山西省朔州市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

这是一份山西省朔州市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山西省朔州市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列式子是分式的是(   )
A． B． C． D．1＋x
2．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
3．分式有意义的条件是（　　）
A．m≠3 B．m≠﹣3 C．m＝3 D．m＝﹣3
4．如果分式的值为零，那么m的值是（　　）
A．m≠2 B．m=±2 C．m=﹣2 D．m=2
5．下列式子从左到右变形不正确的是（    ）
A． B． C． D．
6．下列因式分解正确的是（    ）
A． B．
C． D．
7．已知是完全平方式，则m的值是（　　）
A．8 B．±6 C．±12 D．±16
8．如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（    ）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍 C．不变 D．缩小为原来的
9．某工厂计划生产1500个零件，但是在实际生产时，……，求实际每天生产零件的个数，在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（    ）
A．每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B．每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C．每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D．每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
10．若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（    ）
A．50° B．70° C．80° D．20°或70°

二、填空题
11．如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ．

12．分式和的最简公分母是 ．
13．因式分解：
14．当 时，关于的方程无解．
15．若，直接写出 ；
16．已知，，则的值为 ．

三、解答题
17．解答下列各小题：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中满足；
(3)因式分解：．
18．解方程
（1）                  
（2）
19．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
  
(1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
(3)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．
20．阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小：_________（填写>、<或=）．
(2)比较与的大小（写出比较的具体过程）．
(3)计算．
21．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
(2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
22．阅读下列材料，完成相应任务．
阅读材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值．
例题：求的最小值
解：
∵不论取何值，总是非负数，即．
∴
∵当时，有最小值为0
∴当时，有最小值，最小值是1.
根据上述材料，解答下列任务：
任务一：填空：__________（ ）2
任务二：探索：将变形为的形式，并求出的最小值．
任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为，第二个长方形边长分别是、，面积为，试用含的式子表示的值，并说明与的大小关系．

23．综合与探究．
数学活动课上，老师组织同学们展开了如下探究：
如图1，中，，．点D是边上一点，连接，以为直角边作，其中，．
  
[知识初探]
兴趣小组提出的问题是：“线段和有怎样的数量关系和位置关系”，请你直接写出答案_________．
[类比再探]
睿智小组在兴趣小组的基础上，继续探究：如图2，若点D是BC延长线上一点，交于点F，其它条件不变，线段和有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．
[特例探究]
启航小组根据平时的学习经验，“当图形的位置特殊时会产生特殊的数量关系”，在图2的基础上让图形特殊化，如图3，若平分，其它条件不变，结果他们发现线段与也存在着特殊的数量关系和位置关系．请你直接写出启航小组所发现的正确结果是__________．
  
[归纳总结]
此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是________．（填正确选项代码）
A．数形结合            B．从一般到特殊            C．归纳

参考答案：
1．C
【详解】根据分母中含有字母的式子是分式进行判定，
因此正确选项是C．
2．D
【分析】根据合并同类项法则可以判断A，根据完全平方公式可以判断B，根据同底数幂的乘法法则可以判断C，根据积的乘方运算法则可以判断D．
【详解】解：A.，故此选项计算错误，不符合题意；
B.，故此选项计算错误，不符合题意；
C.，故此选项计算错误，不符合题意；
D.，故此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由分式的分母不能为0得：，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．
4．D
【分析】直接利用分式的值为零的条件分析得出答案．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴|m|﹣2=0，2m+4≠0，
解得：m=2．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，注意分母不能为零是解题的关键．
5．A
【分析】根据分式的基本性质逐项判定即可．
【详解】解：A、错误，故此选项符合题意；
B、正确，故此选项不符合题意；
C、正确，故此选项不符合题意；
D、正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质“分式分子分母同乘以或除以同一个不为零的数，他式值不变”是银题的关键．
6．D
【分析】依据因式分解的法则，先提取最大的公因式，然后再作进一步分解，并将因式分解到不能再分解为止．
【详解】A、，此选项错误，不符合题意；
B、，此选项错误，不符合题意；
C、，此选项错误，不符合题意；
D、，此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的步骤，即先提取最大的公因式，并将因式分解到再不能分解为止．
7．C
【分析】根据完全平方式的结构特点求解即可．
【详解】是完全平方式，
即是完全平方式，
，
故选C．
【点睛】本题考查了完全平方公式： ，熟练掌握公式是解题的关键，注意前面符号正负皆可构成完全平方式，这是易错点．
8．A
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∴如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
9．B
【分析】设实际每天生产零件x个，则原计划每天生产零件（x-5）个，根据提前10天完成任务，列方程即可．
【详解】解：实际每天生产零件x个,那么表示原计划每天生产的零件个数，
实际上每天比原计划多生产5个，
表示原计划用的时间-实际用的时间=10天，
说明实际上每天比原计划多生产5个，提前10天完成任务．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
10．D
【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可．
【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，底角为
如图2，三角形是钝角三角形时，底角为
综上所述，它的底角为20°或70．
故选：D．

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论．
11．
【分析】根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得．
【详解】解：由图可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形，正确找出图中的面积关系是解题关键．
12．
【分析】根据最简公分母的确定方法，求最简公分母时,将各分母分解因式,将所有的表达式都化成积的形式,系数取最小公倍数，取各式所有分母因式的最高次幂的积,确定最简公分母
【详解】3和4的最小公倍数是12，x的最高次幂是2，y的最高次幂是3，是两者的最简公分母.
故答案为：
【点睛】本题考查了最简公分母，解决本题的关键是熟练掌握最简公分母的确定方法步骤.
13．
【分析】直接提取公因式-2n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：
=-2n（m2-8m+16）
=-2n（m-4）2．
故答案为：-2n（m-4）2．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14．
【分析】由题意可得，再把代入正式方程中进行计算即可．
【详解】解：关于的分式方程无解，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解，明确分式方程无解的条件是解题关键．
15．12
【分析】根据平方差公式计算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．
16．32
【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．
17．(1)
(2)，
(3)

【分析】（1）根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘多项式的法则计算后合并同类项，再利用多项式除以单项式的法则计算即可；
（2）先通分计算括号内，再算除法进行化简，把进行变形，整体代入进行运算即可；
（3）先把括号打开，再用完全平方公式进行分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式



；
，
∴，
原式；
（3）解：原式．
【点睛】本题考查的整式的混合运算、分式的化简求值以及利用公式法进行因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（1）x=；（2）无解
【分析】（1）根据解分式方程的过程即可求解；
（2）根据解分式方程的过程即可求解．
【详解】解：（1）去分母，得5（2x+1）=x-1，
去括号，得10x+5=x-1，
移项，合并同类项，得9x=-6，
系数化为1，得x=，
检验：把x=代入（x-1）（2x+1）≠0，
所以x=是原方程的解；
（2）去分母，得1+2（x-2）=x-1，
去括号，得1+2x-4=x-1，
移项，合并同类项，得x=2，
检验：把x=2代入x-2=0，
所以此方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根．
19．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）由拼图可得阴影正方形的边长，进而表示周长即可；
（2）根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；
（3）由（2）的结论代入计算即可．
【详解】（1）解：由图可得：阴影部分的正方形边长为，
周长为：，
故答案为：；
（2）解：由图可得：
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：，
大正方形边长为，故面积也可表达为：，
；
（3）解：由（2）知：，
，，
，
或．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结果特征是解题的关键．
20．(1)>
(2)
(3)－4

【分析】（1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可；
（2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小；
（3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，
可知．
故答案为：>；
（2）∵，，
又∵，
∴；
（3）原式



．
【点睛】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则．
21．(1)甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米
(2)甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元

【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意列出分式方程，解方程求解即可；
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，根据题意列一元一次方程求解即可
【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
（2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，
由题意得：，
解得：，
则（万元），
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元；
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
22．任务一：，；任务二：，－27；任务三：，
【分析】任务一：根据完全平方式即可确定；
任务二：先配方成，进一步求出最小值；
任务三：分别表示出和，再计算，即可比较大小．
【详解】解：任务一：.
故答案为：，；
任务二：，
当时，的最小值为－27；
任务三：，
，

∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，多形式乘以多项式，熟练掌握是解题的关键．
23．[知识初探]，；[类比再探]，，理由见解析；[特例探究]，；[归纳总结]B
【分析】[知识初探]： ，得出，，证明，得出即可得出答案；
[类比再探]：证明，得出，，证明，得出即可；
[特例探究]：根据[类比再探]得出，，从而得出，证明，得出，证明，得出，从而得出，即可证明；
[归纳总结]：此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是从一般到特殊，
【详解】解：[知识初探]：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
[类比再探]：，；理由如下：
  
理由如下：∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴
∴在中，，
∴；
[特例探究]：根据[类比再探]可知，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
  
故答案为：，．
[归纳总结]：此综合与实践从“知识初探”“类比再探”到“特例探究”的过程中，主要体现的数学思想是从一般到特殊，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线定义理解，三角形外角的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．