【新高三摸底】2024届新高三-数学开学摸底考试卷（北京专用）

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2024届新高三开学摸底考试卷（北京专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．若，则复数z的虚部为（   ）
A．-5 B．5 C．7 D．-7
2．已知集合，，则（    ）
A． B．
C． D．或
3．设，则（    ）
A． B． C．1 D．2
4．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（   ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线
5．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（    ）
A． B． C． D．
6．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．已知函数则下列结论正确的是（    ）．
A．， B．，
C．函数在上单调递增 D．函数的值域是
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（    ）
A．10 B．12 C．13 D．15
9．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（    ）
A． B． C． D．
10．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（    ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.
12．如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________．
  
13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
  
根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．
14．已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是____.
15．在数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：
①对任意的，都有
②数列不可能为常数列
③若，则数列为递增数列
④若，则当时，
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．的内角的对边分别为，，且______．
在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求的面积；
(2)若，求．




17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：

1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
第一轮测试成绩
96
89
88
88
92
91
87
90
92
90
第二轮测试成绩
90
90
91
88
88
87
96
92
89
92
(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；
(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，考核成绩的平均数和方差分别为，试比较与与的大小.（只需写出结论）




18．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.




19．已知椭圆过点，长轴长为.
(1)求椭圆的方程及其焦距；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.




20．已知函数.
(1)若，求在处切线方程；
(2)求的极大值与极小值；
(3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点.




21．已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.
设.例如当时，，，，所以.
(1)若，求的值；
(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；
(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.