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2022-2023学年新疆乌鲁木齐市等五地八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市等五地八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年新疆乌鲁木齐市等五地八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共7小题，共28.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数y= x−1x−2中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥1 B. x>1 C. x≥1且x≠2 D. x≠2
2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4 B. 4，5，6
C. 3， 4， 5 D. 1， 2， 3
3. 如图，以Rt△ABC为直径分别向外作半圆，若S1=10，S3=8，则S2=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=140°，则∠A的大小为( )
A. 140° B. 130° C. 120° D. 100°
5. 已知点(−3,y1)、(4,y2)在函数y=−2x+1图象上，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
7. 两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，相关数据如图所示，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是( )
A. 6cm B. 4 3cm C. 8cm D. 10cm
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
8. 把A，B两组数据分别画成下面的图1和图2，比较这两幅图，可以看出， 组数据的方差较大， 组数据的波动较小．
9. 如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(4,0)，点C的坐标是(1,3)，则点B的坐标是 ．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB=3，AC=4，那么线段AE的长度是 ．
11. 在正方形ABCD中，AB=5，点E在边BC上，△ABE沿直线AE翻折后点B落到正方形ABCD的内部点F，联结BF、CF、DF，如图，如果∠BFC=90°，那么DF=______．
12. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”，那么BC：AC：AB=______．
13. 乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是______．
三、解答题（本大题共8小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题8.0分)
计算：
(1)4 5+ 45− 8+4 2；
(2)( 5−3)2+( 11−3)( 11+3)．
15. (本小题4.0分)
已知x= 3+ 5，y= 3− 5，试求代数式2x2−5xy+2y2的值．
16. (本小题8.0分)
面临毕业季，某电脑营销商瞄准时机，在五月底筹集到资金12.12万元，用于一次性购进A、B两种型号的电脑共30台．根据市场需求，这些电脑可以全部销售，全部销售后利润不少于1.6万元，其中电脑的进价和售价见下表：
A型电脑
B型电脑
进价(元/台)
4200
3600
售价(元/台)
4800
4000
设营销商计划购进A型电脑x台，电脑全部销售后获得的利润为y元．
(1)试写出y与x的函数关系式；
(2)该营销商有几种购进电脑的方案可供选择？
(3)该营销商选择哪种购进电脑的方案获利最大？最大利润是多少？
17. (本小题5.0分)
如图，在菱形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF//BC，交BD于点M，交CD于点F.求证：CF=EM．
18. (本小题6.0分)
已知点M和图形W，Q为图形W上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点(P,Q不重合)，则称点P为图形W关于点M的倍点．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,1)，B(−1,−1)，C(1,−1)，D(1,1)．
(1)若点M的坐标为(2,0)，则在P1(3,0)，P2(4,2)，P3(5,1)中，是正方形ABCD关于点M的倍点的是______；
(2)点N的坐标为(2,t)，若在直线y=x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，直接写出t的取值范围；
(3)点G为正方形ABCD边上一动点，直线y=x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，直接写出b的取值范围．
19. (本小题5.0分)
如图，▱ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG//AF交DA的延长线于点G．
(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；
(2)若sin∠AGE=35，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．
20. (本小题6.0分)
2023年的暑假，李刚和他的父母计划去新疆旅游，他们打算坐飞机到乌鲁木齐，第二天租用一辆汽车自驾出游．
甲公司：无固定租金，直接以租车时间计算，每天的租车费是300元；
乙公司：先收取固定租金200元，再按租车时间收取租金．
方案一：选择甲公司
方案二：选择乙公司
选择哪个方案合算呢？
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x天，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
(2)请你帮助李刚，选择租用哪个公司的车自驾出游比较合算，并说明理由．
21. (本小题8.0分)
在正方形ABCD中，AB=6，点E为对角线BD上一点(不与B、D重合)，且BE>DE，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，请根据题意，补全图形．
(1)连接CE，求证：EC=EF：
(2)当点F恰为BC的三等分点时，求DE的长；
(3)作BG平分∠CBD交CD于点G.交EF于点H，当BE=BC时，试判断AE与EH的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：依题意得：x−1≥0且x−2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：C．
根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求x的取值范围．
本题考查了函数自变量的取值范围．本题属于易错题，同学们往往忽略分母x−2≠0这一限制性条件而解错．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵42+52=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵( 3)2+( 4)2=7，( 5)2=5，
∴( 3)2+( 4)2≠( 5)2，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵12+( 2)2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和圆的面积的应用，
根据圆面积公式结合勾股定理证明：S2+S3=S1，即以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积，根据勾股定理，得：AB2+BC2=AC2，再根据圆面积公式，可以证明：S2+S3=S1.即S2=10−8=2．
【解答】
解：∵AB2+BC2=AC2，S1=12⋅π(AC2)2=π⋅AC28；
S2=12π(AB2)2=π⋅AB28；
S3=12π(BC2)2=π⋅BC28；
S2+S3=π⋅AB28+π⋅BC28=π8(AB2+BC2)=π⋅AC28=S1，
故S2=S1−S3=10−8=2．
故选A．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=140°，
∴∠ABE=∠AEB=40°，
∴∠A=180°−∠ABE−∠AEB=100°．
故选：D．
由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−3<4即可得出结论．
【解答】
解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，
∴y随着x的增大而减小．
∵点P1(−3,y1)和P2(4,y2)是一次函数y=−2x+1图象上的两个点，−3<4，
∴y1>y2．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】解：21个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有10个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：B．
由于比赛设置了10个获奖名额，共有21名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7.【答案】A
【解析】解：甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为x cm，
则π×12×16=π×48×x，
解得x=4．
在直角△ABP中，已知AP=4 3cm，AB=8 3cm，
∴BP= AB2−AP2
= (8 3)2−(4 3)2
=12(cm)．
根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6cm，
所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16−6−4=6(cm)．
故选：A．
首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度．在直角三角形中，求得直角边为4 3cm，斜边是8 3cm，可以求出另一直角边就是12cm，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是6cm，所以可求出乙杯中的液面与图中点P的距离．
本题是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点P的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度．
8.【答案】A
B
【解析】
【分析】
根据方差的意义解答即可．
本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】
解：比较这两幅图，可以看出，A组数据的方差较大，B组数据的波动较小．
故答案为：A；B．
9.【答案】(5,3)
【解析】
【分析】
延长BC交y轴于点D，根据已知可得OA=4，利用平行四边形的性质可得BC//OA，BC=OA=4，再根据点C的坐标可得OD=3，DC=1，从而求出BD的长，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【解答】
解：延长BC交y轴于点D，
∵点A的坐标是(4,0)，
∴OA=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//OA，BC=OA=4，
∵点C的坐标是(1,3)，
∴OD=3，DC=1，
∴BD=DC+BC=1+4=5，
∴点B的坐标是(5,3)，
故答案为：(5,3)．
10.【答案】125
【解析】
【分析】
由作法得AE⊥BC，利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法求AE的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
【解答】
解：由作法得AE⊥BC，
在Rt△ABC中，BC= AB2+BC2= 32+42=5，
∵12AE⋅BC=12AB⋅AC，
∴AE=3×45=125．
故答案为：125．
11.【答案】 10
【解析】解：连接EF，过点F作FH⊥BC于点H，延长HF交AD于点G，如图所示：
∴∠GHC=90°，
在正方形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH=CD，GD=HC，
根据翻折，可得△ABE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ABE，BE=FE，
∴∠EBF=∠EFB，
∵∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°，
∴∠EFC=∠ECF，
∴FE=CE，
∴BE=CE，
在正方形ABCD中，∠ABE=90°，AB=BC=CD=AD=5，AD//BC，
∴∠AFE=90°，AFEF=ABBE=2，
∴∠AFG+∠EFH=90°，
∵∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AFG=∠FEH，
∵FH⊥BC，且AD//BC，
∴∠AGF=∠FHE=90°，
∴△AGF∽△FHE，
∴AGFH=GFEH=AFEF=2，
设EH=m，FH=n，则GF=2m，AG=2n，
∵EC=12BC=52，
CH=52−m，
∵GD=CH，GH=CD，
∴52−m=5−2n2m+n=5，
解得m=32n=2，
∴GF=2m=3，GD=52−32=1，
根据勾股定理，得DF= 32+12= 10，
故答案为： 10．
连接EF，过点F作FH⊥BC于点H，延长HF交AD于点G，先证明四边形GHCD是矩形，可得GD=CH，GH=CD，根据翻折可得∠AFE=∠ABE，BE=FE，再根据∠BFC=90°，可得E是BC的中点，根据正方形的性质，易证△AGF∽△FHE，可得AGFH=GFEH=AFEF=2，设EH=m，FH=n，列二元一次方程组，求出m和n的值，再根据勾股定理可得DF的长．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，本题综合性较强，属于中考常考题型．
12.【答案】 3：2： 7
【解析】解：根据题意作图如下：
∵BD=AC=2CD，
∴∠CBD=90°，
设CD=x，则AC=2x，BC= 3x，
∴AB= BC2+AC2= 7x，
∴BC：AC：AB= 3：2： 7，
故答案为： 3：2： 7．
根据题意做出图形，设CD为x，根据“匀称三角形”的定义求出三角形的各边长即可得出结论．
本题主要考查勾股定理，三角形中线，特殊角三角函数等知识，正确理解“匀称三角形”的定义是解题的关键．
13.【答案】4.5或7516
【解析】解：①如图1：PC=AC=3时，△ACP是等腰直角三角形，
则S△ACP=12×3×3=4.5；
②如图2：AP=BP时，△ABP是等腰三角形，
在△ACP中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
则AC2+CP2=AP2，即32+CP2=(4−CP)2，
解得CP=78，
则S△ABP=S△ABC−S△ACP=12×4×3−12×3×78=7516．
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是4.5或7516．
故答案为：4.5或7516．
要分两种情况进行讨论：①PC=AC=3时，△ACP是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；②AP=BP时，△ABP是等腰三角形，根据勾股定理可求CP，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形的面积计算．
14.【答案】解：(1)原式=4 5+3 5−2 2+4 2
=7 5+2 2；
(2)原式=5+9−6 5+11−9
=16−6 5．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先根据算乘方，乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
15.【答案】解：∵x= 3+ 5，y= 3− 5，
∴x−y=2 5，xy=3−5=−2，
∴2x2−5xy+2y2=2x2−4xy+2y2−xy=2(x−y)2−xy=2×(2 5)2−(−2)=42．
【解析】先利用x、y得我值计算出x−y=2 5，xy=−2，再利用完全平方公式得到2x2−5xy+2y2=2(x−y)2−xy，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
16.【答案】解：(1)根据表格可得：y=(4800−4200)x+(4000−3600)(30−x)=200x+12000，
∴y=200x+12000；
(2)由题意可得：4200x+3600(30−x)≤121200(4800−4200)x+(4000−3600)(30−x)≥16000，
解得20≤x≤22，
∵x为整数，
∴x可取20，21，21，
∴该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；
(3)由(1)至y=200x+12000，
∵200>0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=22时，y取最大值，最大值为200×22+12000=16400(元)，
此时30−x=30−22=8(台)，
答：当进A型电脑22台，B型电脑8台时，获利最大为16400元．
【解析】(1)由总利润=A型电脑利润+B型电脑利润即可得到y与x的函数关系式；
(2)根据筹集到资金12.12万元，全部销售后利润不少于1.6万元，列不等式组，可解得答案；
(3)由一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数及一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵EF//BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，EF//AD，
∴BE=CF，∠ADB=∠EMB，
∴∠ABD=∠EMB，
∴BE=EM，
∴CF=EM．
【解析】由平行四边形的性质得AB//CD，AD//BC，AB=AD，再证四边形BCFE是平行四边形，EF//AD，得BE=CF，然后证∠ABD=∠EMB，则BE=EM，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设Q(x,y)是正方形ABCD上一点，则有，
x+32=2y+02=0，解得：x=1y=0，
∵(1,0)在正方形ABCD上，
∴P1是正方形ABCD关于点M的倍点；
同理可得：P2不满足条件，P3满足条件，
∴正方形ABCD关于点M的倍点为P1，P3，
故答案为：P1，P3；
(2)设直线y=x上存在的点的坐标为(a,b)，正方形上的点的坐标为(x,y)，
则x+a2=2b+y2=t，解得：a=4−xb=2t−y，
∵点(a,b)在直线y=x上，则a=b，
∴y−x=2t−4，
∵−2≤y−x≤2，即−2≤2t−4≤2，
解得：1≤t≤3；
(3)−3≤b≤−2或2≤b≤3．
【解析】(1)根据“倍点”的定义，逐一判断即可；
(2)设直线y=x上存在的点的坐标为(a,b)，正方形上的点的坐标为(x,y)，再根据“倍点”的定义
得出a=4−xb=2t−y，最后根据y−x=2t−4，得出结果；
本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19.【答案】(1)证明：∵点E是AB中点，点F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，EF=12BC，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴EF//AD，
∵EG//AF，
∴四边形AGEF是平行四边形；
(2)过点F作FH⊥AD于点H，如图所示：
∵EG//AF，
∴∠HAF=∠AGE，
∵sin∠AGE=35，
∴sin∠HAF=HFAF=35，
∵AC=10，F是AC的中点，
∴AF=5，
∴HF=3，
在Rt△AHF中，根据勾股定理，得AH=4，
∵BC=12，
∴EF=6，
∵四边形AGEF是平行四边形，
∴AG=EF=6，
∴GH=6+4=10，
在Rt△HGF中，根据勾股定理，得GF= 9+100= 109．
【解析】(1)根据已知条件，可得EF是△ABC的中位线，根据中位线定理可得EF//AG，又因为EG//AF，即可得证；
(2)过点F作FH⊥AD于点H，根据已知条件求出HF的长，再根据平行四边形的性质可得AG的长，进一步求出GH的长，根据勾股定理，即可求出GF的长．
本题考查了平行四边形的判定和性质，涉及解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设y1=k1x，
把(1,300)代入得，k1=300，
∴y1=300x；
设y2=k2x+b，把(0,200)，(2,720)代入得，
b=2002k2+b=720，
解得k2=260b=200，
∴y2=260x+200；
(2)当y1>y2时，即300x>260x+200时，解得，x>5；
当y1=y2时，即300x=260x+200时，解得，x=5；
当y1
【解析】(1)根据函数图象中的数据，可以分别求得y1，y2关于x的函数表达式；
(2)根据(1)中的函数解析式，可以得到相应的不等式，从而可以写出选择租用哪个公司的车自驾出游比较合算．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
21.【答案】(1)证明：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，正方形ABCD关于BD对称，
∴∠BAE=∠BCE，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF+∠ABC=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∵∠EFC+∠BFE=180°，
∴∠BAE=∠EFC，
∴∠BCE=∠EFC，即∠ECF=∠EFC，
∴EC=EF；
(2)解：①当BF=13BC=2时，如图，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，
∴∠EMF=90°，CF=4，
由(1)知，AE=CE=EF，
∴FM=12CF=2，
∵AD//BC，
∴∠ANE=90°=∠EMF，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEN+∠MEF=90°，
∵∠EFM+∠MEF=90°，
∴∠AEN=∠EFM，
在△ANE和△EMF中，
∠ANE=∠EMF∠AEN=∠EFMAE=EF，
∴△ANE≌△EMF(AAS)，
∴EN=FM=2，
∵∠NDE=45°，∠END=90°，
∴△DNE为等腰直角三角形，
∴DE= 2EN=2 2；
②当CF=13BC=2时，如图，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，
同理可得：FM=12CF=1，△ANE≌△EMF(AAS)，
∴EN=FM=1，
∵∠NDE=45°，∠END=90°，
∴△DNE为等腰直角三角形，
∴DE= 2EN= 2；
综上，DE=2 2或 2；
(3)解：如图，连接CE，交BG于点P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BC，
∴AB=BE=BC，
∴∠BAE=∠BEA=67.5°，
∠BEC=∠BCE=67.5°，
∵EF⊥AE，
∴∠PEH=∠AEB+∠BEC−∠AEF=67.5°+67.5°−90°=45°，
∵BE=BC，
∴△BCE为等腰三角形，
∵BG平分∠CBD，
∴BP⊥CE，即∠BPE=90°，EP=CP=12CE，
∴△PEH为等腰直角三角形，PE= 22EH，
∵AE=CE=2PE，
∴AE= 2EH．
【解析】(1)由正方形的性质可得∠ABC=90°，正方形ABCD关于BD对称，进而可得∠BAE=∠BCE，易得∠AEF+∠ABC=180°，由四边形内角和等于360°可得∠BAE+∠BFE=180°，根据平角的定义可知∠EFC+∠BFE=180°，于是得到∠BAE=∠EFC=∠BCE，最后根据等角对等边即可证明；
(2)分两种情况讨论：①当BF=13BC=2时，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，则∠EMF=90°，CF=4，由(1)可知AE=CE=EF，由等腰三角形的性质可得FM=12CF=2，由同角的余角相等可得∠AEN=∠EFM，于是可通过AAS证明△ANE≌△EMF，得到EN=FM=2，易得△DNE为等腰直角三角形，则DE= 2EN；②当CF=13BC=2时，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，同理可得FM=12CF=1，△ANE≌△EMF(AAS)，于是EN=FM=1，则DE= 2EN；
(3)连接CE，交BG于点P，由正方形的性质可得AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，进而得到AB=BE=BC，由等腰三角形的性质求得∠BAE=∠BEA=67.5°，∠BEC=∠BCE=67.5°，于是∠PEH=∠AEB+∠BEC−∠AEF=45°，由等腰三角形三线合一性质可知∠BPE=90°，EP=12CE，以此可得△PEH为等腰直角三角形，PE= 22EH，由AE=CE=2PE即可得到结论．
本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是：(1)由轴对称的性质、四边形内角和为360°、平角的定义推出∠BAE=∠EFC=∠BCE；(2)正确作出辅助线，构造合适的全等三角形，并学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题；(3)由等腰三角形的性质和角之间的数量关系推理论证得出△PEH为等腰直角三角形．
2022-2023学年新疆乌鲁木齐市等五地八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共7小题，共28.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数y= x−1x−2中，自变量x的取值范围是( )
A. x≥1 B. x>1 C. x≥1且x≠2 D. x≠2
2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4 B. 4，5，6
C. 3， 4， 5 D. 1， 2， 3
3. 如图，以Rt△ABC为直径分别向外作半圆，若S1=10，S3=8，则S2=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=140°，则∠A的大小为( )
A. 140° B. 130° C. 120° D. 100°
5. 已知点(−3,y1)、(4,y2)在函数y=−2x+1图象上，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
7. 两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，相关数据如图所示，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是( )
A. 6cm B. 4 3cm C. 8cm D. 10cm
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
8. 把A，B两组数据分别画成下面的图1和图2，比较这两幅图，可以看出， 组数据的方差较大， 组数据的波动较小．
9. 如图，将▱ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(4,0)，点C的坐标是(1,3)，则点B的坐标是 ．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB=3，AC=4，那么线段AE的长度是 ．
11. 在正方形ABCD中，AB=5，点E在边BC上，△ABE沿直线AE翻折后点B落到正方形ABCD的内部点F，联结BF、CF、DF，如图，如果∠BFC=90°，那么DF=______．
12. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，若Rt△ABC是“匀称三角形”，那么BC：AC：AB=______．
13. 乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是______．
三、解答题（本大题共8小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题8.0分)
计算：
(1)4 5+ 45− 8+4 2；
(2)( 5−3)2+( 11−3)( 11+3)．
15. (本小题4.0分)
已知x= 3+ 5，y= 3− 5，试求代数式2x2−5xy+2y2的值．
16. (本小题8.0分)
面临毕业季，某电脑营销商瞄准时机，在五月底筹集到资金12.12万元，用于一次性购进A、B两种型号的电脑共30台．根据市场需求，这些电脑可以全部销售，全部销售后利润不少于1.6万元，其中电脑的进价和售价见下表：
A型电脑
B型电脑
进价(元/台)
4200
3600
售价(元/台)
4800
4000
设营销商计划购进A型电脑x台，电脑全部销售后获得的利润为y元．
(1)试写出y与x的函数关系式；
(2)该营销商有几种购进电脑的方案可供选择？
(3)该营销商选择哪种购进电脑的方案获利最大？最大利润是多少？
17. (本小题5.0分)
如图，在菱形ABCD中，E为AB边上一点，过点E作EF//BC，交BD于点M，交CD于点F.求证：CF=EM．
18. (本小题6.0分)
已知点M和图形W，Q为图形W上一点，若存在点P，使得点M为线段PQ的中点(P,Q不重合)，则称点P为图形W关于点M的倍点．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,1)，B(−1,−1)，C(1,−1)，D(1,1)．
(1)若点M的坐标为(2,0)，则在P1(3,0)，P2(4,2)，P3(5,1)中，是正方形ABCD关于点M的倍点的是______；
(2)点N的坐标为(2,t)，若在直线y=x上存在正方形ABCD关于点N的倍点，直接写出t的取值范围；
(3)点G为正方形ABCD边上一动点，直线y=x+b与x轴交于点E，与y轴交于点F，若线段EF上的所有点均可成为正方形ABCD关于点G的倍点，直接写出b的取值范围．
19. (本小题5.0分)
如图，▱ABCD中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG//AF交DA的延长线于点G．
(1)求证：四边形AGEF是平行四边形；
(2)若sin∠AGE=35，AC=10，BC=12，连接GF，求GF的长．
20. (本小题6.0分)
2023年的暑假，李刚和他的父母计划去新疆旅游，他们打算坐飞机到乌鲁木齐，第二天租用一辆汽车自驾出游．
甲公司：无固定租金，直接以租车时间计算，每天的租车费是300元；
乙公司：先收取固定租金200元，再按租车时间收取租金．
方案一：选择甲公司
方案二：选择乙公司
选择哪个方案合算呢？
根据以上信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为x天，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式；
(2)请你帮助李刚，选择租用哪个公司的车自驾出游比较合算，并说明理由．
21. (本小题8.0分)
在正方形ABCD中，AB=6，点E为对角线BD上一点(不与B、D重合)，且BE>DE，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，请根据题意，补全图形．
(1)连接CE，求证：EC=EF：
(2)当点F恰为BC的三等分点时，求DE的长；
(3)作BG平分∠CBD交CD于点G.交EF于点H，当BE=BC时，试判断AE与EH的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：依题意得：x−1≥0且x−2≠0，
解得x≥1且x≠2．
故选：C．
根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求x的取值范围．
本题考查了函数自变量的取值范围．本题属于易错题，同学们往往忽略分母x−2≠0这一限制性条件而解错．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵22+32=13，42=16，
∴22+32≠42，
∴不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵42+52=41，62=36，
∴42+52≠62，
∴不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵( 3)2+( 4)2=7，( 5)2=5，
∴( 3)2+( 4)2≠( 5)2，
∴不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵12+( 2)2=3，( 3)2=3，
∴12+( 2)2=( 3)2，
∴能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和圆的面积的应用，
根据圆面积公式结合勾股定理证明：S2+S3=S1，即以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积，根据勾股定理，得：AB2+BC2=AC2，再根据圆面积公式，可以证明：S2+S3=S1.即S2=10−8=2．
【解答】
解：∵AB2+BC2=AC2，S1=12⋅π(AC2)2=π⋅AC28；
S2=12π(AB2)2=π⋅AB28；
S3=12π(BC2)2=π⋅BC28；
S2+S3=π⋅AB28+π⋅BC28=π8(AB2+BC2)=π⋅AC28=S1，
故S2=S1−S3=10−8=2．
故选A．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=140°，
∴∠ABE=∠AEB=40°，
∴∠A=180°−∠ABE−∠AEB=100°．
故选：D．
由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−3<4即可得出结论．
【解答】
解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，
∴y随着x的增大而减小．
∵点P1(−3,y1)和P2(4,y2)是一次函数y=−2x+1图象上的两个点，−3<4，
∴y1>y2．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】解：21个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有10个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：B．
由于比赛设置了10个获奖名额，共有21名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7.【答案】A
【解析】解：甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为x cm，
则π×12×16=π×48×x，
解得x=4．
在直角△ABP中，已知AP=4 3cm，AB=8 3cm，
∴BP= AB2−AP2
= (8 3)2−(4 3)2
=12(cm)．
根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6cm，
所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16−6−4=6(cm)．
故选：A．
首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度．在直角三角形中，求得直角边为4 3cm，斜边是8 3cm，可以求出另一直角边就是12cm，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是6cm，所以可求出乙杯中的液面与图中点P的距离．
本题是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点P的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度．
8.【答案】A
B
【解析】
【分析】
根据方差的意义解答即可．
本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】
解：比较这两幅图，可以看出，A组数据的方差较大，B组数据的波动较小．
故答案为：A；B．
9.【答案】(5,3)
【解析】
【分析】
延长BC交y轴于点D，根据已知可得OA=4，利用平行四边形的性质可得BC//OA，BC=OA=4，再根据点C的坐标可得OD=3，DC=1，从而求出BD的长，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【解答】
解：延长BC交y轴于点D，
∵点A的坐标是(4,0)，
∴OA=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//OA，BC=OA=4，
∵点C的坐标是(1,3)，
∴OD=3，DC=1，
∴BD=DC+BC=1+4=5，
∴点B的坐标是(5,3)，
故答案为：(5,3)．
10.【答案】125
【解析】
【分析】
由作法得AE⊥BC，利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法求AE的长．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
【解答】
解：由作法得AE⊥BC，
在Rt△ABC中，BC= AB2+BC2= 32+42=5，
∵12AE⋅BC=12AB⋅AC，
∴AE=3×45=125．
故答案为：125．
11.【答案】 10
【解析】解：连接EF，过点F作FH⊥BC于点H，延长HF交AD于点G，如图所示：
∴∠GHC=90°，
在正方形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形GHCD是矩形，
∴GH=CD，GD=HC，
根据翻折，可得△ABE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ABE，BE=FE，
∴∠EBF=∠EFB，
∵∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°，
∴∠EFC=∠ECF，
∴FE=CE，
∴BE=CE，
在正方形ABCD中，∠ABE=90°，AB=BC=CD=AD=5，AD//BC，
∴∠AFE=90°，AFEF=ABBE=2，
∴∠AFG+∠EFH=90°，
∵∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AFG=∠FEH，
∵FH⊥BC，且AD//BC，
∴∠AGF=∠FHE=90°，
∴△AGF∽△FHE，
∴AGFH=GFEH=AFEF=2，
设EH=m，FH=n，则GF=2m，AG=2n，
∵EC=12BC=52，
CH=52−m，
∵GD=CH，GH=CD，
∴52−m=5−2n2m+n=5，
解得m=32n=2，
∴GF=2m=3，GD=52−32=1，
根据勾股定理，得DF= 32+12= 10，
故答案为： 10．
连接EF，过点F作FH⊥BC于点H，延长HF交AD于点G，先证明四边形GHCD是矩形，可得GD=CH，GH=CD，根据翻折可得∠AFE=∠ABE，BE=FE，再根据∠BFC=90°，可得E是BC的中点，根据正方形的性质，易证△AGF∽△FHE，可得AGFH=GFEH=AFEF=2，设EH=m，FH=n，列二元一次方程组，求出m和n的值，再根据勾股定理可得DF的长．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，本题综合性较强，属于中考常考题型．
12.【答案】 3：2： 7
【解析】解：根据题意作图如下：
∵BD=AC=2CD，
∴∠CBD=90°，
设CD=x，则AC=2x，BC= 3x，
∴AB= BC2+AC2= 7x，
∴BC：AC：AB= 3：2： 7，
故答案为： 3：2： 7．
根据题意做出图形，设CD为x，根据“匀称三角形”的定义求出三角形的各边长即可得出结论．
本题主要考查勾股定理，三角形中线，特殊角三角函数等知识，正确理解“匀称三角形”的定义是解题的关键．
13.【答案】4.5或7516
【解析】解：①如图1：PC=AC=3时，△ACP是等腰直角三角形，
则S△ACP=12×3×3=4.5；
②如图2：AP=BP时，△ABP是等腰三角形，
在△ACP中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
则AC2+CP2=AP2，即32+CP2=(4−CP)2，
解得CP=78，
则S△ABP=S△ABC−S△ACP=12×4×3−12×3×78=7516．
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是4.5或7516．
故答案为：4.5或7516．
要分两种情况进行讨论：①PC=AC=3时，△ACP是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；②AP=BP时，△ABP是等腰三角形，根据勾股定理可求CP，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形的面积计算．
14.【答案】解：(1)原式=4 5+3 5−2 2+4 2
=7 5+2 2；
(2)原式=5+9−6 5+11−9
=16−6 5．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先根据算乘方，乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
15.【答案】解：∵x= 3+ 5，y= 3− 5，
∴x−y=2 5，xy=3−5=−2，
∴2x2−5xy+2y2=2x2−4xy+2y2−xy=2(x−y)2−xy=2×(2 5)2−(−2)=42．
【解析】先利用x、y得我值计算出x−y=2 5，xy=−2，再利用完全平方公式得到2x2−5xy+2y2=2(x−y)2−xy，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
16.【答案】解：(1)根据表格可得：y=(4800−4200)x+(4000−3600)(30−x)=200x+12000，
∴y=200x+12000；
(2)由题意可得：4200x+3600(30−x)≤121200(4800−4200)x+(4000−3600)(30−x)≥16000，
解得20≤x≤22，
∵x为整数，
∴x可取20，21，21，
∴该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；
(3)由(1)至y=200x+12000，
∵200>0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=22时，y取最大值，最大值为200×22+12000=16400(元)，
此时30−x=30−22=8(台)，
答：当进A型电脑22台，B型电脑8台时，获利最大为16400元．
【解析】(1)由总利润=A型电脑利润+B型电脑利润即可得到y与x的函数关系式；
(2)根据筹集到资金12.12万元，全部销售后利润不少于1.6万元，列不等式组，可解得答案；
(3)由一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数及一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∵EF//BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，EF//AD，
∴BE=CF，∠ADB=∠EMB，
∴∠ABD=∠EMB，
∴BE=EM，
∴CF=EM．
【解析】由平行四边形的性质得AB//CD，AD//BC，AB=AD，再证四边形BCFE是平行四边形，EF//AD，得BE=CF，然后证∠ABD=∠EMB，则BE=EM，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设Q(x,y)是正方形ABCD上一点，则有，
x+32=2y+02=0，解得：x=1y=0，
∵(1,0)在正方形ABCD上，
∴P1是正方形ABCD关于点M的倍点；
同理可得：P2不满足条件，P3满足条件，
∴正方形ABCD关于点M的倍点为P1，P3，
故答案为：P1，P3；
(2)设直线y=x上存在的点的坐标为(a,b)，正方形上的点的坐标为(x,y)，
则x+a2=2b+y2=t，解得：a=4−xb=2t−y，
∵点(a,b)在直线y=x上，则a=b，
∴y−x=2t−4，
∵−2≤y−x≤2，即−2≤2t−4≤2，
解得：1≤t≤3；
(3)−3≤b≤−2或2≤b≤3．
【解析】(1)根据“倍点”的定义，逐一判断即可；
(2)设直线y=x上存在的点的坐标为(a,b)，正方形上的点的坐标为(x,y)，再根据“倍点”的定义
得出a=4−xb=2t−y，最后根据y−x=2t−4，得出结果；
本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19.【答案】(1)证明：∵点E是AB中点，点F是AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，EF=12BC，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，
∴EF//AD，
∵EG//AF，
∴四边形AGEF是平行四边形；
(2)过点F作FH⊥AD于点H，如图所示：
∵EG//AF，
∴∠HAF=∠AGE，
∵sin∠AGE=35，
∴sin∠HAF=HFAF=35，
∵AC=10，F是AC的中点，
∴AF=5，
∴HF=3，
在Rt△AHF中，根据勾股定理，得AH=4，
∵BC=12，
∴EF=6，
∵四边形AGEF是平行四边形，
∴AG=EF=6，
∴GH=6+4=10，
在Rt△HGF中，根据勾股定理，得GF= 9+100= 109．
【解析】(1)根据已知条件，可得EF是△ABC的中位线，根据中位线定理可得EF//AG，又因为EG//AF，即可得证；
(2)过点F作FH⊥AD于点H，根据已知条件求出HF的长，再根据平行四边形的性质可得AG的长，进一步求出GH的长，根据勾股定理，即可求出GF的长．
本题考查了平行四边形的判定和性质，涉及解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设y1=k1x，
把(1,300)代入得，k1=300，
∴y1=300x；
设y2=k2x+b，把(0,200)，(2,720)代入得，
b=2002k2+b=720，
解得k2=260b=200，
∴y2=260x+200；
(2)当y1>y2时，即300x>260x+200时，解得，x>5；
当y1=y2时，即300x=260x+200时，解得，x=5；
当y1
【解析】(1)根据函数图象中的数据，可以分别求得y1，y2关于x的函数表达式；
(2)根据(1)中的函数解析式，可以得到相应的不等式，从而可以写出选择租用哪个公司的车自驾出游比较合算．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
21.【答案】(1)证明：如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，正方形ABCD关于BD对称，
∴∠BAE=∠BCE，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF+∠ABC=180°，
∴∠BAE+∠BFE=180°，
∵∠EFC+∠BFE=180°，
∴∠BAE=∠EFC，
∴∠BCE=∠EFC，即∠ECF=∠EFC，
∴EC=EF；
(2)解：①当BF=13BC=2时，如图，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，
∴∠EMF=90°，CF=4，
由(1)知，AE=CE=EF，
∴FM=12CF=2，
∵AD//BC，
∴∠ANE=90°=∠EMF，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEN+∠MEF=90°，
∵∠EFM+∠MEF=90°，
∴∠AEN=∠EFM，
在△ANE和△EMF中，
∠ANE=∠EMF∠AEN=∠EFMAE=EF，
∴△ANE≌△EMF(AAS)，
∴EN=FM=2，
∵∠NDE=45°，∠END=90°，
∴△DNE为等腰直角三角形，
∴DE= 2EN=2 2；
②当CF=13BC=2时，如图，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，
同理可得：FM=12CF=1，△ANE≌△EMF(AAS)，
∴EN=FM=1，
∵∠NDE=45°，∠END=90°，
∴△DNE为等腰直角三角形，
∴DE= 2EN= 2；
综上，DE=2 2或 2；
(3)解：如图，连接CE，交BG于点P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BC，
∴AB=BE=BC，
∴∠BAE=∠BEA=67.5°，
∠BEC=∠BCE=67.5°，
∵EF⊥AE，
∴∠PEH=∠AEB+∠BEC−∠AEF=67.5°+67.5°−90°=45°，
∵BE=BC，
∴△BCE为等腰三角形，
∵BG平分∠CBD，
∴BP⊥CE，即∠BPE=90°，EP=CP=12CE，
∴△PEH为等腰直角三角形，PE= 22EH，
∵AE=CE=2PE，
∴AE= 2EH．
【解析】(1)由正方形的性质可得∠ABC=90°，正方形ABCD关于BD对称，进而可得∠BAE=∠BCE，易得∠AEF+∠ABC=180°，由四边形内角和等于360°可得∠BAE+∠BFE=180°，根据平角的定义可知∠EFC+∠BFE=180°，于是得到∠BAE=∠EFC=∠BCE，最后根据等角对等边即可证明；
(2)分两种情况讨论：①当BF=13BC=2时，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，则∠EMF=90°，CF=4，由(1)可知AE=CE=EF，由等腰三角形的性质可得FM=12CF=2，由同角的余角相等可得∠AEN=∠EFM，于是可通过AAS证明△ANE≌△EMF，得到EN=FM=2，易得△DNE为等腰直角三角形，则DE= 2EN；②当CF=13BC=2时，过点E作EM⊥BC于点M，延长ME交AD于点N，同理可得FM=12CF=1，△ANE≌△EMF(AAS)，于是EN=FM=1，则DE= 2EN；
(3)连接CE，交BG于点P，由正方形的性质可得AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，进而得到AB=BE=BC，由等腰三角形的性质求得∠BAE=∠BEA=67.5°，∠BEC=∠BCE=67.5°，于是∠PEH=∠AEB+∠BEC−∠AEF=45°，由等腰三角形三线合一性质可知∠BPE=90°，EP=12CE，以此可得△PEH为等腰直角三角形，PE= 22EH，由AE=CE=2PE即可得到结论．
本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是：(1)由轴对称的性质、四边形内角和为360°、平角的定义推出∠BAE=∠EFC=∠BCE；(2)正确作出辅助线，构造合适的全等三角形，并学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题；(3)由等腰三角形的性质和角之间的数量关系推理论证得出△PEH为等腰直角三角形．
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