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    高中数学(人教A版)必修第二册:6.2.4_向量的数量积的物理背景和数量积_教学设计
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    人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案设计

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算教案设计,共6页。教案主要包含了预习课本,引入新课,新知探究,典例分析,课堂小结,板书设计,作业等内容,欢迎下载使用。

    6.2.4 向量的数量积教学设计
    第一课时 向量的数量积的物理背景和数量积

    本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律.

    课程目标
    1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义;
    2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算;
    3.体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
    数学学科素养
    1.数学抽象:数量积相关概念的理解;
    2.逻辑推理:有关数量积的运算;
    3.数学运算:求数量积或投影;
    4.数学建模:从物理问题抽象出数学模型,数形结合,运用数量积解决实际问题.

    重点:平面向量数量积的含义与物理意义;
    难点:平面向量数量积的概念.

    教学方法:以学生为主体,小组为单位,采用诱思探究式教学,精讲多练。
    教学工具:多媒体。

    一、 情景导入
    问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?
    问题2:两个向量之间能进行乘法运算吗?物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算?
    要求:让学生自由发言,教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
    二、预习课本,引入新课
    阅读课本17-21页,思考并完成以下问题
    1、怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?
    2、向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?
    3、向量数量积的性质有哪些?
    4、向量数量积的运算律有哪些?
    要求:学生独立完成,以小组为单位,组内可商量,最终选出代表回答问题。
    三、新知探究
    1、向量的夹角:
    已知两个非零向量a与b,作=a,=b,∠AOB= θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角。
    当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;
    当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b。
    规定:零向量可与任一向量垂直。
    2、射影的概念
    叫作向量b在a方向上的射影。
    注意:射影也是一个数量,不是向量。
    3、数量积的定义:
    已知两个向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量︱a︱·︱b︱叫做a与b的数量积(或内积),记作:a·b,即:a·b= ︱a︱·︱b︱
    注意 a∙b不能写成a×b或ab的形式
    数量积的几何意义:数量积a∙b等于a的长度︱a︱与b在a方向上投影的乘积,或b的长度b与a在b方向上投影的乘积。
    数量积的物理意义:力F与其作用下物体位移s的数量积
    4、向量数量积的性质
    1e是单位向量,a∙e=e∙a=acosθ;
    2θ=90°⟺a⊥b⟺a∙b=0;
    3a//b⟺a∙b=±|a||b|;
    特别地:a∙a=a2或a=a2;
    4cosθ=a∙ba|b|,a|b|≠0
    5|a∙b|≤a|b|(当且仅当a//b时等号成立)
    5、运算定律:
    已知向量a、 b、c和实数λ,则:
    (1).交换律:a·b= b·a
    (2).数乘结合律:()·b=λ(a·b)= a·()
    (3).分配律: (a + b)·c=a·c +b ·c
    四、典例分析、举一反三
    题型一 数量积的基本运算
    例1  已知|a|=2,|b|=5,若:①a∥b;②a⊥b;③a与b的夹角为30°,分别求a·b.
    【答案】①a·b=-10. ②a·b=0. ③a·b=5.
    【解析】①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角为0°.
    ∴a·b=|a||b|cos0°=2×5×1=10.
    若a与b反向,则它们的夹角为180°.
    ∴a·b=|a||b|cos180°=2×5×(-1)=-10.
    ②当a⊥b时,它们的夹角为90°.
    ∴a·b=|a||b|cos90°=2×5×0=0.
    ③当a与b的夹角为30°时,
    a·b=|a||b|cos30°=2×5×=5.
    解题技巧(向量数量积的运算方法)
    (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉;
    (2)注意共线时θ=0°或180°,垂直时θ=90°,三种特殊情况.
     跟踪训练一
    1、已知点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·的值是________.
    【答案】-25.
    【解析】如图,根据题意可得△ABC为直角三角形,且B=,cosA=,cosC=,

    ∴·+·+·
    =·+·
    =4×5cos(π-C)+5×3cos(π-A)
    =-20cosC-15cosA
    =-20×-15×=-25.
    题型二 数量积的几何意义
    例2 已知|a|=6,e为单位向量,当它们之间的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,求出a在e方向上的投影,并画图说明.
    【答案】 见解析
    【解析】如下图所示,当θ=45°时,a在e方向上的正投影的数量为3;
    当θ=90°时,a在e方向上的投影的数量为0;
    当θ=135°时,a在e方向上的投影的数量为-3.

    ∴|a|·cos45°=3,|a|·cos90°=0,
    |a|·cos135°=-3.
    解题技巧: (向量投影的注意事项)
    (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角),也可以写成.
    (2)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零.
    跟踪训练二
    1、已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6.
    (1)向量a在向量b方向上的投影为________.
    (1)向量b在向量a方向上的投影为________.
    2、在边长为2的正三角形ABC中,在方向上的投影为______.

    【答案】1、(1)- 32  (2)-2. 2、-1.
    【解析】1、(1)a∙bb=-32,  2 a∙ba=-2.          
    2、ABcos120°=2×-12=-1.
    题型三 向量的混合运算
    例3 (1)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b)=_____________.
    (2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=________.
    【答案】(1)-72. (2)2.
    【解析】(1)(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=62-6×4×cos 60°-6×42=-72.
    (2) ·=·(-)=2-2=22-×22=2.
    解题技巧(向量混合运算注意事项)
    (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.
    (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 
    跟踪训练三
    1.已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.
    2.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=________.
    【答案】1、-6. 2、2.
    【解析】1、由题设知|e1|=|e2|=1且e1·e2=,
    所以b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3e-2e1·e2-8e=3-2×-8=-6.
    2、因为b·c=0,所以b·[ta+(1-t)b]=0,即ta·b+(1-t)·b2=0,
    又因为|a|=|b|=1,a,b的夹角为60°,所以t+1-t=0,所以t=2.
    五、课堂小结
    让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
    六、板书设计
    6.2.4 向量的加法运算
    第一课时 向量的数量积的物理背景和数量积
    1.向量的夹角 例1 例2 例3
    2、射影
    3.数量积定义
    4、数量积的性质
    5. 数量积运算律

    七、作业
    课本20页练习.

    通过本节内容的学习,使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系;让学生进一步领悟数形结合的思想;同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积,有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.
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