c<0；③c−2b<0；④方程a(x−3)(x+1)+1=0没有实数根.其中正确的有(    )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 商务部数据显示，2022年1～7月我国服务贸易继续稳步增长，服务进出口总额达到3392210000000元，同比增长20.7%.将数据3392210000000用科学记数法表示为______ ．
12. 分解因式：a3b−ab3=______．
13. 现将背面完全相同，正面分别标有数字0，1，3，4，6的五张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，则卡片上的数字的算术平方根是无理数的概率为______ ．
14. 若关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+3=0有实数根，则m的取值范围是______．
15. 如图，四边形AOBC的边OA与y轴的正半轴重合，BC⊥x轴，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过四边形AOBC的对角线AB，OC的交点D.若BCOA=23，△BCD的面积为2，则k的值为______ ．


16. 如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点.若AH=4，CG=6，则AB的长为______ ．


17. 用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=30°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间应满足的关系是______ ．
18. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上任意一点，F为BE的中点，将△DEF绕点F顺时针旋转90°得到△GHF，连接DH，则DH的最小值为______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，其中a=(1−π)0−|−12|+2−1．
20. (本小题12.0分)
某校为增强学生的身体素质，加强体育锻炼，开展了以下体育项目：A.踢毽子；B.跳绳；C.俯卧撑；D.仰卧起坐；E.其他(每人必选且只能选择其中一个项目).该校随机抽取了部分学生进行调查，并根据收集的数据绘制了如图两幅不完整的统计图：

请根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)求本次调查中参加A，B，C，D这四个体育项目的学生总人数；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校有1000人，请估计选择项目D的学生有多少人；
(4)在被调查的项目B的学生中有3名喜欢花样跳绳，为1名男生和2名女生，学校想从这3人中任选2人进行花样跳绳表演，请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
21. (本小题12.0分)
某电器超市销售进价分别为每台200元、170元的A，B两种型号的电风扇，表格是近两周的销售情况(进价、售价均保持不变)：

A种型号
B种型号
销售收入
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
(1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价；
(2)该电器超市准备采购这两种型号的电风扇共30台，若使销售获得的总利润不低于1455元，则A种型号的电风扇应至少采购多少台？
22. (本小题12.0分)
某校带领九年级的学生参观红色教育基地.如图，A，B，C，D，E为一楼的五个展区，已知展区C位于展区D的南偏东60°方向的100米处，同时位于展区B的东北方向，展区A，B与展区C，E都位于东西方向，且展区E位于展区A的北偏东30方向的50米处，同时位于展区D的西南方向．
(1)求展区C与展区E相距多少米；(结果保留根号)
(2)为了让学生们感受防空洞，基地在展区A，B之间修了一条笔直的防空洞，求展区A，B之间防空洞的长度.(结果精确到1米.参考数据： 3≈1.732)

23. (本小题12.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，在⊙O上取一点D，使CD=BC，过点C作EF⊥AD，交AD的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)若AB=10，AD=6，求AC的长．

24. (本小题12.0分)
为丰富市民的周末生活，某旅行社推出市区周边一日游项目，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如下所示的函数图象，图中的折线表示团队人均报名费用y(元)与团队人数x(人)之间的函数关系.若旅行社规定团队的人均报名费用不低于84元，请解答下列问题：
(1)请求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．
(2)当一个团队有多少人时，该旅行社收到的总报名费用最多？最多是多少元？

25. (本小题12.0分)
如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，E为直线BC上一点，连接AE，将AE绕点A逆时针旋转120°得到AF，连接BF交对角线AC于点G，H为边AB的中点，连接GH．
(1)如图1，当点E与点B重合时，请直接写出GH与AF的关系；
(2)如图2，当点E在边BC上时，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)当BE=2时，请直接写出GH的长．

26. (本小题14.0分)
如图，直线y=43x−4分别交x轴、y轴于点D，C，抛物线y=14x2+bx+c经过点A(−2,0)和点C，且与x轴交于点B，P为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第二象限时，连接PC交x轴于点E，连接PD，AC.若S△PED−S△ACE=13，求点P的坐标；
(3)过点P作PF⊥CD，垂足为F，是否存在点P，使∠CPF=12∠CDO？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
根据倒数的定义即可得出答案．
此题主要考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
【解答】
解：− 3的倒数是− 33；
故选：D．  
2.【答案】C 
【解析】解：A.(−2a2)2=4a4，故本选项不符合题意；
B.x2⋅x2=x4，故本选项不符合题意；
C.m3+2m3=3m3，故本选项符合题意；
D.x3÷x3=1，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法和除法，合并同类项法则进行计算，再根据求出的结果得出选项即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法和除法，合并同类项法则等知识点，能熟记幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法和除法、合并同类项法则是解此题的关键．

3.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．  
4.【答案】D 
【解析】解：此几何体的俯视图如下：
．
故选：D．
找到从上面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握所看的位置．

5.【答案】D 
【解析】解：根据题意，得(2+2+3+x+3+6+6)÷7=4，
解得：x=6，
则出现次数最多的数是6，
故这组数据的众数为6，
故选：D．
根据平均数的求解公式和众数定义求解即可．
本题考查平均数和众数，正确求得x值是解答的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：解不等式x+1≥0得x≥−1，
解不等式4−2x>0得x<2，
∴不等式组的解集为−1≤x<2，
解集在数轴上表示为：

故选：B．
先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是空心还是实心．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：如图，∵∠1=42°，∠ABC=30°，
∴∠ABF=180°−30°−42°=108°．
∵a/​/b，
∴∠2=∠ABF=108°．
故选：D．
先求出∠ABF的度数，再根据平行线的性质即可求出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：根据题意，得：5100−2400x−240043x=2，
变形：5100−2400x−2400×34x=2．
故选：B．
根据题意列出分式方程求解即可．
此题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准题目中的等量关系．

9.【答案】C 
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE=30°，
∵AB=3，
∴在Rt△ABE中，AE=ABtan∠AEB=3 3，
∴DE=2 3，
∵∠AEB=30°，
∴∠DEB=150°，
∵根据折叠的性质有∠D′EB=∠DEB，D′E=DE，
∴∠D′EB=∠DEB=150°，
∴∠D′ED=360°−150°×2=60°，
∵D′E=DE，
∴△D′DE是等边三角形，
∴DD′=DE=2 3，
故选：C．
先证明∠AEB=∠CBE=30°，即在Rt△ABE中，AE=ABtan∠AEB=3 3，进而有DE=2 3，由∠AEB=30°，可得∠DEB=150°，根据折叠的性质有D′E=DE，∠D′EB=∠DEB=150°，即∠D′ED=360°−150°×2=60°，可得△D′DE是等边三角形，问题得解．
本题主要考查了矩形的折叠问题，涉及解直角三角形，平行的性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解答本题的关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,−4a)，交于y轴正半轴，且在1上方，
∴a<0，c>1，对称轴为x=−b2a=1，y=a(x−1)2−4a，
∴b=−2a>0，y=a(x−1)2−4a=ax2−2ax−3a，
即：c=−3a>1，
∴a<−13，即b=−2a>23，故①正确；
∴a−b+c=a+2a−3a=0，故②错误；
∴c−2b=−3a−2(−2a)=a<−13<0，故③正确；
∵a−b+c=a+2a−3a=0，
∴当x=−1时，y=a−b+c=0，
∴抛物线与x轴交于点(−1,0)，
∵对称轴为x=−b2a=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，
∴y=a(x−3)(x+1)=0，
∴a(x−3)(x+1)+1=0无实数解，故④正确；
综上，正确的有3个；
故选：C．
抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,−4a)，交于y轴正半轴，且在1上方，可得a<0，c>1，对称轴为x=−b2a=1，y=a(x−1)2−4a，进而有b=−2a>0，y=a(x−1)2−4a=ax2−2ax−3a，可得c=−3a>1，即可判断①②③，根据a−b+c=a+2a−3a=0，可得抛物线与x轴交于点(−1,0)，即可得抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)，则有y=a(x−3)(x+1)=0，据此即可判断④正确．
本题考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．

11.【答案】3.39221×1012 
【解析】解：3392210000000=3.39221×1012．
故答案为：3.39221×1012．
对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n是比原整数位数少1的数．
此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12.【答案】ab(a+b)(a−b) 
【解析】解：a3b−ab3，
=ab(a2−b2)，
=ab(a+b)(a−b)．
先提公因式ab，再利用公式法分解因式即可．
本题主要考查了整式的因式分解，在解题时要注意因式分解的方法和结果要分解到最后是本题的关键．

13.【答案】25 
【解析】解：0，1，3，4，6的算术平方根分别为：0，1， 3，2， 6，
其中无理数有 3， 6，
∵共有5个数，其中卡片上的数字的算术平方根是无理数的有2个，
∴抽到卡片上的数字的算术平方根是无理数的概率为25．
故答案为：25．
先求出各数的算术平方根，再直接用概率公式计算即可．
本题考查概率公式，熟练掌握事件A的概率等于所求事件数与总情况数之比是关键．

14.【答案】m≤43且m≠1 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+3=0有实数根，
∴Δ=(−2)2−4(m−1)×3≥0m−1≠0，
解得：m≤43且m≠1．
故答案为：m≤43且m≠1．
利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于m的不等式组是解题的关键．

15.【答案】185 
【解析】解：∵BC⊥x轴，
∴BC/​/OA，
∴△CDB∽△ODA，
∴CDOD=BCOA=23，
∴S△CDBS△BDO=CDOD=23，ODOC=35．
∵△BCD的面积为2，
∴2S△BDO=23，
∴S△BDO=3，
∴S△OBC=2+3=5．
作DE⊥OB于点E，

∴DE/​/BC，
∴△ODE∽△OCB，
∴S△ODES△OBC=(ODOC)2=925，
∴S△ODE5=925，
∴S△ODE=95，
∴k=95×2=185．
故答案为：185．
由△CDB∽△ODA，可求得S△CDBS△BDO=CDOD=23，ODOC=35，进而得S△BDO=3，作DE⊥OB于点E，可证△ODE∽△OCB，从而S△ODES△OBC=(ODOC)2=925，可得S△ODE=95，然后根据k的几何意义即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，以及三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

16.【答案】152 
【解析】解：作HK//CG交AB于点K，

∴BKKG=BHCH，AGKG=ANNH．
∵H是BC的中点，
∴BH=CH，
∴BK=KG，
∴HK=12CG=3．
∵AH⊥CG，
∴∠ANC=∠HNC=∠ANG=90°．
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACN=∠HCN．
∵CN=CN，
在△ACN与△HCN中，
∠ACN=∠HCNCN=CN∠ANC=∠HNC，
∴△ACN≌△HCN(ASA)，
∴AN=HN，
∴AG=KG，
∴AG=KG=BG，
∵HK//CG，
∴∠KHA=∠ANG=90°，
∴AK= AH2+HK2=5，
∴AG=52，
∴AB=152．
故答案为：152．
作HK//CG交AB于点K，由平行线分线段成比例定理可证AG=KG=BG，根据勾股定理求出AK的长，进而可求出AB的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，证明AG=KG=BG是解答本题的关键．

17.【答案】sin30°=ba或b≥a 
【解析】解：如图所示：

若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥AB时，即sin30°=ba；②当b≥a时．
故答案为：sin30°=ba或b≥a．
首先画BC=a，再以B为顶点，作∠ABC=30°，然后再以点C为圆心、b为半径画圆弧交AB于点A，然后连接AC即可，①当AC⊥AB时，②当b≥a时三角形只能作一个．
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．

18.【答案】2 2 
【解析】解：如图，连接AC、BD相交于点O，连接OF、AF、CH，BH，
∵点F是BE上的中点，∠DAB=90°，
∴AF=EF=BF=12BE，
又∵在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴OF垂直平分AB，
∴∠BOF=12∠AOB=45°，
由旋转可知，FH=EF，∠EFH=90°，
∴∠HFB=90°，HF=BF，
∴△BFH是等腰直角三角形，
∴BH= 2BF，∠FBH=45°，
∵在正方形ABCD中，BC= 2OB，∠CBD=45°，
∴HBFB=CBOB= 2，∠HBC=∠FBO，
∴△HBC∽△FBO，
∴∠BCH=∠BOF=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴点H在AC上，
∴当DH⊥AC时，DH的值最小，此时O、H重合，则DC= 2DO，
∴DO=DC 2=4 2=2 2，
∴DH的最小值为：2 2，
故答案为：2 2．

连接AC、BD相交于点O，连接OF、AF、CH，BH，根据直角三角形的性质可得AF=EF=BF=12BE，再由正方形的性质可得OA=OB，∠AOB=90°，从而可证OF垂直平分AB，即∠BOF=12∠AOB=45°，再根据旋转的性质可得FH=EF，∠EFH=90°，从而可得△BFH是等腰直角三角形，即BH= 2BF，∠FBH=45°，再由正方形的性质可得BC= 2OB，∠CBD=45°，从而证明△HBC∽△FBO，可得当DH⊥AC时，DH的值最小，此时，O、H重合，则DC= 2DO，再进行计算即可．
本题考查正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．

19.【答案】解：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1
=[3a+1−(a−1)]÷(a−2)2a+1
=3−(a+1)(a−1)a+1÷(a−2)2a+1
=−a2+4a+1⋅a+1(a−2)2
=−(a+2)(a−2)a+1⋅a+1(a−2)2
=−a+2a−2，
a=(1−π)0−|−12|+2−1
=1−12+12
=1，
当a=1时，原式=−1+21−2=3． 
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，求出a的值后代入，即可求出答案．
本题考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

20.【答案】解：(1)30÷15%=200(名)．
答：本次调查了200名学生．
(2)由题意得C选项的学生人数为200×25%=50(人)，
即E选项的学生人数为200−30−60−50−40=20(人)，
补全统计图如下所示：

(3)1000×40200=200(名)．
∴估计该校选择D项目的学生共约有200名；
(4)列表如下：

男
女
女
男
————
(男，女)
(男，女)
女
(女，男)
————
(女，女)
女
(女，男)
(女，女)
————
由列表可得共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中一男一女的有4种结果．
∴P一男一女=46=23． 
【解析】(1)用A选项的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；
(2)先求出C选项的学生，再根据总数求出E选项的学生人数，再补全统计图即可；
(3)用1000乘以样本中D选项的人数占比即可得到答案；
(4)采用列表法即可求解．
本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键．

21.【答案】解：(1)设A，B两种型号的电风扇的销售单价分别为x元，y元，
根据题意得，3x+5y=18004x+10y=3100，
解得：x=250y=210．
答：A，B两种型号电风扇的销售单价分别为250元和210元．
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30−a)台，a为正整数，
根据题意得，(250−200)a+(210−170)(30−a)≥1455，
解得，a≥25.5，
∵a为正整数，
∴最小a=26．
答：至少采购A种型号的电风扇26台． 
【解析】(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据题意，列方程组求解即可；
(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30−a)台，所获得的总利润不低于1455元，列不等式求解即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．

22.【答案】解：(1)如图，过点D作DF⊥CE于点F，则∠CFD=∠EFD=90°，
由题意知，CD=100米，∠CDF=60°，∠EDF=45°，
在Rt△CDF中，∠CDF=60°，CD=100米，
∴CF=CD⋅sin∠CDF=100× 32=50 3(米)，
DF=CD⋅cos∠CDF=100×12=50(米)，
在Rt△DEF中，∠EDF=45°，DF=50米，
∴EF=DF⋅tan∠EDF=50×1=50(米)，
∴CE=EF+CF=(50+50 3)米，
答：展区C与展区E相距(50+50 3)米；
(2)如图，过点E作EG⊥AB于G，过点B作BH⊥CE于H，则∠EGB=∠EHB=90°，

由题意知，CE/​/AB，∠EAG=60°，∠CBH=45°，AE=50米，
∴∠EGB=∠EHB=∠HBG=90°，
∴四边形EGBH是矩形，
∴BH=EG，EH=BG，
在Rt△AGE中，EG=AE⋅sin∠EAG=50× 32=25 3(米)，
AG=AE⋅sin∠EAG=50×12=25(米)，
在Rt△CBH中，BH=EG=25 3米，则CH=BH⋅tan∠CBH=25 3(米)，
∴EH=CE−CH=50+50 3−25 3=(50+25 3)米，
∴AB=AG+BG=AG+EH=75+25 3≈118(米)，
答：展区A，B之间防空洞的长度为118米． 
【解析】(1)如图，过点D作DF⊥CE于点F，则∠CFD=∠EFD=90°，在Rt△CDF中和Rt△DEF中，利用锐角三角函数分别求得CF、DF、EF即可求解；
(2)如图，过点E作EG⊥AB于G，过点B作BH⊥CE于H，证明四边形EGBH是矩形，得到BH=EG，EH=BG，在Rt△AGE中和Rt△CBH中，利用锐角三角函数求得AG、EG、CH、EH，进而可求得AB．
本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，理解题意，添加辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数定义解决问题是解答的关键．

23.【答案】(1)证明：连接OC，如图，

∵CD=CB，
∴∠EAC=∠CAB，
∵EF⊥AD，
∴∠EAC+∠ACE=90°，
∵OC=OA，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴∠ACO+∠ACE=90°，即半径OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：连接BD，交OC于点G，如图，

∵AE⊥EF，OC⊥EF，
∴AE/​/OC，
∵O为AB为中点，
∴OG为△ABD中位线，
∴OG=12AD=3，DG=BG，
∴DG=BG=CE，DB⊥OC，GC=OC−OG=2，
∵AB=10，
∴OB=5，
∴BG= OB2−OG2=4，
∴DG=BG=4，
∵AE⊥EF，OC⊥EF，DB⊥OC，
∴四边形DECG是矩形，
∴DE=CG=2，EC=DG=4，
∴AE=8，
∴在△AEC中，AC= AE2+EC2=4 5． 
【解析】(1)连接OC，利用CD=BC，可得∠EAC=∠CAB，根据EF⊥AD，可得∠EAC+∠ACE=90°，再根据OC=OA，可得∠EAC=∠OCA，即有∠ACO+∠ACE=90°，问题随之得证；
(2)连接BD，交OC于点G，先证明OG为△ABD中位线，即OG=12AD=3，DG=BG，进而有DG=BG=CE，DB⊥OC，GC=OC−OG=2，利用勾股定理可得BG= OB2−OG2=4，即DG=BG=4，再证明四边形DECG是矩形，即有DE=CG=2，EC=DG=4，在△AEC中，利用勾股定理可作答．
本题考查了切线的判定，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，构筑辅助线，并掌握以上知识是解题的关键．

24.【答案】解：(1)当0≤x≤20时，y=120；
当x>20时，设y=kx+b，
把(20,120)和(32,96)代入得：20k+b=12032k+b=96，
解得：k=−2b=160，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−2x+160；
∵旅行社规定团队人均报名费用不能低于84，
当y≥84时，−2x+160≥84，
解得x≤38，
∴y与x之间的函数关系式为：y=120(0≤x≤20)y=−2x+160(20 (2)设该旅行社收到的总报名费w元，
当0≤x≤20时，
w=xy=120x，
∵120>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w取得最大值为120×20=2400元；
当20 w=xy
=x(−2x+160)
=−2x2+160x
=−2(x2−80x+1600−1600)
=−2(x−40)2+3200，
∵−2<0，
∴x<40，w随x的增大而增大，
∴x=38时，w有最大值为：−2(38−40)2+3200=3192，
∵2400<3192，
∴当一个团队有38人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3192元． 
【解析】(1)分0≤x≤20和x>20两种情况求解即可；
(2)设该旅行社收到的总报名费w元，分两种情况列出w与x的函数关系式求解即可．
此题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题关键．

25.【答案】解：(1)结论：GH//AF，GH=12AF，
理由：由题意，当点E与点B重合时，点F与点D重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BG=GD，即BG=GF，
又H为边AB的中点，
∴GH为△ABF的中位线，
∴GH/​/AF；
(2)(1)中的结论成立，即GH//AF，GH=12AF．
证明：在图2中，连接BD交AC于O，连接DF，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD，AD//BC，AD=AB，OB=OD，
∴∠BAD=180°−∠ABC=120°，则∠ADB=∠ABD=30°，
由旋转性质得AF=AE，∠EAF=120，
∴∠FAD=∠EAB=120°−∠DAE，
在Rt△AFD和Rt△AEB中，
AD=AB∠FAD=∠EAB=120°AF=AE，
∴Rt△AFD≌Rt△AEB(SAS)，
∴∠ADF=∠ABE=60°，则∠FDB=∠ADF+∠ADB=90°，
∴∠FDB=∠AOB=90°，
∴OG//DF，又OB=OD，
∴BGGF=OBOD=1，则BG=GF，
∵H为边AB的中点，
∴GH为△ABF的中位线，
∴GH/​/AF，GH=12AF；
(3)解：在图2中，过A作AM⊥BC于M，连接DF，则∠AMB=90°，

在Rt△ABM中，AB=6，∠ABM=60°，
∴BM=AB⋅cos60°=6×12=3，AM=AB⋅sin60°=6× 32=3 3，
在Rt△AME中，ME=BM−BE=1，
∴AE= AM2+ME2= (3 3)2+12=2 7，
由(2)知Rt△AFD≌Rt△AEB，
∴AF=AE=2 7，
∴GH=12AF= 7． 
【解析】(1)利用菱形的性质和三角形的中位线性质求解即可；
(2)成立，证明过程可根据菱形的性质证明Rt△AFD≌Rt△AEB(SAS)得到∠ADF=∠ABE=60°，进而可证明OG/​/DF得到BG=GF，进而得到GH为△ABF的中位线，利用三角形的中位线性质可得出结论；
(3)过A作AM⊥BC于M，连接DF，则∠AMB=90°，在Rt△ABM中，利用锐角三角函数求得BM=3，AM=3 3，在Rt△AME中，利用勾股定理求得AE=2 7，再由Rt△AFD≌Rt△AEB得到AF=AE=2 7，进而由GH=12AF求解即可．
本题考查了菱形的性质、三角形的中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、锐角三角函数、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形的中位线性质是解答的关键．

26.【答案】解：(1)∵直线y=43x−4交y轴于点C，
∴C(0,−4)，
∵抛物线y=14x2+bx+c经过点A(−2,0)和点C，
∴14×(−2)2−2b+c=0c=−4，
解得b=−32c=−4，
∴抛物线的解析式为y=14x2−32x−4；
(2)在直线y=43x−4中，由y=43x−4=0得x=3，
∴D(3,0)，
又∵A(−2,0)，C(0,−4)，
∴AD=5，OC=4，则S△ACD=12AD⋅OC=12×5×4=10，
∵S△PED−S△ACE=(S△PED+S△CED)−(S△ACE+S△CED)=S△PCD−S△ACD=13，
∴S△PCD=13+S△ACD=23，
设P(m,14m2−32m−4)，m<0，
如图，过P作PQ/​/y轴交直线y=43x−4于点Q，

则Q(m,43m−4)，
∴PQ=14m2−32m−4−(43m−4)=14m2−176m，
∵S△PCD=S△PQD−S△PQC=12PQ(xD−xP)−12PQ(xC−xP)=32PQ，
∴32(14m2−176m)=23，
解得：m1=−4，m2=463(不合题意，舍去)，
∴14m2−32m−4=6，
∴P(−4,6)；
(3)存在点P，使∠CPF=12∠CDO．
如图2，连接BC，由y=14x2−32x−4=0得x1=−2，x2=8，
∴B(8,0)，则OB=8，
∵C(0,−4)，D(3,0)，
∴OD=3，OC=4，
∴CD= OD2+OC2=5，BD=OB−OD=5，
∴BD=CD，则∠DCB=∠DBC=12∠CDO，
∵∠CPF=12∠CDO，
∴∠CPF=∠DBC，
在Rt△BOC中，tan∠OBC=OCOB=12，则tan∠CPF=12，
①当P在直线CD下方时，如图，过D作DM⊥CD交CP延长线于M，则DM//PF，

∴∠DMC=∠CPF，则tan∠DMC=CDDM=12，
过M作MN⊥x轴于N，则∠COD=∠MND=∠CDM=90°，
∴∠CDO=∠DMN，
∴△COD∽△DNM，
∴OCDN=ODMN=CDDM=12，则DN=8，MN=6，ON=OD+DN=11，
∴M(11,−6)，
设直线CM的解析式为y=kx+b，
则11k+b=−6b=−4，解得k=−211b=−4，
∴直线CM的解析式为y=−211x−4，
由14x2−32x−4=−211x−4得x1=5811，x2=0(舍去)，
则点P的横坐标为5811；
②当P在直线CD上方时，如图，过D作DM⊥CD交CP延长线于M，过M作MN⊥x轴于N，则∠COD=∠MND=∠CDM=90°，

与①同理，得tan∠DMC=tan∠CPF=CDDM=12，△COD∽△DNM，
∴OCDN=ODMN=CDDM=12，则DN=8，MN=6，ON=DN−OD=5，
∴M(−5,6)，
设直线CM的解析式为y=k′x+b′，
则−5k′+b′=6b′=−4，
解得k′=−2b′=−4，
∴直线CM的解析式为y=−2x−4，
由14x2−32x−4=−2x−4得x1=−2，x2=0(舍去)，
则点P的横坐标为−2，
综上，满足条件的点P的横坐标为5811或−2． 
【解析】(1)先由直线y=43x−4求得点C坐标，再利用待定系数法求解即可；
(2)先求得点D(3,0)，进而求得S△ACD=10，由S△PED−S△ACE=(S△PED+S△CED)−(S△ACE+S△CED)=S△PCD−S△ACD=13得到S△PCD=13+S△ACD=23，设P(m,14m2−32m−4)，m<0，过P作PQ/​/y轴交直线y=43x−4于点Q，则Q(m,43m−4)，PQ=14m2−176m，由S△PCD=S△PQD−S△PQC=32PQ列方程求得m即可；
(3)连接BC，易求得∠CPF=∠DBC，在Rt△BOC中，tan∠OBC=OCOB=12，则tan∠CPF=12，分①点P在直线CD下方时，②点P在直线CD上方时，分别画出对应图形，利用相似三角形的判定与性质求得点M的坐标，进而求得直线CM的解析式，与抛物线解析式联立方程组求解即可．
本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交点问题、坐标与图形、三角形的面积公式、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，属于中考压轴题，添加常用辅助线，利用分类讨论和数形结合思想的运用是解答的关键．