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2022-2023学年山东省济宁市兖州区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济宁市兖州区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市兖州区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果二次根式 3−x有意义，那么x的取值范围是( )
A. x≥0 B. x≥3 C. x≤3 D. x≠3
2. 下列二次根式中，能与 3合并的是( )
A. 2 B. 5 C. 18 D. 12
3. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，像这样，经过不相邻两个顶点的两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．对于如图的筝形ABCD，可以证明它具有的性质是( )
A. 各对邻边分别相等
B. 对角线互相平分
C. 两组对角分别相等
D. 对角线互相垂直
4. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图(如图)由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )
A. 72 B. 52 C. 80 D. 76
6. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是( )
A. 3米
B. 4米
C. 5米
D. 6米
7. 期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对( )
A. 平均数、众数 B. 中位数、众数 C. 中位数、方差 D. 平均数、中位数
8. 若一次函数y=kx+b(k,b都是常数)的图象经过第一、二、三象限，则一次函数y=bx−k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE.则∠BEC′的大小为( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
10. 如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE=CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 我区2022年和2023年5月1日至5日每日平均气温(单位：°C )如下表：
1日
2日
3日
4日
5日
2022年
26
27
30
28
30
2023年
28
27
26
18
20
则这五天的平均气温更稳定的是______ 年(填“2022”或“2023”)．
12. 木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面______.(填“合格”或“不合格”)
13. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可)．
14. 图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点(0,1)和(1,4)，平移后这两点分别为(2,1)和(3,4)，则平移后直线的解析式为y=3x−5，现将直线y=−3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为______．
15. 如图，已知正方形OABC的顶点B在直线y=−2x上，点A在第一象限.若正方形OABC的面积是10，则点A的坐标为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
16. 计算：( 5−1)2+ 5( 5+2)．
四、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题7.0分)
“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水⋅珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下：
七年级：92，75，82，96，84，90，85，97，85，92，68，100，85，86，95，85，89，90，91，93．
八年级：90，87，93，97，90，84，92，72，100，80，90，91，59，93，87，90，82，91，92，100．
【整理与分析数据】
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
1
8
a
八年级
1
0
1
5
13
【应用数据】
平均数
众数
中位数
七年级
88
85
b
八年级
88
c
91
(1)由上表填空：a=______，b=______，c=______；
(2)若成绩不低于90分为优秀等次，该校七、八年级共有学生1600人，请你估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有多少人？
(3)你认为哪个年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，请从两个不同的角度说明理由．
18. (本小题6.0分)
如图，从一块三角形下脚料ADB截出一个△ACD的工件，其中AD=24dm，AB=30dm，AC=25dm，CD=7dm，求剩余部分△ABC的面积．
19. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E是BC上一点，过点E作直线EF，交AD与点F，分别交AB、CD的延长线于点G、H，且EG=FH.求证：BE=DF．
20. (本小题9.0分)
如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，这两条平行线交于点E．
(1)求证：四边形OBEC是菱形；
(2)若AB=2，AD=2 3，求菱形OBEC的面积．
21. (本小题11.0分)
2022年上半年，受“俄乌战争”等因素的影响，国际国内油价持续上涨，新能源纯电动汽车热销．某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于行驶路程x(千米)的函数图象如图所示，其中AB段的平均能耗为14千瓦时/百千米(100千米平均能耗为14千瓦时)，BC段的平均能耗为20千瓦时/百千米．
(1)图中a=______，b=______；
(2)求出y关于x的函数解析式，并计算当汽车行驶200千米时，蓄电池的剩余电量；
(3)发现某品牌的燃油车平均油耗为7升/百千米(100千米平均油耗为7升)，若95号汽油价格为10元/升，则当这种电动汽车行驶350千米时，比燃油车节省多少元？(电费0.5元/千瓦时)
22. (本小题11.0分)
如图，直线l1：y=kx+1与x轴交于点D，直线l2：y=−x+b与x轴交于点A，且经过定点B(−1,5)，直线l1与l2交于点C(2,m)．
(1)填空：k= ______ ；b= ______ ；m= ______ ；
(2)在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒.是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：二次根式 3−x有意义，则3−x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、 5与 3不能合并，故B不符合题意；
C、 18=3 2，与 3不能合并，故C不符合题意；
D、 12=2 3，与 3能合并，故D符合题意；
故选：D．
根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可解答．
本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分线段BD．
∴筝形的AC⊥BD或AC垂直平分线段BD．
故选：D．
根据线段的垂直平分线的定义即可判定AC垂直平分线段BD.进而可以解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形；
B.是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
5.【答案】D
【解析】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169，
所以x=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．
故选：D．
本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
6.【答案】C
【解析】解：设OA=OB=x米，
∵BC=DE=3米，DC=1.5米，
∴CA=DC−AD=1.5−0.5=1(米)，OC=OA−AC=(x−1)米，
在Rt△OCB中，OC=(x−1)米，OB=x米，BC=3米，
根据勾股定理得：x2=(x−1)2+32，
解得：x=5，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
设OA=OB=x米，用x表示出OC的长，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，
∴90分是这组数据的中位数，
∵大部分的学生都考在85分到90分之间，
∴众数在此范围内．
故选：B．
根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断90分是中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．
8.【答案】B
【解析】根据一次函数y=kx+b(k,b都是常数)的图象经过第一、二、三象限和一次函数的性质可以得到k、b的正负情况，从而可以得到一次函数y=bx−k的图象经过哪几个象限．
解：∵一次函数y=kx+b(k,b都是常数)的图象经过第一、二、三象限，
∴k>0，b>0，
∴一次函数y=bx−k的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是判断出k、b的正负情况．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′，
在△DEC中，∠DEC=∠DEC′=180°−(∠CDE+∠C)=75°，
∴∠BEC′=180°−∠DEC−∠DEC′=30°，
故选：C．
连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°．
在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF=90°BE=CF,
∴△ABE≌△BCF(SAS)．
∴AE=BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE=HE，
所以AE+DE=DH．
在Rt△ADH中，AD=1，AH=2，
∴DH= AH2+AD2= 5，
∴BF+DE最小值为 5．
故选：C．
连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE=AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
11.【答案】2022
【解析】解：2022年的平均气温为26+27+28+30+305=28.2，
则其方差为15×[(26−28.2)2+(27−28.2)2+(28−28.2)2+2×(30−28.2)2]=2.56，
2023年的平均气温为18+20+26+27+285=23.8，
则其方差为15×[(18−23.8)2+(20−23.8)2+(26−23.8)2+(27−23.8)2+(28−23.8)2]=16.16，
∵2.56<16.16，
∴这五天的平均气温更稳定的是2022年，
故答案为：2022．
先根据方差的定义列式计算出2022、2023年的方差，再依据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12.【答案】不合格
【解析】解：不合格，
理由：∵802+1002=16400≠1302，
即：AD2+DC2≠AC2，
∴∠D≠90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格．
故答案为：不合格．
只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
13.【答案】BE=CF(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．由平行四边形的性质得AD//BC，AD=BC，再证AD=EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证∠AEF=90°，即可得出结论．
【解答】
解：添加条件为：BE=CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
∴AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD是矩形．
故答案为BE=CF(答案不唯一)
14.【答案】y=3x−2
【解析】解：在直线y=−3x+2上任意取两点(0,2)和(1,−1)，
∵直线y=−3x+2关于x轴对称，
∴点(0,2)的对称点为(0,−2)，点(1,−1)的对称点为(1,1)，
设对称后直线的解析式为y=kx+b，
∴b=−2k+b=1解得k=3b=−2
∴对称后直线的解析式为y=3x−2．
故答案为：y=3x−2．
在直线y=−3x+2上任意取两点(0,2)和(1,−1)，对称后这两点分别为(0,−2)和(1,1)，然后利用待定系数法即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，利用待定系数法求解是解题的关键．
15.【答案】(1,3)
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM，交MA的延长线于点N，BN交y轴于点K，如图所示：
则∠AMO=∠N=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
在正方形ABCO中，∠OAB=90°，AO=AB，
∴∠BAN+∠OAM=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
∴△AMO≌△BNA(AAS)，
∴BN=AM，OM=AN，
∵正方形OABC的面积是10，
∴AO=BO= 10，
根据勾股定理，可得BO=2 5，
∵点B在直线y=−2x上，
设点B坐标为(m,−2m)，
∴BK=−m，OK=−2m，
根据勾股定理，可得(−m)2+(−2m)2=20，
解得m=−2或m=2(舍)，
∴BK=2，OK=4，
设OM=t，
则AN=t，AM=4−t，
∴2+t=4−t，
解得t=1，
∴OM=1，AM=3，
∴点A坐标为(1,3)，
故答案为：(1,3)．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM，交MA的延长线于点N，BN交y轴于点K，易证△AMO≌△BNA(AAS)，可得BN=AM，OM=AN，根据已知条件可得点B坐标，设OM=t，根据BN=AM列方程，求解即可．
本题考查了正方形的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质等，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：( 5−1)2+ 5( 5+2)
=5−2 5+1+5+2 5
=11．
【解析】先利用完全平方公式与乘法分配律将括号展开，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)10，89.5 ，90；
(2)1600×13+1020×2=920(人)，
答：估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有920人；
(3)八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，
理由：①八年级的众数高于七年级；
②八年级的中位数高于七年级．
(答案不唯一)
【解析】解：(1)a=20−1−1−8=10，
∵七年级20名学生的竞赛成绩的中位数是第10和第11个数据的平均数，
∴b=89+902=89.5，
∵在八年级20名学生的竞赛成绩中90出现的次数最多，
∴c=90，
故答案为：10，89.5，90；
(2)1600×13+1020×2=920(人)，
答：估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有920人；
(3)八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，
理由：①八年级的众数高于七年级；
②八年级的中位数高于七年级．
(答案不唯一)
(1)根据中位数和众数的定义即可得到结论；
(2)利用样本估计总体思想求解可得；
(3)根据中位数、众数即可得出结论．
此题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，频数分布表，从统计表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
18.【答案】解：∵AD=24dm，AC=25dm，CD=7dm，
∴AD2+CD2=242+72=625=AC2，
∴∠D=90°，
在直角△ADB中，BD= AB2−AD2= 302−242=18(dm)，
∴S△ABC=12AD⋅BC=12×24×(18−7)=132(dm2).
【解析】由勾股定理的逆定理推知△ACD为直角三角形，然后在直角△ADB中，利用勾股定理求得BD的长度，则根据三角形的面积公式求得剩余部分△ABC的面积．
此题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式，关键是得到∠D=90°．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠ABC=∠ADC，
∴∠E=∠F，∠EBG=∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
∠E=∠F∠EBG=∠FDHEG=FH，
∴△BEG≌△DFH(AAS)．
∴BE=DF．
【解析】由“AAS”可证△BEG≌△DFH，可得BE=DF．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，OB=12BD，OC=12AC，
∴OB=OC，
∴四边形OBEC是菱形；
(2)解：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=2 3，OA=OC，
∴S△ABC=2S△OBC，
∵S菱形OBEC=2S△OBC，
∴S菱形OBEC=S△ABC=12AB⋅BC=12×2×2 3=2 3．
【解析】(1)先证四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质推出OB=OC，即可得出结论；
(2)易证S△ABC=2S△OBC，再由S菱形OBEC=2S△OBC，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、三角形面积和菱形面积计算等知识；熟练掌握菱形的判定与菱形的面积计算是解题的关键．
21.【答案】18 390
【解析】解：(1)∵AB段的平均能耗为14千瓦时/百千米，
∴a=60−14×300100=18，
∵BC段的平均能耗为20千瓦时/百千米，
∴b=300+1820×100=390，
故答案为：18，390；
(2)当0≤x≤300时，设直线AB为y=kx+b，
把A(0,60)B(300,18)代入得，
b=60300k+b=18，
解得k=−750b=60，
∴y=−750x+60，
当300
300k′+b′=18390k′+b′=0，
解得k′=−15b′=78，
∴y=−15x+78，
∴y=−750x+60(0≤x≤300)−15x+78(300
(3)燃油车费用：350100×7×10=245(元)，
当x=350时，y=−15×350+78=8(千瓦时)，电动车费用：(60−8)×0.5=26(元)，
∴行驶350千米时，电动车比燃油车节省245−26=219(元)．
(1)由AB段的平均能耗为14千瓦时/百千米，得a=18，由BC段的平均能耗为20千瓦时/百千米，得b=300+1820×100=390；
(2)分两种情况：当0≤x≤300时，设直线AB为y=kx+b，当300
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22.【答案】12 4 2
【解析】解：(1)∵直线l2：y=−x+b与x轴交于点A，且经过定点B(−1,5)，
∴5=1+b，
∴b=4，
∴直线l2：y=−x+4，
∵直线l2：y=−x+4经过点C(2,m)，
∴m=−2+4=2，
∴C(2,2)，
把C(2,2)代入y=kx+1，得到k=12．
∴k=12，b=4，m=2．
故答案为：12，4，2；
(2)作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．
∵B(−1,5)，C′(2,−2)，
∴直线BC′的解析式为y=−73x+83，
令y=0，得到x=87，
∴E(87,0)，
∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E(87,0)；
(3)∵点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，直线l1：y=12x+1，
∴D(−2,0)，
∵C(2,2)，
∴CD= (2+2)2+22=2 5，
∵点P的运动时间为t秒．
∴DP=t，
分两种情况：①点P在线段DC上，
∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴CPDP=13，
∴DPCD=34，
∴DP=34×2 5=3 52，
∴t=3 52；
②点P在线段DC的延长线上，
∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴CPDP=13，
∴DPCD=32，
∴DP=32×2 5=3 5，
∴t=3 5．
综上：存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3，t的值为3 52或3 5．
(1)利用待定系数法求解即可．
(2)作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．求出直线BC′的解析式，即可解决问题；
(3)分两种情况：①点P在线段DC上，②点P在线段DC的延长线上，由△ACP和△ADP的面积比为1：3，可得CPDP=13，根据比例的性质即可求解．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年山东省济宁市兖州区八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果二次根式 3−x有意义，那么x的取值范围是( )
A. x≥0 B. x≥3 C. x≤3 D. x≠3
2. 下列二次根式中，能与 3合并的是( )
A. 2 B. 5 C. 18 D. 12
3. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，像这样，经过不相邻两个顶点的两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．对于如图的筝形ABCD，可以证明它具有的性质是( )
A. 各对邻边分别相等
B. 对角线互相平分
C. 两组对角分别相等
D. 对角线互相垂直
4. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图(如图)由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )
A. 72 B. 52 C. 80 D. 76
6. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是( )
A. 3米
B. 4米
C. 5米
D. 6米
7. 期末考试后，办公室里有两位数学老师正在讨论他们班的数学考试成绩，邱老师：“我班的学生考得还不错，有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，”张老师：“我班大部分的学生都考在85分到90分之间，“依照上面两位老师所叙述的话你认为邱者师、张者师所说的话分别针对( )
A. 平均数、众数 B. 中位数、众数 C. 中位数、方差 D. 平均数、中位数
8. 若一次函数y=kx+b(k,b都是常数)的图象经过第一、二、三象限，则一次函数y=bx−k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE.则∠BEC′的大小为( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
10. 如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE=CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 我区2022年和2023年5月1日至5日每日平均气温(单位：°C )如下表：
1日
2日
3日
4日
5日
2022年
26
27
30
28
30
2023年
28
27
26
18
20
则这五天的平均气温更稳定的是______ 年(填“2022”或“2023”)．
12. 木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面______.(填“合格”或“不合格”)
13. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可)．
14. 图形的变换就是点的变换，例如将直线y=3x+1向右平移2个单位，求平移后直线的解析式，我们不妨先在直线y=3x+1上任意取两点(0,1)和(1,4)，平移后这两点分别为(2,1)和(3,4)，则平移后直线的解析式为y=3x−5，现将直线y=−3x+2关于x轴对称，则对称后直线的解析式为______．
15. 如图，已知正方形OABC的顶点B在直线y=−2x上，点A在第一象限.若正方形OABC的面积是10，则点A的坐标为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
16. 计算：( 5−1)2+ 5( 5+2)．
四、解答题（本大题共6小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题7.0分)
“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水⋅珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下：
七年级：92，75，82，96，84，90，85，97，85，92，68，100，85，86，95，85，89，90，91，93．
八年级：90，87，93，97，90，84，92，72，100，80，90，91，59，93，87，90，82，91，92，100．
【整理与分析数据】
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
1
8
a
八年级
1
0
1
5
13
【应用数据】
平均数
众数
中位数
七年级
88
85
b
八年级
88
c
91
(1)由上表填空：a=______，b=______，c=______；
(2)若成绩不低于90分为优秀等次，该校七、八年级共有学生1600人，请你估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有多少人？
(3)你认为哪个年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，请从两个不同的角度说明理由．
18. (本小题6.0分)
如图，从一块三角形下脚料ADB截出一个△ACD的工件，其中AD=24dm，AB=30dm，AC=25dm，CD=7dm，求剩余部分△ABC的面积．
19. (本小题6.0分)
如图，在▱ABCD中，点E是BC上一点，过点E作直线EF，交AD与点F，分别交AB、CD的延长线于点G、H，且EG=FH.求证：BE=DF．
20. (本小题9.0分)
如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作BD的平行线，这两条平行线交于点E．
(1)求证：四边形OBEC是菱形；
(2)若AB=2，AD=2 3，求菱形OBEC的面积．
21. (本小题11.0分)
2022年上半年，受“俄乌战争”等因素的影响，国际国内油价持续上涨，新能源纯电动汽车热销．某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于行驶路程x(千米)的函数图象如图所示，其中AB段的平均能耗为14千瓦时/百千米(100千米平均能耗为14千瓦时)，BC段的平均能耗为20千瓦时/百千米．
(1)图中a=______，b=______；
(2)求出y关于x的函数解析式，并计算当汽车行驶200千米时，蓄电池的剩余电量；
(3)发现某品牌的燃油车平均油耗为7升/百千米(100千米平均油耗为7升)，若95号汽油价格为10元/升，则当这种电动汽车行驶350千米时，比燃油车节省多少元？(电费0.5元/千瓦时)
22. (本小题11.0分)
如图，直线l1：y=kx+1与x轴交于点D，直线l2：y=−x+b与x轴交于点A，且经过定点B(−1,5)，直线l1与l2交于点C(2,m)．
(1)填空：k= ______ ；b= ______ ；m= ______ ；
(2)在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP，设点P的运动时间为t秒.是否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：二次根式 3−x有意义，则3−x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、 5与 3不能合并，故B不符合题意；
C、 18=3 2，与 3不能合并，故C不符合题意；
D、 12=2 3，与 3能合并，故D符合题意；
故选：D．
根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可解答．
本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分线段BD．
∴筝形的AC⊥BD或AC垂直平分线段BD．
故选：D．
根据线段的垂直平分线的定义即可判定AC垂直平分线段BD.进而可以解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形；
B.是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
5.【答案】D
【解析】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2=122+52=169，
所以x=13，
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76．
故选：D．
本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
6.【答案】C
【解析】解：设OA=OB=x米，
∵BC=DE=3米，DC=1.5米，
∴CA=DC−AD=1.5−0.5=1(米)，OC=OA−AC=(x−1)米，
在Rt△OCB中，OC=(x−1)米，OB=x米，BC=3米，
根据勾股定理得：x2=(x−1)2+32，
解得：x=5，
则秋千的长度是5米．
故选：C．
设OA=OB=x米，用x表示出OC的长，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，
∴90分是这组数据的中位数，
∵大部分的学生都考在85分到90分之间，
∴众数在此范围内．
故选：B．
根据两位老师的说法中的有一半的学生考90分以上，一半的学生考不到90分，可以判断90分是中位数，大部分的学生都考在85分到90分之间，可以判断众数．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是抓住题目中的关键词语．
8.【答案】B
【解析】根据一次函数y=kx+b(k,b都是常数)的图象经过第一、二、三象限和一次函数的性质可以得到k、b的正负情况，从而可以得到一次函数y=bx−k的图象经过哪几个象限．
解：∵一次函数y=kx+b(k,b都是常数)的图象经过第一、二、三象限，
∴k>0，b>0，
∴一次函数y=bx−k的图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是判断出k、b的正负情况．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′，
在△DEC中，∠DEC=∠DEC′=180°−(∠CDE+∠C)=75°，
∴∠BEC′=180°−∠DEC−∠DEC′=30°，
故选：C．
连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°．
在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF=90°BE=CF,
∴△ABE≌△BCF(SAS)．
∴AE=BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE=HE，
所以AE+DE=DH．
在Rt△ADH中，AD=1，AH=2，
∴DH= AH2+AD2= 5，
∴BF+DE最小值为 5．
故选：C．
连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF+DE=AE+DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
11.【答案】2022
【解析】解：2022年的平均气温为26+27+28+30+305=28.2，
则其方差为15×[(26−28.2)2+(27−28.2)2+(28−28.2)2+2×(30−28.2)2]=2.56，
2023年的平均气温为18+20+26+27+285=23.8，
则其方差为15×[(18−23.8)2+(20−23.8)2+(26−23.8)2+(27−23.8)2+(28−23.8)2]=16.16，
∵2.56<16.16，
∴这五天的平均气温更稳定的是2022年，
故答案为：2022．
先根据方差的定义列式计算出2022、2023年的方差，再依据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12.【答案】不合格
【解析】解：不合格，
理由：∵802+1002=16400≠1302，
即：AD2+DC2≠AC2，
∴∠D≠90°，
∴四边形ABCD不是矩形，
∴这个桌面不合格．
故答案为：不合格．
只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
13.【答案】BE=CF(答案不唯一)
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．由平行四边形的性质得AD//BC，AD=BC，再证AD=EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证∠AEF=90°，即可得出结论．
【解答】
解：添加条件为：BE=CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，
即BC=EF，
∴AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD是矩形．
故答案为BE=CF(答案不唯一)
14.【答案】y=3x−2
【解析】解：在直线y=−3x+2上任意取两点(0,2)和(1,−1)，
∵直线y=−3x+2关于x轴对称，
∴点(0,2)的对称点为(0,−2)，点(1,−1)的对称点为(1,1)，
设对称后直线的解析式为y=kx+b，
∴b=−2k+b=1解得k=3b=−2
∴对称后直线的解析式为y=3x−2．
故答案为：y=3x−2．
在直线y=−3x+2上任意取两点(0,2)和(1,−1)，对称后这两点分别为(0,−2)和(1,1)，然后利用待定系数法即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，利用待定系数法求解是解题的关键．
15.【答案】(1,3)
【解析】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM，交MA的延长线于点N，BN交y轴于点K，如图所示：
则∠AMO=∠N=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
在正方形ABCO中，∠OAB=90°，AO=AB，
∴∠BAN+∠OAM=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
∴△AMO≌△BNA(AAS)，
∴BN=AM，OM=AN，
∵正方形OABC的面积是10，
∴AO=BO= 10，
根据勾股定理，可得BO=2 5，
∵点B在直线y=−2x上，
设点B坐标为(m,−2m)，
∴BK=−m，OK=−2m，
根据勾股定理，可得(−m)2+(−2m)2=20，
解得m=−2或m=2(舍)，
∴BK=2，OK=4，
设OM=t，
则AN=t，AM=4−t，
∴2+t=4−t，
解得t=1，
∴OM=1，AM=3，
∴点A坐标为(1,3)，
故答案为：(1,3)．
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM，交MA的延长线于点N，BN交y轴于点K，易证△AMO≌△BNA(AAS)，可得BN=AM，OM=AN，根据已知条件可得点B坐标，设OM=t，根据BN=AM列方程，求解即可．
本题考查了正方形的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质等，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：( 5−1)2+ 5( 5+2)
=5−2 5+1+5+2 5
=11．
【解析】先利用完全平方公式与乘法分配律将括号展开，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)10，89.5 ，90；
(2)1600×13+1020×2=920(人)，
答：估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有920人；
(3)八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，
理由：①八年级的众数高于七年级；
②八年级的中位数高于七年级．
(答案不唯一)
【解析】解：(1)a=20−1−1−8=10，
∵七年级20名学生的竞赛成绩的中位数是第10和第11个数据的平均数，
∴b=89+902=89.5，
∵在八年级20名学生的竞赛成绩中90出现的次数最多，
∴c=90，
故答案为：10，89.5，90；
(2)1600×13+1020×2=920(人)，
答：估计两个年级在本次竞赛中获得优秀等次的共有920人；
(3)八年级的学生对防溺水安全知识掌握的总体水平较好，
理由：①八年级的众数高于七年级；
②八年级的中位数高于七年级．
(答案不唯一)
(1)根据中位数和众数的定义即可得到结论；
(2)利用样本估计总体思想求解可得；
(3)根据中位数、众数即可得出结论．
此题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，频数分布表，从统计表中获取数量之间的关系是解决问题的关键．
18.【答案】解：∵AD=24dm，AC=25dm，CD=7dm，
∴AD2+CD2=242+72=625=AC2，
∴∠D=90°，
在直角△ADB中，BD= AB2−AD2= 302−242=18(dm)，
∴S△ABC=12AD⋅BC=12×24×(18−7)=132(dm2).
【解析】由勾股定理的逆定理推知△ACD为直角三角形，然后在直角△ADB中，利用勾股定理求得BD的长度，则根据三角形的面积公式求得剩余部分△ABC的面积．
此题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式，关键是得到∠D=90°．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠ABC=∠ADC，
∴∠E=∠F，∠EBG=∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
∠E=∠F∠EBG=∠FDHEG=FH，
∴△BEG≌△DFH(AAS)．
∴BE=DF．
【解析】由“AAS”可证△BEG≌△DFH，可得BE=DF．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵BE//AC，CE//BD，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，OB=12BD，OC=12AC，
∴OB=OC，
∴四边形OBEC是菱形；
(2)解：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=2 3，OA=OC，
∴S△ABC=2S△OBC，
∵S菱形OBEC=2S△OBC，
∴S菱形OBEC=S△ABC=12AB⋅BC=12×2×2 3=2 3．
【解析】(1)先证四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质推出OB=OC，即可得出结论；
(2)易证S△ABC=2S△OBC，再由S菱形OBEC=2S△OBC，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、三角形面积和菱形面积计算等知识；熟练掌握菱形的判定与菱形的面积计算是解题的关键．
21.【答案】18 390
【解析】解：(1)∵AB段的平均能耗为14千瓦时/百千米，
∴a=60−14×300100=18，
∵BC段的平均能耗为20千瓦时/百千米，
∴b=300+1820×100=390，
故答案为：18，390；
(2)当0≤x≤300时，设直线AB为y=kx+b，
把A(0,60)B(300,18)代入得，
b=60300k+b=18，
解得k=−750b=60，
∴y=−750x+60，
当300
300k′+b′=18390k′+b′=0，
解得k′=−15b′=78，
∴y=−15x+78，
∴y=−750x+60(0≤x≤300)−15x+78(300
(3)燃油车费用：350100×7×10=245(元)，
当x=350时，y=−15×350+78=8(千瓦时)，电动车费用：(60−8)×0.5=26(元)，
∴行驶350千米时，电动车比燃油车节省245−26=219(元)．
(1)由AB段的平均能耗为14千瓦时/百千米，得a=18，由BC段的平均能耗为20千瓦时/百千米，得b=300+1820×100=390；
(2)分两种情况：当0≤x≤300时，设直线AB为y=kx+b，当300
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22.【答案】12 4 2
【解析】解：(1)∵直线l2：y=−x+b与x轴交于点A，且经过定点B(−1,5)，
∴5=1+b，
∴b=4，
∴直线l2：y=−x+4，
∵直线l2：y=−x+4经过点C(2,m)，
∴m=−2+4=2，
∴C(2,2)，
把C(2,2)代入y=kx+1，得到k=12．
∴k=12，b=4，m=2．
故答案为：12，4，2；
(2)作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．
∵B(−1,5)，C′(2,−2)，
∴直线BC′的解析式为y=−73x+83，
令y=0，得到x=87，
∴E(87,0)，
∴存在一点E，使△BCE的周长最短，E(87,0)；
(3)∵点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，直线l1：y=12x+1，
∴D(−2,0)，
∵C(2,2)，
∴CD= (2+2)2+22=2 5，
∵点P的运动时间为t秒．
∴DP=t，
分两种情况：①点P在线段DC上，
∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴CPDP=13，
∴DPCD=34，
∴DP=34×2 5=3 52，
∴t=3 52；
②点P在线段DC的延长线上，
∵△ACP和△ADP的面积比为1：3，
∴CPDP=13，
∴DPCD=32，
∴DP=32×2 5=3 5，
∴t=3 5．
综上：存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3，t的值为3 52或3 5．
(1)利用待定系数法求解即可．
(2)作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′交x轴于E，连接EC，则△BCE的周长最小．求出直线BC′的解析式，即可解决问题；
(3)分两种情况：①点P在线段DC上，②点P在线段DC的延长线上，由△ACP和△ADP的面积比为1：3，可得CPDP=13，根据比例的性质即可求解．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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