【新高三摸底】2024届新高三-数学开学摸底考试卷01（新高考专用）

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2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）01
数学·参考答案

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
A
D
C
B
D
BC
BC
BD
BCD
13．36
14．
15．
16．
17．(1)
(2).
【详解】（1）由正弦定理得，所以
，
得，因为，所以，
得，又，
所以．
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，
得，
所以的周长为．

18．(1)  略  (2)
【解析】(1),为的中点,,
      ,,
      四边形为平行四边形,.
      ,.
      ,,.
       又平面平面,平面平面,
      平面,.又,平面.
      平面,平面平面.
       (2)由(1)可知平面.如图,以为原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
      
       则,,,,,
      ,,,,
      .
       设,则,且,得,
      .
       设平面的法向量为,
       则,即,
       令,则,,
      平面的一个法向量为.
       设平面的法向量为,
       则,即
       令,则,,
      平面的一个法向量为.
      平面与平面所成的锐二面角的大小为,
      ,
      .
      .
       即当时,平面与平面所成的角大小为
19．【答案】(1)a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增
(2)见解析
【详解】(1)解　函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)<0，解得x 即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)证明　当a＝1时，g(x)＝，
当x>0时，>1⇔ex>1＋x＋⇔<1，
令F(x)＝－1，x>0，F′(x)＝<0恒成立，则F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
F(x) 所以当x>0时，g(x)>1，即原不等式得证．

20．【答案】(1)
(2)
【详解】（1））因为，所以，
所以.
所以.
则数列的通项公式为.
（2）因为数列是以首项为，公比为4等比数列.
所以.
因为数列是等差数列，所以.
化简得.
因为，所以，即.
所以.
因为，所以数列是以为首项．4为公比的等比数列
所以.
所以.
则数列的前n项和为：.


21．【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利
【详解】（1），即采用3局2胜制，所有可能取值为，
，
的分布列如下表：

2
3



所以的数学期望为.
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：

，

，
得.
（ii）由（i）知.
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
则局比赛中甲至少赢局的概率为.
考虑局比赛的前局：
如果这局比赛甲至少赢局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场至少赢一局，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场都赢，其概率为，
因此局里甲最终获胜的概率为：，

因此，即数列单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.

22．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为线段的垂直平分线交半径与点，
所以，
所以是定值，，
所以点轨迹为椭圆，其长轴为4，焦距为2，
所以的轨迹的方程.
（2）解法一
设.由已知得：直线的方程为；
设，.由已知得：直线的方程为
又因为AC、BD斜率之积为，所以，
由得，即，
所以，
.
故
同理联立BD与椭圆方程，可得，
所以，
故
设分别为点到直线的距离，
则.
又在直线在异侧，则


所以，
令
易知，所以，
所以
解法二
设，所以，设圆心为，
因为直线的斜率之积为，
所以，
设直线方程，
点到的距离为，
所以，
同理，
设四边形面积为，
则，
令，则，
所以，
所以，
设四边形面积为S，因为，
所以.