精品解析：上海市宝山区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

宝山区高一期末数学试卷

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1. 在复数范围内，的所有平方根为______.

【答案】或

【解析】

【分析】设，求出，根据复数相等的条件得出方程组，求解即可得出答案.

【详解】设，则.

由可得，.

由可得，或

当时，有，解得，；

当时，有，显然不成立.

综上所述，.

故答案为：或.

2. 若幂函数为奇函数，则该函数的表达式______.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定的条件，利用幂函数的定义，结合性质求解作答.

【详解】由为幂函数，得，解得或，

当时，，函数是偶函数，不符合题意，

当时，，函数是奇函数，符合题意，

所以.

故答案为：

3. 无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为______.

【答案】

【解析】

【分析】由已知可知，求解代入，即可得出答案.

【详解】当，即时，无论为何值，恒有，此时，

所以定点坐标为.

故答案为：.

4. 若，则______（用含的式子表示）.

【答案】

【解析】

【分析】利用对数的换底公式，结合对数运算性质求解作答.

【详解】由，得，即，

所以.

故答案为：

5. 若向量、满足，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答.

【详解】由，，得，

所以.

故答案为：

6. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据分式不等式与整式不等式的关系求解出，根据绝对值不等式的运算解出.然后根据集合的运算关系，列出不等式组，求解即可得出答案.

【详解】不等式等价于，解得，所以；

解可得，，所以.

因为，所以，解得.

故答案为：.

7. 在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案.

【详解】

由，，则直线的方程为，设其倾斜角为，即，

由，则，即，解得.

故答案为：.

8. 已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为______.

【答案】

【解析】

【分析】求出方程的两个虚根，再利用复数的乘方运算求解作答.

【详解】由，得，依题意，，即，

解得，而，

即，整理得，

解得或，而

所以实数的值为.

故答案为：

9. 函数的部分图象如图所示，则______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据图象推出，，然后根据最大值，结合的取值范围，求出的值，代入，求解即可得出答案.

【详解】由已知可得，，所以，，

所以，.

又因为在处取得最大值，

所以有，

所以，.

因为，，所以，

所以，，

所以，.

故答案为：.

10. 如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为______（精确到）.

【答案】5.8

【解析】

【分析】在中，根据余弦定理求出，然后在，先求出，然后根据正弦定理，即可求出答案.

【详解】在中，有，，，

由余弦定理可得，，

即，

整理可得，

解得或（舍去）.

在中，有，，，

所以，.

由正弦定理可得，

(km).

故答案为：.

11. 已知，点是平面上一个动点，则当由0连续变到时，线段扫过的面积是______.

【答案】

【解析】

【分析】根据三角函数的平方式以及函数性质，求得动点轨迹，结合题意，作图，利用图形的组成，可得答案.

【详解】由，则，即，，

由，则如图：

点在劣弧上，即线段扫过的部分为图中的阴影部分，设其面积为，

易知，，在四边形中对角线，

则四边形的面积，

在中，，解得，

扇形的面积，

故.

故答案为：.

12. 已知函数，有以下命题：

①函数的最小正周期为；

②函数在上为增函数；

③直线是函数图象的一条对称轴；

④函数在上有三个零点；

⑤函数的最小值为.

请写出正确命题的全部序号______.

【答案】①③⑤

【解析】

【分析】①②根据周期的定义，结合三角函数的诱导公式二，利用函数在的单调性，可得答案；③根据轴对称的性质公式，结合三角函数的诱导公式，可得答案；④根据函数在上的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；⑤根据①所得到的函数在的单调性，以及最小正周期，可得答案.

【详解】①：，

当时，，则，

根据函数在上单调递增，可得此时单调递减；

当时，，则，

根据函数上单调递增，可得此时单调递增；

故①正确；

②：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，故②不正确；

③：，

，

由，则直线是函数的对称轴，故③正确；

④：当时，，

则，根据函数在上单调递增，可得此时单调递增，

由，则函数在存在唯一零点；

当时，，

则，根据函数在上单调递减，可得此时单调递减，

由，则函数在存在唯一零点；

易知，，，

综上：函数在上有两个零点，故④不正确；

⑤：由①可知函数在上单调递减，在上单调递增，

则当时，函数的最小值为，

因为由①可知，函数的最小正周期为，所以，故⑤正确.

故答案为：①③⑤.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13. 如果，那么下列式子中一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式的性质，逐项判断作答.

【详解】由，得，A正确；

由，得，则，B错误；

由，得，C错误；

由，得，即，D错误.

故选：A

14. 欧拉公式（其中是自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位.当时，恒等式更是被数学家们称为“上帝创造的公式”.根据上述材料判断表示的复数在复平面对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据欧拉公式，写出复数的标准形式，利用三角函数的诱导公式，求得点的坐标，可得答案.

【详解】由题意，，

，，

故，则其在复平面对应点坐标为，

即该点在第四象限.

故选：D.

15. 在平行四边形中，，．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算求出即可.

详解】由题意可得

，

所以，，

所以，

故选：D

16. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】在中，设，，，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】在中，设，，，

，即，

即，，

，，，，，

，即，又，，

，则，所以，，

解得，.

以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、、，

为线段上的一点，则存在实数使得，

，

设，，则，，，

，

，消去得，，

所以，，

当且仅当时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 已知向量，.

（1）求；

（2）若向量，则当为何实数时，？平行时它们是同向还是反向？

【答案】（1）；   

（2）1，同向.

【解析】

【分析】（1）利用向量夹角的坐标表示求解作答.

（2）求出的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算作答.

【小问1详解】

向量，，则，

而，所以.

【小问2详解】

依题意，，而，，

因此，解得，

所以，向量与同向.

18. 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，）

（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）

【答案】（1）答案见解析；   

（2）至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式；

（2）根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果.

【小问1详解】

因为（，）的增长速度越来越快，

（）和（）的增长速度越来越慢，

所以应选函数模型（，）.

由题意得，解得，

所以该函数模型为（）；

【小问2详解】

由题意得，即，

所以，

又.

所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.

19. 已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和.

（1）求点的坐标；

（2）设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，求出向量、的坐标，再利用向量的坐标运算求解作答.

（2）求出，设出的代数形式，再结合已知求解作答.

【小问1详解】

依题意，，，则，

所以点的坐标是.

【小问2详解】

依题意，，设，由，得，

，而为纯虚数，则，

由，得，解得，

所以.

20. 已知向量，，令函数.

（1）求函数的表达式及其单调增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且满足，当最小时，存在实数、使得，求的最小值.

【答案】（1），单调增区间，   

（2）最小值

【解析】

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标公式，利用三角函数的二倍角公式以及辅助角公式，整理可得函数解析式，根据复合函数单调性法则，结合正弦函数的单调性，可得答案；

（2）根据图象变换以及函数是偶函数，求出的解析式，然后根据等式关系进行去求解即可.

【小问1详解】

，

由，，解得，，

即的单调递增区间为，.

【小问2详解】

将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，

。

满足，是偶函数，则，，

，当时，最小，此时，

此时，

由，则，

即，则只有，时方程有解，

即，，，，

解得，，，，

故，，

当时，最小，最小值为.

21. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：.（e是自然对数的底数，）.

（1）计算的值；

（2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式：______，并加以证明；

（3）若对任意，关于的方程有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2），证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案；

（2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可得出；

（3）代入整理可得有解.令，，，根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式，求解即可得出答案.

【小问1详解】

由已知可得，，，

所以，，

所以，.

【小问2详解】

.

证明如下：

左边，

右边.

所以，左边=右边，

所以，.

【小问3详解】

原题可转化为方程有解，即有解.

令，，，

因为在上单调递增，，，

所以，.

又，当且仅当，即时等号成立，

所以，即有最大值.

则要使有解，应有，

即，所以.

【点睛】思路点睛：小问3，由已知得出有解，构造函数，，，，然后分别求出的值域，即可得出关系式.