121，北京市八一学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题

这是一份121，北京市八一学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题，共25页。试卷主要包含了02， 已知集合，则， 已知复数满足，则复数的虚部为， 某中学举行了科学防疫知识竞赛等内容，欢迎下载使用。

2024.02
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】联立，解得或，
所以.
故选：D.
2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数运算可求得，根据虚部定义可得到结果.
【详解】由得：，的虚部为.
故选：C.
3. 已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 【解析】
【分析】利用二倍角公式化简，由正弦型函数最值和最小正周期求法可求得结果.
【详解】，，最小正周期.
故选：A.
4. 已知数列的前n项和，则（ ）
A. 3B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由，可得时，.即可得出结论.
【详解】由数列的前n项和，
当时，，
则.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中熟记数列和的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
5. 已知实数，，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，及特殊值，逐一分析选项即可.
【详解】对于A：当时，不成立，所以A错误；
对于B：由指数函数图象与性质得，其在是减函数，
，，所以B正确；
对于C：当时，不成立，所以C错误；
对于D：幂函数在 单调递减，而，
所以，所以D错误.
故选：.
【点睛】本题考查指数函数和幂函数的单调性应用，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
6. 已知A，B分别为x轴，y轴上的动点，若以AB为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由O向直线作垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆的半径最小，此时圆的直径为O（0,0）到直线的距离，由此能求出圆面积的最小值.
【详解】设线段AB的中点为C，故点C为所求圆的圆心，作CE垂直直线于点E，如图所示，坐标原点为O，圆的半径为r，则，
过点O作OD垂直直线于点，交AB于点，
则当为线段OD的中点且为线段AB的中点时，所求圆以为圆心，半径最小，即面积最小.
AB为直径的圆，由，∴O点必在圆上，如图所示，
由O向直线作垂线，垂足为D，当D恰为圆与直线的切点时，圆的半径最小，此时圆的直径为O（0,0）到直线的距离
∴此时圆的半径，圆面积最小值
故选：A．
7. 已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.
【详解】
由知，
所以，
∵，∴，∴，
∵，∴的离心率是.
故选：A.
8. 设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，转化为在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】由题意“”是“”的充分不必要条件，
所以不等式在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最小值，所以．
故实数的取值范围是为．
故选：B.
9. 正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
以为坐标原点，以分别为轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，设，，
则，则，
因为平面，所以，
即，解得，
所以，所以，
又，所以当时，即是的中点时，取得最小值，
当或，即与点或重合时，取得最大值，
所以线段长度的取值范围为.
故选：C
10. 某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名得分依次为a，b，c（，且a，b，）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A. 每场比赛的第一名得分a为4
B. 甲至少有一场比赛获得第二名
C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名
D. 丙至少有一场比赛获得第三名
【答案】C
【解析】
【分析】根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决.
【详解】∵甲最后得分为16分，
∴，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则，则，而，则，
又，，此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则，则，
由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则，则，
由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则，此时显然，，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共分，
丙的得分情况为4场第二名，则，即，此时符合题意.
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名.
故选：C.
【点睛】本题考查了学生的逻辑推理能力和阅读理解能力，属于中档题.
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若二项式展开式中的系数为10，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出展开式的通项，再令的指数等于，进而可得出答案.
【详解】的展开式的通项为，
令，得，
所以的二项式展开式中的系数为，解得.
故答案为：.
12. 关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围__________.
【答案】
【解析】
【分析】把不等式化为 , 讨论 和 时, 求出不等式的解集, 即可得出满足题意 的取值范围.
【详解】关于的不等式 可化为 ,
当 时, 解不等式得 ,
当 时, 解不等式得 ,
因为不等式的解集中至多包含 1 个整数,
所以 或 ,
当 时，不等式的解集为 ，也满足题意；
所以 的取值范围是 .
故答案为:.
13. 如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值.
【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，，
故
，
因，所以，
故当，时，取得最小值，最小值为.
故答案为：
14. 已知函数定义域为，设若，且对任意，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得恒成立，由绝对值不等式的性质和参数分离，代入计算，即可得到结果.
【详解】若，且对任意，可得恒成立，
即，即，可得，
即，且，所以.
即实数的取值范围为.
故答案为：
15. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论：
①的蒙日圆的方程为；
②在直线上存在点，椭圆上存在，使得；
③记点到直线的距离为，则的最小值为；
④若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为.
其中所有正确结论的序号为__________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】由在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得关系，由此可知①正确；由过且在蒙日圆上，可知当恰为切点时，，知②正确；根据椭圆定义可将转化为，可知时，取得最小值，由点到直线距离公式可求得最小值，代入可得的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确．
【详解】对于①，过可作椭圆两条互相垂直的切线：，
∴在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为，
由，得，
∴的蒙日圆方程为，故①正确；
对于②，由方程知：过，
又满足蒙日圆方程，∴在圆上，
当恰为过作椭圆两条互相垂直切线的切点时，，故②正确；
对于③，∵在椭圆上，∴，
∴，
当时，取得最小值，最小值为到直线的距离，
又到直线的距离，
∴，故③错误；
对于④，当矩形的四条边均与相切时，蒙日圆为矩形的外接圆，
∴矩形的对角线为蒙日圆的直径，
设矩形的长和宽分别为，则，
∴矩形的面积，当且仅当时取等号，
即矩形面积的最大值为，故④正确.
故答案为：①②④．
【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）和面积的值．
条件①: ；条件②:.
【答案】（1）选①： ；选②：0
（2）选①： ；选②：
【解析】
【分析】（1）根据条件可求出或，若选①，可推出，从而确定求得答案；若选②，可推出 且，说明A为最大角，由此求得答案，
（2）根据（1）的结果，再利用正弦定理以及三角形面积公式可求得结果；
【小问1详解】
若选①：
在中，,
即，而 ，故 或，
则或，
因为，故 ,
所以；
若选② ：在中，,
即，而 ，故 或，
则或，
由得： 且 ，故A为最大角，
故 ,
所以；
【小问2详解】
若选①：
由正弦定理得： ,则 ,
由知： ， ，
故 ,则 ，
所以 ， ；
若选②：，由正弦定理得： ,
故 ,而 ,故 ,
所以 , .
17. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，.
（1）证明：；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得，由平面得，从而平面，进而得出结论；
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解；
（3）设，则，求得，设直线与平面所成角为，由题意，列式求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，∴，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，∴.
【小问2详解】
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
,
设平面的法向量为，
由，令，则，，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
∴，
∴平面和平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
设，则，
设，则，得，
∴，，
平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
由题意，，
∴，此方程无解，
∴在线段上是不存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
18. 为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.
（1）从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；
（3）根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）有效，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（2）分析可知变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值；
（3）求出满足的成绩有人，求出，即可得出结论.
【小问1详解】
解：设该名学生的考核成绩优秀为事件，
由茎叶图中的数据可知，名同学中，有名同学的考核成绩为优秀，故.
【小问2详解】
解：由可得，
所以，考核成绩满足的学生中满足的人数为，
故随机变量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，.
【小问3详解】
解：由可得，由茎叶图可知，满足的成绩有个，
所以，因此，可认为此次冰雪培训活动有效.
19. 已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是，定点为
【解析】
【分析】（1）根据四边形是面积为2的正方形，得到，，求出椭圆方程；
（2）考虑当直线的斜率不存在和直线的斜率为0时两种情况下，得到以为直径的圆的方程，得到两圆都经过点，从而考虑直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，计算出，得到圆过原点，得到答案.
【小问1详解】
因为四边形是面积为2的正方形，
所以，，
故，且，解得，，
则所求方程为：；
【小问2详解】
（i）当直线的斜率不存在时，
因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为.
代入椭圆方程可得，可得，
则以为直径的圆的方程为.
（ii）当直线的斜率为0时，
因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为.
代入椭圆方程可得，可得，
则以为直径的圆的方程为.
显然以上两圆都经过点.
（iii）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为.
代入椭圆方程消去，得，

设，则.
所以.
所以①，
因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离，整理得②，
将②代入①，得，显然以为直径的圆经过原点，
综上可知，以为直径的圆过定点.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中探究性问题解题策略：
（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；
（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可.
20. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：对任意成立.
【答案】（1）； （2）见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）先求导数得到切线斜率，再求解切线方程；
（Ⅱ）通过求解的最小值来比较大小.
【详解】（Ⅰ）因为
所以
当时，
所以，而
曲线在处的切线方程为
化简得到
（Ⅱ）法一：
因为，令
得
当时，，，在区间的变化情况如下表:
所以在上的最小值为中较小的值，
而，所以只需要证明
因为，所以
设，其中，所以
令，得，
当时，，，在区间的变化情况如下表:
所以在上的最小值为，而
注意到，所以，问题得证
法二：
因为“对任意的，”等价于“对任意的，”
即“，”，故只需证“，”
设，所以
设，
令，得
当时，，，在区间的变化情况如下表:
所以 上的最小值为，而
所以时，，所以在上单调递增
所以
而，所以，问题得证
法三：
“对任意的，”等价于“在上的最小值大于”
因为，令
得
当时，，，在上的变化情况如下表:
所以在上的最小值为中较小的值，
而，所以只需要证明
因为，所以
注意到和，所以
设，其中
所以
当时，，所以单调递增，所以
而
所以，问题得证
法四：
因为，所以当时，
设，其中
所以
所以，，的变化情况如下表:
所以在时取得最小值，而
所以时，
所以
【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数证明不等式.曲线的切线问题一般是先求斜率，结合切点可得切线方程，不等关系的证明一般是利用导数求解最值.
21. 已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；
（Ⅱ）设集合，.
（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记和分别表示集合A，B中不大于n（）的元素个数，写出满足的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）
【答案】（Ⅰ），；见解析（Ⅱ）（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（Ⅰ）由a为奇数，b为偶数，可得为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合；
（Ⅱ）（ⅰ）对任意的非零自然数，必存在，使得，从而可根据构造集合，可证集合恰好表示从中每一个整数，再结合“完美加法补集”的定义可证集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）根据集合A，B的定义可求足的元素n的集合.
【详解】（Ⅰ）由，得是奇数，
当，时，，
所以，；
（Ⅱ）（ⅰ）对任意的非零自然数，必存在，使得，
考虑集合，
则该集合中共有个元素，且它们均大于等于，
其中最大元素为，最小元素为，
故该集合恰好表示从中每一个整数，而，
故，故存在唯一一组，
使得，
若为偶数，则设，，
此时，故，
若为奇数，则设，，
此时，故，
故，即集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）因此，故存在，使得.
若为偶数，则中不大于的元素的形式有：
，其中;
中不大于的元素的形式有1类：
，其中;
下证：诸元素（）相异.
设，
其中，
则，
若，则为奇数，
因为必为偶数，
故不成立，
所以，
所以，
同理可得，依次有，
所以，故结论成立.
由上述结论可得中不大于的元素有，同理中不大于的元素有.
故即.
当为奇数时，同理可得.
因，故.
故满足的元素n的集合为.
【点睛】本题考查集合的新定义，以及其性质的探索，关键在于理解集合的新定义，运用整数集上的性质得证，属于难度题.0
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极大值
极小值
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极小值
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极小值
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极大值
极小值
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