2022-2023学年新疆乌鲁木齐市等五地八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐市等五地八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市等五地八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共7小题，共28.0分.）
1. 函数中，自变量的取值范围是(    )
A. B. C. 且 D.
2. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是(    )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3. 如图，以为直径分别向外作半圆，若，，则(    )


A. B. C. D.
4. 在▱中，的平分线交于，，则的大小为(    )

A. B. C. D.
5. 已知点、在函数图象上，则与的大小关系是(    )
A. B. C. D. 无法确定
6. 为了丰富校园文化，学校艺术节举行初中生书法大赛，设置了个获奖名额．结果共有名选手进入决赛，且决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛得分，要判断它是否获奖，只需知道学生决赛得分的(    )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
7. 两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，相关数据如图所示，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点的距离是(    )

A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，共18.0分）
8. 把，两组数据分别画成下面的图和图，比较这两幅图，可以看出，          组数据的方差较大，          组数据的波动较小．


9. 如图，将▱放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是          ．






10. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，如果，，那么线段的长度是          ．






11. 在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，联结、、，如图，如果，那么______．


12. 如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀称三角形”在中，，，若是“匀称三角形”，那么：：______．
13. 乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点时，剪出的等腰三角形的面积是______．
三、解答题（共8小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 本小题分
计算：
；
．
15. 本小题分
已知，，试求代数式的值．
16. 本小题分
面临毕业季，某电脑营销商瞄准时机，在五月底筹集到资金万元，用于一次性购进、两种型号的电脑共台．根据市场需求，这些电脑可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中电脑的进价和售价见下表：

型电脑
型电脑
进价元台


售价元台


设营销商计划购进型电脑台，电脑全部销售后获得的利润为元．
试写出与的函数关系式；
该营销商有几种购进电脑的方案可供选择？
该营销商选择哪种购进电脑的方案获利最大？最大利润是多少？
17. 本小题分
如图，在菱形中，为边上一点，过点作，交于点，交于点求证：．






18. 本小题分
已知点和图形，为图形上一点，若存在点，使得点为线段的中点不重合，则称点为图形关于点的倍点．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，．


若点的坐标为，则在，，中，是正方形关于点的倍点的是______；
点的坐标为，若在直线上存在正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围；
点为正方形边上一动点，直线与轴交于点，与轴交于点，若线段上的所有点均可成为正方形关于点的倍点，直接写出的取值范围．
19. 本小题分
如图，▱中，连接，点是中点，点是的中点，连接，过作交的延长线于点．

求证：四边形是平行四边形；
若，，，连接，求的长．
20. 本小题分
年的暑假，李刚和他的父母计划去新疆旅游，他们打算坐飞机到乌鲁木齐，第二天租用一辆汽车自驾出游．

甲公司：无固定租金，直接以租车时间计算，每天的租车费是元；
乙公司：先收取固定租金元，再按租车时间收取租金．

方案一：选择甲公司
方案二：选择乙公司
选择哪个方案合算呢？
根据以上信息，解答下列问题：
设租车时间为天，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式；
请你帮助李刚，选择租用哪个公司的车自驾出游比较合算，并说明理由．

21. 本小题分
在正方形中，，点为对角线上一点不与、重合，且，连接，过点作交于点，请根据题意，补全图形．
连接，求证：：
当点恰为的三等分点时，求的长；
作平分交于点交于点，当时，试判断与的数量关系．


答案和解析

1.【答案】 
解：依题意得：且，
解得且．
故选：．
根据分式的分母不为零、被开方数是非负数来求的取值范围．
本题考查了函数自变量的取值范围．本题属于易错题，同学们往往忽略分母这一限制性条件而解错．

2.【答案】 
解：、，，
，
不能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不能组成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能组成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

3.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和圆的面积的应用，
根据圆面积公式结合勾股定理证明：，即以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积，根据勾股定理，得：，再根据圆面积公式，可以证明：即．
【解答】
解：，；
；
；
，
故．
故选A．  
4.【答案】 
解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故选：．
由在平行四边形中，的平分线交于，易证得，又由，即可求得的大小．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握数形结合思想的应用．

5.【答案】 
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
【解答】
解：一次函数中，，
随着的增大而减小．
点和是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．  
6.【答案】 
解：个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：．
由于比赛设置了个获奖名额，共有名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．

7.【答案】 
解：甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为，
则，
解得．
在直角中，已知，，


．
根据三角形的面积公式可知直角斜边上的高是，
所以乙杯中的液面与图中点的距离是．
故选：．
首先根据液体的体积相等可求得液体在乙中的高度．在直角三角形中，求得直角边为，斜边是，可以求出另一直角边就是，然后根据三角形的面积可知直角三角形的斜边上的高是，所以可求出乙杯中的液面与图中点的距离．
本题是一道圆柱与解直角三角形的综合题，要求乙杯中的液面与图中点的距离，就要求直角三角形中的高和乙杯中的液体的高度．

8.【答案】 

 
【解析】
【分析】
根据方差的意义解答即可．
本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】
解：比较这两幅图，可以看出，组数据的方差较大，组数据的波动较小．
故答案为：；．  
9.【答案】 
【解析】
【分析】
延长交轴于点，根据已知可得，利用平行四边形的性质可得，，再根据点的坐标可得，，从而求出的长，即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【解答】
解：延长交轴于点，

点的坐标是，
，
四边形是平行四边形，
，，
点的坐标是，
，，
，
点的坐标是，
故答案为：．  
10.【答案】 
【解析】
【分析】
由作法得，利用勾股定理计算出，然后利用面积法求的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理．
【解答】
解：由作法得，
在中，，
，
．
故答案为：．  
11.【答案】 
解：连接，过点作于点，延长交于点，如图所示：

，
在正方形中，，
四边形是矩形，
，，
根据翻折，可得≌，
，，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，，，，
，，
，
，
，
，且，
，
∽，
，
设，，则，，
，
，
，，
，
解得，
，，
根据勾股定理，得，
故答案为：．
连接，过点作于点，延长交于点，先证明四边形是矩形，可得，，根据翻折可得，，再根据，可得是的中点，根据正方形的性质，易证∽，可得，设，，列二元一次方程组，求出和的值，再根据勾股定理可得的长．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，本题综合性较强，属于中考常考题型．

12.【答案】：： 
解：根据题意作图如下：

，
，
设，则，，
，
：：：：，
故答案为：：：．
根据题意做出图形，设为，根据“匀称三角形”的定义求出三角形的各边长即可得出结论．
本题主要考查勾股定理，三角形中线，特殊角三角函数等知识，正确理解“匀称三角形”的定义是解题的关键．

13.【答案】或 
解：如图：时，是等腰直角三角形，

则；
如图：时，是等腰三角形，

在中，，，，
则，即，
解得，
则．
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是或．
故答案为：或．

要分两种情况进行讨论：时，是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；时，是等腰三角形，根据勾股定理可求，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积．
此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握三角形的面积计算．

14.【答案】解：原式
；
原式
． 
【解析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先根据算乘方，乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算及平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

15.【答案】解：，，
，，
． 
【解析】先利用、得我值计算出，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．

16.【答案】解：根据表格可得：，
；
由题意可得：，
解得，
为整数，
可取，，，
该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；
由至，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为元，
此时台，
答：当进型电脑台，型电脑台时，获利最大为元． 
【解析】由总利润型电脑利润型电脑利润即可得到与的函数关系式；
根据筹集到资金万元，全部销售后利润不少于万元，列不等式组，可解得答案；
由一次函数性质可得答案．
本题考查一次函数及一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和不等式组．

17.【答案】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
，
，
． 
【解析】由平行四边形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，，得，然后证，则，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

18.【答案】解：设是正方形上一点，则有，
，解得：，
在正方形上，
是正方形关于点的倍点；
同理可得：不满足条件，满足条件，
正方形关于点的倍点为，，
故答案为：，；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，
则，解得：，
点在直线上，则，
，
，即，
解得：；
或． 
【解析】根据“倍点”的定义，逐一判断即可；
设直线上存在的点的坐标为，正方形上的点的坐标为，再根据“倍点”的定义
得出，最后根据，得出结果；
本题考查了一次函数的性质，中点坐标公式及“倍点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

19.【答案】证明：点是中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
在平行四边形中，，
，
，
四边形是平行四边形；
过点作于点，如图所示：

，
，
，
，
，是的中点，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在中，根据勾股定理，得． 
【解析】根据已知条件，可得是的中位线，根据中位线定理可得，又因为，即可得证；
过点作于点，根据已知条件求出的长，再根据平行四边形的性质可得的长，进一步求出的长，根据勾股定理，即可求出的长．
本题考查了平行四边形的判定和性质，涉及解直角三角形，勾股定理，三角形的中位线定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．

20.【答案】解：设，
把代入得，，
；
设，把，代入得，
，
解得，
；
当时，即时，解得，；
当时，即时，解得，；
当时，即时，解得，．
答：他们自驾出游大于天时，选择方案二，租用乙公司的车比较合算；他们自驾出游等于天时，两家公司的费用相同；他们自驾出游小于天时，选择方案一，租用甲公司的车比较合算． 
【解析】根据函数图象中的数据，可以分别求得，关于的函数表达式；
根据中的函数解析式，可以得到相应的不等式，从而可以写出选择租用哪个公司的车自驾出游比较合算．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

21.【答案】证明：如图，

四边形为正方形，
，正方形关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
；
解：当时，如图，过点作于点，延长交于点，

，，
由知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
为等腰直角三角形，
；
当时，如图，过点作于点，延长交于点，

同理可得：，≌，
，
，，
为等腰直角三角形，
；
综上，或；
解：如图，连接，交于点，

四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，
平分，
，即，，
为等腰直角三角形，，
，
． 
【解析】由正方形的性质可得，正方形关于对称，进而可得，易得，由四边形内角和等于可得，根据平角的定义可知，于是得到，最后根据等角对等边即可证明；
分两种情况讨论：当时，过点作于点，延长交于点，则，，由可知，由等腰三角形的性质可得，由同角的余角相等可得，于是可通过证明≌，得到，易得为等腰直角三角形，则；当时，过点作于点，延长交于点，同理可得，≌，于是，则；
连接，交于点，由正方形的性质可得，，进而得到，由等腰三角形的性质求得，，于是，由等腰三角形三线合一性质可知，，以此可得为等腰直角三角形，，由即可得到结论．
本题主要考查正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是：由轴对称的性质、四边形内角和为、平角的定义推出；正确作出辅助线，构造合适的全等三角形，并学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题；由等腰三角形的性质和角之间的数量关系推理论证得出为等腰直角三角形．