【新高三摸底】2024届新高三-数学开学摸底考试卷（九省新高考通用）02

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2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）02
数 学
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解.
【详解】由题意可得：
所以.
故选：D.
2．已知复数满足，则（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算可得，结合共轭复数可得，进而可求模长.
【详解】由题意可得：，
则，
所以.
故选：B.
3．“”是“函数在区间上为减函数”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】求出函数在区间上为减函数的的取值范围，结合与的关系求出答案
【详解】的图象如图所示，
要想函数在区间上为减函数，必须满足，
因为是的子集，
所以“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件.

故选：A
4．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解法1：把位置依次标为1，2，3，4，5，6．总的排法是先排2个0，再排4个1，有1种排法，2个0不相邻排法是先排4个1，再从5个空中选2个空插入2个0，然后利用古典概型的概率求解；解法2：先排4个1，再从5个空中选2个空插入2个0，总排法为2个0相邻和不相邻，然后利用古典概型的概率求解.
【详解】解法1：把位置依次标为1，2，3，4，5，6．
总的排法：先排2个0，有种排法，再排4个1，有1种排法，故共有15种排法．
满足题意的排法：先排4个1，有1种排法，其间有5个空，选2个空插入2个0，2个0不相邻的排法有种，∴2个0不相邻的概率为，
故选：C．
解法2：先排4个1，有1种排法，其间有5个空，选2个空插入2个0．
若2个0相邻，则将其视为“一个元素”，有种排法；若2个0不相邻，则有种排法，
∴2个0不相邻的概率为，
故选：C．
5．已知平面向量，，向量与的夹角为，则（    ）
A．2或 B．3或 C．2或0 D．3或
【答案】A
【分析】利用向量的模的坐标公式求，，根据数量积的坐标公式求，结合夹角公式列方程求
【详解】因为，，
所以，，
所以，
，
又向量与的夹角为，
所以，
所以，
所以或，
故选：A.
6．已知双曲线的上､下焦点分别为，，过的直线与双曲线的上支交于M，N两点，若，，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据，，成等差数列，并结合双曲线的定义得到，再设，在中利用勾股定理得到，进而在中利用勾股定理得到，从而得到双曲线的离心率.
【详解】由双曲线的定义知，，
∴，
∵，∴，
令，则，
在中，，∴，
解得，∴，，
所以在中，，
∴，∴.
故选：B

7．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的坐标运算求得，进而结合二次函数性质求得，利用三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】以点为空间直角坐标系的原点，分别以，，所在直线为，，轴，
建立空间直角坐标系，

则点，，所以．
因为，，所以,
因为，所以，所以．
因为，所以，
所以,因为，
所以当时，．
因为正方体中，平面，平面,故，
所以，
故选：B．
8．若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得在上恒成立，构建，结合定点分析运算.
【详解】因为，则，
由题意可得在上恒成立，
构建，则，
注意到，则，解得，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
若，因为，则，
可得；
若，因为，则，
可得；
综上所述：当时，在上恒成立，
则在上单调递增，可得，符合题意；
故实数m的取值范围为.
故选：D.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若函数y＝f（x）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f（x）为“t型函数”，下列函数中为“2型函数”的有（    ）
A．y＝x﹣x3 B．y＝x+ex C．y＝sinx D．y＝x+cosx
【答案】CD
【分析】首先求函数的导数，结合“型函数”的定义，判断是否得到相应的点，即得答案.
【详解】对于A，函数的导数y′＝1﹣3x2，由1﹣3x12+1﹣3x22＝2，
得3x12+3x22＝0，得x1＝x2＝0，故A不是“2型函数”；
对于B，y＝x+ex的导数为y′＝1+ex，可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于2，故B不是“2型函数”；
对于C，y′＝cosx，由cosx1+cosx2＝2，得cosx1＝cosx2＝1，可取x1＝0，x2＝2π，故C是“2型函数”；
对于D，y＝x+cosx的导数为y′＝1﹣sinx，若1﹣sinx1+1﹣sinx2＝2，即sinx1＝﹣sinx2，
此时有无数多个解，故D是“2型函数”．
故CD是“2函数”．
故选：CD．
【点睛】关键点点睛：本小题主要考查对于新定义的概念的理解,考查函数导数的求解公式,.对于新定义题目的求解,主要通过理解新定义中蕴含的新的数学知识,本题中需要切线的斜率之和等于,故将题目所给函数求导后,利用导数和的大小来确定选项.
10．下列在(0，2π)上的区间能使cosx>sinx成立的是（    ）
A．(0，) B．(，)
C．(，2π) D．(，)∪(π，)
【答案】AC
【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，用图像法解.
【详解】
在同一平面直角坐标系中画出y=sinx和y= cosx的图象，在(0，2π)上，当cosx＝sinx时，x＝或x＝，结合图象可知满足cosx>sinx的是(0，)和(，2π).
故选：AC．
【点睛】方法点睛：解不等式的常见类型：
(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法；
(2)指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；
(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性；
(4)三角函数型不等式用图像法.
11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据为奇函数可得，根据的图象关于y轴对称可得，两个等式两边同时取导数，可得、，对x赋值，结合选项即可求解.
【详解】因为为奇函数，定义域为R，所以，
故，
等式两边同时取导数，得，即①，
因为的图象关于y轴对称，则，故
，
等式两边同时取导数，得②.
由，令，得，解得，
由，令，得，
由②，令，得，
令，得，解得，
故选：ABD.
12．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（    ）
A．
B．当时，取得最小值
C．当时，n的最小值为7
D．当时，取得最小值
【答案】ABD
【分析】对于A，由变形求得，利用累加法求得，进而求得，求出，即可判断；对于B，判断的单调性，即可判断；对于C，判断单调递增，并计算的值，即可判断；对于D，根据，的值的正负以及单调性，判断的值正负以及单调性，即可判断.
【详解】由得，
∴，
累加得，，
故，当时，满足上式，
∴，
当时，，∴，故选项A正确；
由于函数 ，其图象对称轴为，当时函数递增，
故当时，单调递增，又，
∴单调递增，且，
∴当时，单调递减，当时，单调递增，且，
∴当时，取得最小值，故选项B正确；
当时，单调递增，又，
∴当时，n的最小值为8，故选项C错误；
当时，；当时，；当时，，
∴当时，考虑的最小值，
又当时，恒为正且单调递减，恒为负且单调递增，
∴单调递增，∴当时，取得最小值，故选项D正确，
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是______．
【答案】
【分析】根据复数对应的点,应用两点间距离公式求解即可.
【详解】复数对应点,复数对应点，
则.
故答案为：
14．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有___________种.(用数字作答)

【答案】20
【分析】只需从6个位置中选取3个位置放置阳爻，则问题得解.
【详解】根据题意，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，
假设有6个位置，在其中任选3个，安排3个“阴爻”，有种情况，
即该重卦可以有20种情况，
故答案为：20.
15．​的外心为​，三个内角​所对的边分别为​，​.则​面积的最大值为____________.
【答案】12
【分析】由平面向量的数量积结合已知可得，再由余弦定理求得,进而求得，由余弦定理及基本不等式求得ac的最大值，则面积的最大值可求.
【详解】设的中点为，如图所示，

的外心为，
则，



，整理得
，则，
又，
当且仅当，等号成立.

故答案为：12.
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设、为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；
③抛物线的焦点坐标是；
④曲线与曲线（且）有相同的焦点.
其中真命题的序号为______写出所有真命题的序号.
【答案】③④
【分析】根据双曲线的定义判断①，根据相关点法求轨迹方程判断②，根据抛物线焦点的求法判断③，根据椭圆、双曲线的几何性质判断④.
【详解】①，当时，点的轨迹不存在，所以①错误.
②，设，由于，所以，是线段的中点，所以，设圆的方程为，将的坐标代入圆的方程得，整理得，这不是椭圆方程，所以②错误.
③，由得，所以抛物线焦点坐标为，③正确.
④，表示双曲线，其焦点在轴上，且.当时，可化为，表示双曲线，其焦点在轴上，且.当时，表示椭圆，其焦点在轴上，且.所以④正确.
故答案为：③④

四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17．在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示结合余弦的二倍角公式即可求解；
（2）利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，
所以，
又因为，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）可知，，
所以，，
所以由三角函数的定义可得，，
，，
所以.
18．已知数列是递增的等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设该等比数列的公比为q，由等比数列通项公式结合{a}是递增的等比数列可得通项公式；
（2）由（1）可得，后可得，利用裂项相消法可得答案.
【详解】（1）根据题意，设该等比数列的公比为q，
若，
则有或或.
又由数列{a}是递增的等比数列，则，则有，
则数列{a}的通项公式；
（2）由（1）可得，则，
则，
则

19．如图，在四棱锥中，且，其中为等腰直角三角形，，且平面平面.

(1)求的长；
(2)若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题目中的垂直条件结合平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理把放到一个直角三角形中，从而可求长度.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用求平面与平面夹角的方法列式即可求解.
【详解】（1）取的中点，则，
又平面平面，平面平面平面，
平面，平面，
，
，平面，
平面，平面，
，
又.
（2）在平面内过作的垂线
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，
，
设平面的法向量为，
，取.
设，
设平面的法向量为，
，
平面与平面夹角的余弦值是，
，
，
或（舍），
.
20．已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意和椭圆的定义即可求解；
（2）首先求出直线的方程，以及点的坐标，讨论直线的斜率存在与否，当斜率存在时，设直线的方程为，联立解方程组求出，根据的面积是面积的倍，化简可以得到，进一步求出斜率，从而得出答案.
【详解】（1）因为点为线段的垂直平分线与半径的交点，
所以，所以，
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中，
所以曲线的方程为．
（2）由已知得，所以直线的方程为，所以点的坐标为．
当直线的斜率不存在时，，或都与已知不符；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
易知，则，
，
由的面积是面积的倍可得，
化简得，即，
又，所以，即，也就是，
所以，
解得，
所以直线的方程为．
  
21．已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)证明：当时，在上恒成立.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)证明见解析

【分析】（1）求得，令，求得，结合，得到函数的单调性，进而求得极值；
（2）由，根据题意，由且，放缩得到，令，求得，得出函数单调性，结合单调性求得，得出，即可得证.
【详解】（1）解：由函数，可得定义域为，
且，
令，可得，所以单调递增，
又因为，
所以当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）解：由，
因为且，
可得
令，
可得，
因为，即或，
又因为方程的两根都是负数根（舍去），
所以，可得
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，同时也为在上的最小值，
即，所以，
所以，所以，    
故当时，在恒成立.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
22．已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意结合等差、等边数列的通项公式列式求解即可；
（2）利用分组求和，结合裂项相消法和错位相减法运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
当为奇数时，则，
设，
则，
两式相减得
，
所以；
当为偶数时，则，
设，
所以；
综上所述：，
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：