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    第四章 三角函数-备战高考数学专题测试模拟卷(新高考专用)
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    第四章 三角函数-备战高考数学专题测试模拟卷(新高考专用)

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    备战高考阶段性检测名校重组卷(新高考)
    第四章 三角函数
    本试卷22小题,满分150分。考试用时120分钟
    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.(2023北京市海淀二模)在平面直角坐标系xOy中,角以Ox为始边,其终边经过点,则( )
    (A) (B) (C) 2 (D)
    【答案】A
    【解析】根据三角函数的定义可得,故。
    2.(2023·广东潮州·统考二模)若,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为,解得,
    所以,.
    故选:A.
    3.(2023·新疆乌鲁木齐·统考三模)若,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】利用凑角,同角三角函数关系和二倍角的余弦公式转化计算.
    【详解】

    故选:B
    4.(2023·重庆·统考三模)将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则“”是“函数为偶函数”的(    )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【分析】根据题意求出函数的解析式,然后通过函数是偶函数求出的取值范围,最后与进行对比,即可得出“”与“为偶函数”之间的关系.
    【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,
    所以,
    因为为偶函数,
    所以,即,
    当时,可以推导出函数为偶函数,
    而函数为偶函数不能推导出,
    所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
    故选:A
    5.(2023·广东·统考二模)已知某摩天轮的半径为,其中心到地面的距离为,摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动,每分钟转动一圈.已知当游客距离地面超过时进入最佳观景时间段,则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有(    )
    A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟
    【答案】B
    【解析】设游客到地面的距离为,设关于转动时间(单位:分钟)的函数关系式为,
    则,,可得,
    函数的最小正周期为,则,
    当时,游客位于最低点,可取,
    所以,,
    由,即,可得,
    所以,,解得,
    因此,游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有分钟.
    故选:B.
    6.(2023·广东梅州·统考二模)已知函数,且,当ω取最小的可能值时,(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】由题意可知,
    当取最小值时,最小正周期最大,,
    所以,
    而在时取得最大值,故,
    则,又,所以.
    故选:D.
    7.(2023·天津·三模)已知,,若对,,使得成立,若在区间上的值域为,则实数的取值不可能是.
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】由题意首先确定函数的值域,然后数形结合得到关于的不等式,求解不等式可得的取值范围,据此可得选项.
    【详解】,其中,
    由题意可知:,即:,
    则函数的值域为的子集,
    设函数的最小正周期为,在区间上的值域为,则:,
    即:,解得.
    结合选项可知实数的取值不可能是.
    故选D.
    8.(2023·湖北·校联考三模)已知函数在上单调递增,在上单调递减,若函数在上单调,则a的最大值为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简,然后根据题意得到,再根据函数在上单调和正弦函数的图像得到,解之即可.
    【详解】因为,
    由已知条件时取得最大值,有,即.
    又由已知得,于是,
    由于,故在.所以函数,
    因为,所以,
    因为在上单调,所以,
    解得,故.
    故选:D.
    二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.(2023·广东·统考模拟预测)已知函数,则(    )
    A.函数的最小正周期为π
    B.函数的图像关于点中心对称
    C.函数在定义域上单调递增
    D.若,则
    【答案】BD
    【解析】的最小正周期为,A选项错误;
    的对称中心,令,,对称中心为,当是对称中心,B选项正确;
    ,函数在定义域上不是单调递增,C选项错误;
    当,则,可得,D选项正确;.
    故选:BD.
    10.(2023·湖南郴州·统考三模)设函数向左平移个单位长度得到函数,已知在上有且只有5个零点,则下列结论正确的是(    )
    A.的图象关于点对称
    B.在上有且只有5个极值点
    C.在上单调递增
    D.的取值范围是
    【答案】CD
    【分析】根据图象平移得,结合零点个数及正弦型函数的性质可得,进而判断极值点个数判断B、D;代入法判断A,整体法判断C.
    【详解】由题设,在上,若,
    所以在上有5个零点,则,解得,D正确;
    在上,由上分析知:极值点个数可能为5或6个,B错误;
    且,故不为0,A错误;
    在上,则,故递增,即在上递增,C正确.
    故选:CD
    11.(2023·全国·校联考三模)在中,若,则下列论断正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】BD
    【分析】由化简得到,再逐项判断.
    【详解】解:由,
    因为,
    所以,
    所以,不一定为1,A错;
    因为,,
    ∴,
    从而有,所以B正确,
    又,所以也不一定等于1,C错;
    而,D正确;
    故选:BD
    12.(2023·广东深圳·统考二模)已知是定义在闭区间上的偶函数,且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示),则(    )

    A.的定义域为
    B.当时,取得最大值
    C.当时,的单调递增区间为
    D.当时,有且只有两个零点和
    【答案】BCD
    【解析】由图得,且位于增区间上,
    所以,又因为,所以,

    则,得,所以,
    所以,
    由图可知,原点右侧的第二个零点为,
    所以的定义域为,故A错误;
    当时,,
    因为为最大值,则当时,取得最大值,故B正确;
    当时,令,则,
    又因为,
    所以当时,的减区间为,
    因为函数为偶函数,
    所以当时,的单调递增区间为,故C正确;
    当时,,令,
    得或,则或,
    因为函数为偶函数,
    所以当时,有且只有两个零点和,故D正确.
    故选:BCD.
    三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.(2023·山东泰安·统考二模)已知,则_______.
    【答案】
    【分析】利用辅助角公式求得,根据倍角公式和诱导公式化简目标式,即可求得结果.
    【详解】因为,故可得,


    故答案为:.
    14.(2023·山东东营·东营市第一中学校考二模)已知函数,若将的图象向左平行移动个单位长度后得到的图象,则把的图象向右至少平行移动________个单位可得到的图象.
    【答案】/
    【分析】根据辅助角公式结合图象平移可得,根据题意结合图象平移分析可得,运算求解即可.
    【详解】∵,
    将的图象向左平行移动个单位长度后得到,
    把的图象向右平行移动个单位,可得,
    由题意可得,故,
    解得,
    注意到,可得当时,取到最小值.
    故答案为:
    15.(2023·河南·校联考三模)如图,三个相同的正方形相接(在同一平面中),则______.

    【答案】/
    【分析】根据两角差的正切公式直接计算即可.
    【详解】在中,,在中,,
    所以
    故答案为:
    16.(2023·广东湛江·统考二模)若函数在上具有单调性,且为的一个零点,则在上单调递__________(填增或减),函数的零点个数为__________.
    【答案】 增 9
    【解析】因为在上具有单调性,
    所以,即,.
    又因为,
    所以,即,
    只有,符合要求,此时.
    当时,,
    所以在上单调递增.
    因为的最大值为1,而,,
    作出函数与的图象,由图可知,这两个函数的图像共有9个交点,所以函数的零点个数为9.

    故答案为:增;9.
    四、解答题:本大题共6小题,共70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
    17.(2023北京海淀二模)已知函数,且.
    (Ⅰ)求a的值和的最小正周期;
    (Ⅱ)求在上的单调递增区间.
    【解析】(Ⅰ)由
    得.
    所以,

    所以,的最小正周期.
    (Ⅱ)由得,
    所以的单调递增区间为.
    当时,的单调递增区间为,
    当时,的单调递增区间为,
    所以在上的单调递增区间为,.
    18.(2023·广东梅州·统考二模)如图,在平面四边形ABCD中,,,,设.

    (1)当时,求BD的长;
    (2)求BD的最大值.
    【解析】(1)在中,.
    在中,因为,由余弦定理得,

    因此.
    (2)在中,.
    在中,因为,由余弦定理得,



    所以.
    所以当,即时,BD最长,的最大值为.
    19.(2023北京西城二模)已知函数,其中. 再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,使存在,并完成下列两个问题.
    (Ⅰ)求的值;
    (Ⅱ)当时,若曲线与直线恰有一个公共点,求的取值范围.
    条件①:;
    条件②:是的一个零点;
    条件③:.
    注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
    【解析】选条件②.
    (Ⅰ)由题设. ………1分
    所以. ………2分
    因为, 所以. ………3分
    所以. ………4分
    所以. ………5分
    (Ⅱ)由(Ⅰ)
    ………7分
    . ………8分
    因为, 所以. ………9分
    于是,当且仅当,即时,取得最大值; ………11分
    当且仅当,即时,取得最小值. ………12分
    又,即时,. ………13分
    所以的取值范围是. ………14分
    选条件③.
    (Ⅰ)由题设. ………1分
    整理得. ………2分
    以下同选条件②.
    20.(2023·广东汕头·统考二模)已知函数.
    (1)求函数的定义域;
    (2)若,求函数的单调区间.
    【解析】(1),即,则,即,
    又有意义,则,,
    综上可得,,,则函数的定义域为
    (2)






    ∵,则,
    由,解得,
    由,解得,
    即的单调递增区间为,单调递减区间为
    21.(2023·浙江温州·统考三模)已知函数在区间上恰有3个零点,其中为正整数.
    (1)求函数的解析式;
    (2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,求函数的单调区间.
    【答案】(1);
    (2).

    【分析】(1)根据给定条件,求出的范围,再结合正弦函数的零点情况列出不等式求解作答.
    (2)由(1)求出函数的解析式,进而求出,再利用正切函数的单调性求解作答.
    【详解】(1)由,得,
    因为函数在区间上恰有3个零点,
    于是,解得,而为正整数,因此,
    所以.
    (2)由(1)知,,
    由,得,即有,
    因此,
    由,解得,
    所以函数的单调减区间为.
    22.(2023·江苏·统考三模)将函数的图象先向右平移个单位长度,再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),得到函数的图象.
    (1)若,求函数在区间上的最大值;
    (2)若函数在区间上没有零点,求ω的取值范围.
    【答案】(1)
    (2).

    【分析】(1)由函数图象变换知识可得,后由单调性可得最值情况;(2)由(1)结合题意可知,.后由
    可进一步确认大致范围,后可得答案.
    【详解】(1)函数的图象先向右平移个单位长度,则解析式变为:
    ,再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍(纵坐标不变),
    则解析式变为.则.
    当时,,
    因函数在上单调递减,在上单调递增,
    ,.
    ∴,∴在区间上的最大值为.
    (2),当时,,
    要使在上无零点,则,.
    ,,,,
    当时,;当时,,
    当时,舍去.
    综上:的取值范围为







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