第一章 集合、常用逻辑用语、不等式-备战高考数学专题测试模拟卷（新高考专用）

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第一章 集合、常用逻辑用语和不等式
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·湖南永州·统考二模）已知集合，则集合（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件确定集合中的元素.
【详解】已知集合，
∴，，，
则集合.
故选：A
2．（2023·浙江杭州·统考二模）设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出两个集合，再根据集合的交集、补集运算即可.
【详解】由题意可得：，所以，故.
故选：C
3、（2023北京朝阳区高三一模）若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD.
【详解】，，即，故A正确；
取，则不成立，故B错误；
取，则不成立，故C错误；
取，则，故D错误.
故选：A
4.（2023·山东枣庄·统考二模）已知集合，，则（    ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】，
则集合是集合的真子集，
所以，，，，
故ABD错误，A正确.
故选：C.
5.2023北京东城区高三一模）已知，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立，故选B。
6.（2023·福建厦门·统考二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（    ）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．a＞2
【答案】D
【分析】先求得不等式（）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.
【详解】不等式（）恒成立，显然不成立，
故应满足 ，解得，所以不等式（）恒成立的充要条件是，A、C选项不能推出，B选项是它的充要条件，可以推出，但反之不成立，故是的充分不必要条件.
故选：D
7.（2023·湖南邵阳·统考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若“”是“”的充分不必要条件，则Ü，列出不等式组求解即可.
【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则Ü，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：B.
8.（2023贵州同仁高三适应性考试） 若,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】运用基本不等式,以及放缩技巧,得,
      ,
       故选:D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·山东日照·统考二模）下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若，则的最小值为4
C．命题使得，则
D．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质判断A选项，根据基本不等式取等条件判断B选项，根据命题的否定判断C选项，根据古典概型概念判断D选项.
【详解】若，左右两边乘以,可得,A选项正确;
,当且仅当取等号,显然等号取不到，即的最小值不是4,B选项错误;
命题使得，则,C选项错误;
从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有10种情况：,
则以这3个数为边长能构成直角三角形有1种情况，
则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为,D选项正确;
故选:AD.
10．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知：，恒成立；：，恒成立.则（    ）
A．“”是的充分不必要条件 B．“”是的必要不充分条件
C．“”是的充分不必要条件 D．“”是的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】已知：，恒成立，则方程无实根，
所以恒成立，即，故“”是的必要不充分条件，故A错误，B正确；
又：，恒成立，所以在时恒成立，
又函数的最大值为，
所以，故“”是的充分不必要条件，故C正确，D错误.
故选：BC.
11.（2023·山东济宁·统考二模）已知，且，则下列结论中正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用基本不等式可得，可判断A，C选项,特殊值法判断B，D选项错误.
【详解】因为，，，
，所以，当且仅当等号成立，故A正确，
当,,则,故B错误；
因为，所以，故C正确;
当时,则，故D错误；
故选：AC.
12.（2023·广东·统考二模）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（    ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
【答案】BC
【解析】对A：当时，，而，A错误；
对B：对于集合，使，即，必有，
所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确；
对C：对于集合，使，则，
而是“封闭”函数，则，即都有，
对于集合，使，则，，
而，，...，，
所以，
即，故，一定是“封闭”函数，C正确；
对D，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需判断出其逆否命题的正误即可，
使，则，
若，则，
由解得，因为，所以，
即使，则，
满足是“封闭”函数，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023山西吕梁友兰中学开学考）如图,全集,集合,,则__________,阴影部分表示的集合__________.
      
【答案】或,
      
【解析】据图分析知,图中阴影部分表示集合,
       又,,,
       所以或,
       故答案为:或;.
14.（2023·吉林·统考二模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】分析可知命题“，”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，在时，直接验证即可；当时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
当时，由可得，不合乎题意；
当时，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
15．（2023·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是__________.
【答案】（只需满足即可）
【分析】解不等式，可得出满足条件的一个的值.
【详解】由可得，则，
所以，，解得，
因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为.
故答案为：（只需满足即可）.
16.（2023重庆八中高三月考）已知正实数,满足,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】由,得,
       令,则在上单调递增,所以,即,
       又因为,是正实数,
       所以,
       当且仅当,即时等号成立,
       故答案为:.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（2023陕西咸阳武功高三月考）已知全集,,,或,
       (1)求;(2)求;(3)求.
【解析】因为全集,,,或,所以(1);
       (2)或,则或;
       (3),则.
18.（2013乌鲁木齐二十中学高三月考）设函数,若不等式的解集为.
       (1)求的值;
       (2)若函数在上的最小值为,求实数的值.
【解析】(1)不等式的解集为
       即方程的两根为
       由韦达定理得:,
       解得:.
       (2),对称轴方程为,
      在上单调递增,
      时,,
       解得∵
      .

19.（2023福建泉州剑影实验高中期中考试）已知集合或,,.
       (1)求,;
       (2)若,求实数的取值范围.
【解析】(1)或,

      ,∴.
       (2)∵,∴,
       当时,,∴;
       当时,,解得,
       综上,的取值范围是.
20.（2023吉林四平高三月考） 已知命题“实数满足”,
       命题“,都有意义”.
       (1)已知,为假命题,为真命题,求实数的取值范围;
       (2)若是充分不必要条件,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,由,
       得,即:若为真命题,则;
       若为真命题,即恒成立,
       则当时,满足题意;
       当时,,解得,
       故.
       故若为假命题,为真命题,
       则,解得,
       即实数的取值范围为.
       (2)对于,且.
       对于,,则:或.
       因为是的充分不必要条件,
       所以,解得.
       故的取值范围是.
21.（2023江西瑞金二中开学考）某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去,为了研究市场的反应,该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现,生产此款手机全年需投入固定成本万元,每生产千部手机,需另投入成本万元,且假设每部手机售价定为万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
       (1)求出全年的利润(万元)关于年产量(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本);
       (2)当全年产量为多少千部时,该企业所获利润最大?最大利润是多少万元?
【解析】(1)当时,
      ,
       当时,
      ,
       所以
       (2)若,则,
       当时,;
       若,则,
       当且仅当,即时,等号成立,此时.
       因为,所以当全年产量为千部时,该企业所获利润最大,最大利润是万元.
22.（2023北京延庆一模试题）已知为正整数,集合具有性质:“对于集合中的任意元素,,且,其中,,…,”.集合中的元素个数记为.
       (1)当时,求;
       (2)当时,求的所有可能的取值;
       (3)给定正整数,求.
【解析】(1)时,集合中的元素为,,

       所以.
       (2)时,首先证明,且.
       在中,令,得,从而有.
       在中,令,得.
       又,故,从而有.
       考虑,即,,
       此时为最大值.
       现交换与,使得,,此时.
       现将逐项前移,直至.在前移过程中,显然不变,这一过程称为次“移位”.
       依此类推,每次“移位”的值依次递减.经过有限次移位,一定可以调整为交替出现.注意到为奇数,所以为最小值.
       所以的所有可能取值为.
       (3)由题设,在中,有个,个,显然,从中选个,其余为的种数共有种.
       下面我们考虑这样的数组中有多少个不满足,记该数为.如果不满足,则一定存在最小的正整数,使得,且.将统统改变符号,这一对应为:,
       从而将变为个,个组成的有序数组.
       因此,就是个,个组成的有序数组的个数,即.
       所以.