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2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. x与5的和不大于−1，用不等式表示为( )
A. x+5≥−1 B. x+5<−1 C. x+5>−1 D. x+5≤−1
3. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是( )
A. 直角三角形两个锐角互余 B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于180° D. 勾股定理
4. 分式x2−xx−1的值为0，则x的值是( )
A. 0 B. −1 C. 1 D. 0或1
5. 一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示.小红想制做一模一样的玻璃，经测量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数( )
A. 65° B. 45° C. 30° D. 20°
6. 九年级(8)班小周和小鞠两人练习跳绳，小周每分钟比小鞠少跳60个，小周跳120个用的时间和小鞠跳180个用的时间相等.设小周跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是( )
A. 120x+60=180x B. 120x=180x−60 C. 120x=180x+60 D. 120x−60=180x
7. 如图，l//m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为( )
A. 65°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
8. 如图，点D是△ABC中BC边上的一点，线段AD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是△ABC的( )
A. 角平分线
B. 中线
C. 高线
D. 边的垂直平分线
9. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，点A(−1,4)在该函数的图象上，则不等式kx+b>4的解集为( )
A. x≥−1
B. x<−1
C. x≤−1
D. x>−1
10. 如图，AC是带有滑道的铁杠，AB，CD是两段横木，E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，BE，DE，PQ是三段橡皮筋，其中，P，Q分别是BE，DE的中点，螺钉E在滑道AC内上下滑动时，橡皮筋PQ的长度( )
A. 螺钉E滑至AC两端处时，PQ的长度最大
B. 螺钉E滑至AC中点处时，PQ的长度最大
C. 上下滑动时，PQ的长度时而增大时而减小
D. 上下滑动时，PQ的长度始终不变
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：b3a⋅ab= ______ ．
12. 多项式2x2−4x中各项的公因式是______ ．
13. 不等式−x+4>1的最大整数解是______ ．
14. 在平面直角坐标系中，已知P(−3,5)和点Q(3,m−1)关于原点对称，则m= ______ ．
15. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是______ ．
16. 在平面直角坐标系中，▱ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(5,0)，B(8,4)，直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过______ 秒，该直线平分▱ABCO的面积．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)3a2−12；
(2)−2x2+12x−18．
18. (本小题8.0分)
求不等式组x+33>x−15x−1≥3(x−1)的解集，并在数轴上表示出来．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：aa−b−a2−b2a2−2ab+b2⋅a−ba+b，其中a=2，b=1．
20. (本小题8.0分)
某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于18个，且总费用不超过6000元，那么最多采购篮球多少个？
21. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=∠BCD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)连接AC、BD相交于点O，BC=7，BD=10，AC=6，则△AOD的周长等于______ ．
22. (本小题8.0分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过平移，使点C移到点C′的位置．
(1)画出△A′B′C′；
(2)连接AA′、BB′，这两条线段的关系是______ ；
(3)△B′CC′的面积为______ ．
23. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，EF//AB交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，连接MN.求证MN=12AD．
24. (本小题12.0分)
如图，直线y=kx+b经过点A(−5,0)，B(−1,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线CE：y=−2x−4与直线AB及y轴围成图形的面积；
(3)在(2)的条件下，若y轴上有一点Q，使△CDQ的面积是6，请直接写出Q点坐标．
25. (本小题12.0分)
如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM=CN，连接DN，延长AD到点G，使DG=NC，连接CG．
(1)求证：AB=CM；
(2)试判断△ACG的形状，并说明理由．
(3)若AD=3 2，AM= 2，则DN= ______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、该图形是是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得，x+5≤−1，
故选：D．
根据x与5的和不大于−1即可得到不等式x+5≤−1．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
3.【答案】B
【解析】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形)
故选：B．
根据勾股定理的逆定理即可判断．
此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵分式x2−xx−1的值为0，
∴x2−x=0且x−1≠0，
解得：x=0，
故选：A．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，四边形内角和为360度，
∴∠D=360°−120°−60°−150°=30°，
故选：C．
根据四边形内角和求解即可．
本题考查了四边形内角和，熟记四边形的内角和等于360°是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵小周每分钟比小鞠少跳60个，小周跳绳速度为x个每分钟，
∴小鞠跳绳速度为(x+60)个每分钟．
根据题意得：120x=180x+60．
故选：C．
根据小周和小鞠跳绳速度间的关系，可得出小鞠跳绳速度为(x+60)个每分钟，根据小周跳120个用的时间和小鞠跳180个用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3=60°−∠1=60°−25°=35°，
∵l//m，
∴∠2=∠3=35°．
故选：D．
延长AC交直线m于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
8.【答案】B
【解析】解：由题意知，当线段AD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是△ABC的一条中线．
故选：B．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两部分是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由图象可得：当x<−1时，kx+b>4，
所以不等式kx+b>4的解集为x<−1，
故选：B．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵P，Q分别是BE，DE的中点，
∴PQ是△BDE的中位线，
∴PQ=12BD(定值)，
∴橡皮筋PQ的长度不变．
故选：D．
连接BD，根据三角形中位线定理可得PQ=12BD，即可得到结论．
本题主要考查了三角形中位线定理，正确作出辅助线，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
11.【答案】13
【解析】解：b3a⋅ab=13，
故答案为：13．
根据分式乘法法则计算即可．
本题考查分式的乘法运算，分式的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】2x
【解析】解：2x2−4x=2x(x−2)，
故答案为：2x．
本题主要根据提公因式法把多项式分解因式，从而找出公因式．
本题主要考查了因式分解的相关知识，难度不大，找出公因式是关键．
13.【答案】2
【解析】解：−x+4>1，
−x>−3，
x<3，
∴最大整数解是2，
故答案为：2．
根据不等式的性质即可求解．
本题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
14.【答案】−4
【解析】解：∵P、Q两点关于原点对称，
∴横、纵坐标均互为相反数，
∴m−1=−5，
解得m=−4．
故答案为：−4．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
15.【答案】30°
【解析】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO=(6−2)×180°÷6=120°，
∴∠OBC=180°−120°=60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°−90°−60°=30°，
故答案为：30°．
根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16.【答案】7
【解析】解：如图，连接AC、BO，交于点D，
当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD=OD，
∵B(8,4)，
∴D(4,2)，
设DE的解析式为y=kx+b，
∵直线DE平行于y=2x+1，
∴k=2，
则：4×2+b=2．
解得b=−6．
∴DE的解析式为y=2x−6，
∴直线y=2x+1要向下平移7个单位，
∴时间为7秒，
故答案为：7．
首先连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y=2x+1的直线解析式，从而可得直线y=2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
17.【答案】解：(1)3a2−12=3(a2−4)=3(a+2)(a−2)；
(2)−2x2+12x−18=−2(x2−6x+9)=−2(x−3)2．
【解析】(1)先提取3，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提取−2，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：x+33>x−1①5x−1≥3(x−1)②，
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥−1，
∴原不等式组的解集为：−1≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：原式=aa−b−(a+b)(a−b)(a−b)2⋅a−ba+b
=aa−b−1
=a−(a−b)a−b
=ba−b，
当a=2，b=1时，
原式=12−1=1．
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把a，b的值代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20.【答案】解：(1)设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意得：3x+4y=7204x+5y=930，
解得：x=120y=90．
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
(2)设采购篮球m个，则采购足球(60−m)个，
根据题意得：m≥18120m+90(60−m)≤6000，
解得：18≤m≤20，
∴m的最大值为20．
答：最多采购篮球20个．
【解析】(1)设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设采购篮球m个，则采购足球(60−m)个，利用总价=单价×数量，结合购买篮球的数量不少于18个且总费用不超过6000元，可得出关于m的一元一次不等式组的应用，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】15
【解析】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD,OD=12BD,OA=12AC，
∵BC=7，BD=10，AC=6，
∴BC=AD=7,OD=12BD=5,OA=12AC=3，
∴△AOD的周长为AD+OD+OA=7+5+3=15，
故答案为：15．
(1)证明AB//CD即可；
(2)根据平行四边形的性质可得BC=AD=7,OD=12BD=5,OA=12AC=3，即可得到△AOD的周长．
此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
22.【答案】AA′//BB′且AA′=BB′ 5
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′为所求；
(2)AA′//BB′且AA′=BB′．
故答案为：AA′//BB′且AA′=BB′：
(3)S△B′CC′=3×4−12×3×1−12×2×4−12×3×1=5．
故答案为：5．
(1)利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出点A、B的对应点即可；
(2)根据平移的性质进行判断；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△B′CC′的面积．
本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC，
∵EF//AB，
∴EF//CD，
∴四边形ABEF、四边形ECDF均是平行四边形，
∴EM=AM，DN=EN，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN=12AD．
【解析】可分别证明四边形ABEF，ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得MN为△AED的中位线．
本题主要考查平行四边形的判定和性质以及中位线定理．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．
24.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(−5,0)，B(−1,4)，
∴−5k+b=0−k+b=4，
解得k=1b=5，
∴y=x+5，
当x=0时，y=5，
∴点D的坐标为(0,5)；
(2)∵若直线y=−2x−4与直线AB相交于点C，
∴y=−2x−4y=x+5，
解得x=−3y=2，
故点C(−3,2)，
∵y=−2x−4、y=x+5两直线分别交y轴于点E和点D，
∴D(0,5)，E(0,−4)，
∴直线CE与直线AB及y轴围成图形的面积为：12×|−3|×(5+|−4|)=12×3×9=272，
(3)在(2)的条件下可知，△CDQ的面积为6时，12×|−3|×a=6，即a=4，
∴点Q坐标为(0,9)或(0,1)．
【解析】(1)利用待定系数法确定一次函数的解析式，点D在y轴上，即把x=0代入解析式确定y的值，写出D点的坐标；
(2)两直线解析式组成方程组，解出结果，求出C点的坐标，C点的横坐标的绝对值即为三角形的高，如图线段DE长为三角形的底边，求出三角形的面积；
(3)三角形面积已知，高已知求出底边长，再确定Q的位置，写出坐标．
本题考查了一次函数的图象即应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象上点的特点和一次函数图象的性质．
25.【答案】4
【解析】(1)证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠AEB=∠CEM=∠CFB=90°，
∴∠BAE=∠MCE=90°−∠B，
∵∠AEC=90°，∠ACB=45°，
∴∠EAC=∠ECA=45°，
∴AE=CE，
在△ABE和△CME中，
∠AEB=∠CEMAE=CE∠BAE=∠MCE，
∴△ABE≌△CME(ASA)，
∴AB=CM．
(2)△ACG是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，∠B=∠ADC，
∴∠MCD=∠CFB=90°，
∵△ABE≌△CME，
∴AB=CM，∠B=∠CME，
∴CM=CD，∠CME=∠ADC，
∵∠AMC+∠CME=180°，∠GDC+∠ADC=180°，
∴∠AMC=∠GDC，
∵AM=CN，GD=CN，
∴AM=GD，
在△ACM和△GCD中，
AM=GD∠AMC=∠GDCCM=CD，
∴△ACM≌△GCD(SAS)，
∴AC=GC，∠ACM=∠GCD，
∴∠ACG=∠ACD+∠GCD=∠ACD+∠ACM=∠MCD=90°，
∴△ACG是等腰直角三角形．
(3)解：∵AD=3 2，AM=GD= 2，
∴AG=AD+GD=3 2+ 2=4 2，
∵AC=GC，∠ACG=90°，
∴AC2+GC2=2GC2=AG2=(4 2)2，
∴GC=4，
∵DG=NC，DG//NC，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴DN=GC=4，
故答案为：4．
(1)由AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，得∠AEB=∠CEM=∠CFB=90°，则∠BAE=∠MCE=90°−∠B，由∠EAC=∠ECA=45°，得AE=CE，即要根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABE≌△CME，得AB=CM；
(2)由平行四边形的性质得AB=CD，AD//BC，∠B=∠ADC，由△ABE≌△CME，得AB=CM，∠B=∠CME，则CM=CD，∠CME=∠ADC，所以∠AMC=∠GDC，而AM=GD=CN，即可证明△ACM≌△GCD，得AC=GC，∠ACM=∠GCD，则∠ACG=∠MCD=90°，所以△ACG是等腰直角三角形；
(3)由AD=3 2，AM=GD= 2，得AG=AD+GD=4 2，由勾股定理得AC2+GC2=2GC2=AG2=(4 2)2，则GC=4，再证明四边形CGDN是平行四边形，则DN=GC=4．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，证明△ABE≌△CME及△ACM≌△GCD是解题的关键．
2022-2023学年辽宁省沈阳市沈北新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. x与5的和不大于−1，用不等式表示为( )
A. x+5≥−1 B. x+5<−1 C. x+5>−1 D. x+5≤−1
3. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是( )
A. 直角三角形两个锐角互余 B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和等于180° D. 勾股定理
4. 分式x2−xx−1的值为0，则x的值是( )
A. 0 B. −1 C. 1 D. 0或1
5. 一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示.小红想制做一模一样的玻璃，经测量∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数( )
A. 65° B. 45° C. 30° D. 20°
6. 九年级(8)班小周和小鞠两人练习跳绳，小周每分钟比小鞠少跳60个，小周跳120个用的时间和小鞠跳180个用的时间相等.设小周跳绳速度为x个每分钟，则列方程正确的是( )
A. 120x+60=180x B. 120x=180x−60 C. 120x=180x+60 D. 120x−60=180x
7. 如图，l//m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为( )
A. 65°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
8. 如图，点D是△ABC中BC边上的一点，线段AD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是△ABC的( )
A. 角平分线
B. 中线
C. 高线
D. 边的垂直平分线
9. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，点A(−1,4)在该函数的图象上，则不等式kx+b>4的解集为( )
A. x≥−1
B. x<−1
C. x≤−1
D. x>−1
10. 如图，AC是带有滑道的铁杠，AB，CD是两段横木，E是部分嵌在滑道里的可以滑动的螺钉，BE，DE，PQ是三段橡皮筋，其中，P，Q分别是BE，DE的中点，螺钉E在滑道AC内上下滑动时，橡皮筋PQ的长度( )
A. 螺钉E滑至AC两端处时，PQ的长度最大
B. 螺钉E滑至AC中点处时，PQ的长度最大
C. 上下滑动时，PQ的长度时而增大时而减小
D. 上下滑动时，PQ的长度始终不变
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算：b3a⋅ab= ______ ．
12. 多项式2x2−4x中各项的公因式是______ ．
13. 不等式−x+4>1的最大整数解是______ ．
14. 在平面直角坐标系中，已知P(−3,5)和点Q(3,m−1)关于原点对称，则m= ______ ．
15. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是______ ．
16. 在平面直角坐标系中，▱ABCO的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(5,0)，B(8,4)，直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过______ 秒，该直线平分▱ABCO的面积．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
分解因式：
(1)3a2−12；
(2)−2x2+12x−18．
18. (本小题8.0分)
求不等式组x+33>x−15x−1≥3(x−1)的解集，并在数轴上表示出来．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：aa−b−a2−b2a2−2ab+b2⋅a−ba+b，其中a=2，b=1．
20. (本小题8.0分)
某学校为落实有关文件要求，决定开设篮球、足球两个社团活动，需要购进一批篮球和足球，已知购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共60个，并要求篮球不少于18个，且总费用不超过6000元，那么最多采购篮球多少个？
21. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=∠BCD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)连接AC、BD相交于点O，BC=7，BD=10，AC=6，则△AOD的周长等于______ ．
22. (本小题8.0分)
如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过平移，使点C移到点C′的位置．
(1)画出△A′B′C′；
(2)连接AA′、BB′，这两条线段的关系是______ ；
(3)△B′CC′的面积为______ ．
23. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，EF//AB交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，连接MN.求证MN=12AD．
24. (本小题12.0分)
如图，直线y=kx+b经过点A(−5,0)，B(−1,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线CE：y=−2x−4与直线AB及y轴围成图形的面积；
(3)在(2)的条件下，若y轴上有一点Q，使△CDQ的面积是6，请直接写出Q点坐标．
25. (本小题12.0分)
如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM=CN，连接DN，延长AD到点G，使DG=NC，连接CG．
(1)求证：AB=CM；
(2)试判断△ACG的形状，并说明理由．
(3)若AD=3 2，AM= 2，则DN= ______ ．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、该图形是是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得，x+5≤−1，
故选：D．
根据x与5的和不大于−1即可得到不等式x+5≤−1．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
3.【答案】B
【解析】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形)
故选：B．
根据勾股定理的逆定理即可判断．
此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵分式x2−xx−1的值为0，
∴x2−x=0且x−1≠0，
解得：x=0，
故选：A．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，四边形内角和为360度，
∴∠D=360°−120°−60°−150°=30°，
故选：C．
根据四边形内角和求解即可．
本题考查了四边形内角和，熟记四边形的内角和等于360°是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵小周每分钟比小鞠少跳60个，小周跳绳速度为x个每分钟，
∴小鞠跳绳速度为(x+60)个每分钟．
根据题意得：120x=180x+60．
故选：C．
根据小周和小鞠跳绳速度间的关系，可得出小鞠跳绳速度为(x+60)个每分钟，根据小周跳120个用的时间和小鞠跳180个用的时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3=60°−∠1=60°−25°=35°，
∵l//m，
∴∠2=∠3=35°．
故选：D．
延长AC交直线m于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
8.【答案】B
【解析】解：由题意知，当线段AD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是△ABC的一条中线．
故选：B．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两部分是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由图象可得：当x<−1时，kx+b>4，
所以不等式kx+b>4的解集为x<−1，
故选：B．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10.【答案】D
【解析】解：连接BD，
∵P，Q分别是BE，DE的中点，
∴PQ是△BDE的中位线，
∴PQ=12BD(定值)，
∴橡皮筋PQ的长度不变．
故选：D．
连接BD，根据三角形中位线定理可得PQ=12BD，即可得到结论．
本题主要考查了三角形中位线定理，正确作出辅助线，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键．
11.【答案】13
【解析】解：b3a⋅ab=13，
故答案为：13．
根据分式乘法法则计算即可．
本题考查分式的乘法运算，分式的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12.【答案】2x
【解析】解：2x2−4x=2x(x−2)，
故答案为：2x．
本题主要根据提公因式法把多项式分解因式，从而找出公因式．
本题主要考查了因式分解的相关知识，难度不大，找出公因式是关键．
13.【答案】2
【解析】解：−x+4>1，
−x>−3，
x<3，
∴最大整数解是2，
故答案为：2．
根据不等式的性质即可求解．
本题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
14.【答案】−4
【解析】解：∵P、Q两点关于原点对称，
∴横、纵坐标均互为相反数，
∴m−1=−5，
解得m=−4．
故答案为：−4．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．
本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．
15.【答案】30°
【解析】解：∵图中六边形为正六边形，
∴∠ABO=(6−2)×180°÷6=120°，
∴∠OBC=180°−120°=60°，
∵正方形中，OC⊥CD，
∴∠OCB=90°，
∴∠BOC=180°−90°−60°=30°，
故答案为：30°．
根据多边形内角和及正多边形性质求得∠ABO的度数，从而求得∠OBC的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案．
本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16.【答案】7
【解析】解：如图，连接AC、BO，交于点D，
当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD=OD，
∵B(8,4)，
∴D(4,2)，
设DE的解析式为y=kx+b，
∵直线DE平行于y=2x+1，
∴k=2，
则：4×2+b=2．
解得b=−6．
∴DE的解析式为y=2x−6，
∴直线y=2x+1要向下平移7个单位，
∴时间为7秒，
故答案为：7．
首先连接AC、BO，交于点D，当y=2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y=2x+1的直线解析式，从而可得直线y=2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
17.【答案】解：(1)3a2−12=3(a2−4)=3(a+2)(a−2)；
(2)−2x2+12x−18=−2(x2−6x+9)=−2(x−3)2．
【解析】(1)先提取3，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提取−2，再利用完全平方公式分解因式即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：x+33>x−1①5x−1≥3(x−1)②，
解不等式①得：x<3，
解不等式②得：x≥−1，
∴原不等式组的解集为：−1≤x<3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19.【答案】解：原式=aa−b−(a+b)(a−b)(a−b)2⋅a−ba+b
=aa−b−1
=a−(a−b)a−b
=ba−b，
当a=2，b=1时，
原式=12−1=1．
【解析】直接利用分式的混合运算法则化简，再把a，b的值代入得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
20.【答案】解：(1)设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意得：3x+4y=7204x+5y=930，
解得：x=120y=90．
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
(2)设采购篮球m个，则采购足球(60−m)个，
根据题意得：m≥18120m+90(60−m)≤6000，
解得：18≤m≤20，
∴m的最大值为20．
答：最多采购篮球20个．
【解析】(1)设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据“购买3个篮球和4个足球共需费用720元；购买4个篮球和5个足球共需费用930元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设采购篮球m个，则采购足球(60−m)个，利用总价=单价×数量，结合购买篮球的数量不少于18个且总费用不超过6000元，可得出关于m的一元一次不等式组的应用，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】15
【解析】(1)证明：∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∴AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD,OD=12BD,OA=12AC，
∵BC=7，BD=10，AC=6，
∴BC=AD=7,OD=12BD=5,OA=12AC=3，
∴△AOD的周长为AD+OD+OA=7+5+3=15，
故答案为：15．
(1)证明AB//CD即可；
(2)根据平行四边形的性质可得BC=AD=7,OD=12BD=5,OA=12AC=3，即可得到△AOD的周长．
此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
22.【答案】AA′//BB′且AA′=BB′ 5
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′为所求；
(2)AA′//BB′且AA′=BB′．
故答案为：AA′//BB′且AA′=BB′：
(3)S△B′CC′=3×4−12×3×1−12×2×4−12×3×1=5．
故答案为：5．
(1)利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出点A、B的对应点即可；
(2)根据平移的性质进行判断；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△B′CC′的面积．
本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//CD，AD//BC，
∵EF//AB，
∴EF//CD，
∴四边形ABEF、四边形ECDF均是平行四边形，
∴EM=AM，DN=EN，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN=12AD．
【解析】可分别证明四边形ABEF，ECDF均为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得MN为△AED的中位线．
本题主要考查平行四边形的判定和性质以及中位线定理．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．
24.【答案】解：(1)∵直线y=kx+b经过点A(−5,0)，B(−1,4)，
∴−5k+b=0−k+b=4，
解得k=1b=5，
∴y=x+5，
当x=0时，y=5，
∴点D的坐标为(0,5)；
(2)∵若直线y=−2x−4与直线AB相交于点C，
∴y=−2x−4y=x+5，
解得x=−3y=2，
故点C(−3,2)，
∵y=−2x−4、y=x+5两直线分别交y轴于点E和点D，
∴D(0,5)，E(0,−4)，
∴直线CE与直线AB及y轴围成图形的面积为：12×|−3|×(5+|−4|)=12×3×9=272，
(3)在(2)的条件下可知，△CDQ的面积为6时，12×|−3|×a=6，即a=4，
∴点Q坐标为(0,9)或(0,1)．
【解析】(1)利用待定系数法确定一次函数的解析式，点D在y轴上，即把x=0代入解析式确定y的值，写出D点的坐标；
(2)两直线解析式组成方程组，解出结果，求出C点的坐标，C点的横坐标的绝对值即为三角形的高，如图线段DE长为三角形的底边，求出三角形的面积；
(3)三角形面积已知，高已知求出底边长，再确定Q的位置，写出坐标．
本题考查了一次函数的图象即应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象上点的特点和一次函数图象的性质．
25.【答案】4
【解析】(1)证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠AEB=∠CEM=∠CFB=90°，
∴∠BAE=∠MCE=90°−∠B，
∵∠AEC=90°，∠ACB=45°，
∴∠EAC=∠ECA=45°，
∴AE=CE，
在△ABE和△CME中，
∠AEB=∠CEMAE=CE∠BAE=∠MCE，
∴△ABE≌△CME(ASA)，
∴AB=CM．
(2)△ACG是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，∠B=∠ADC，
∴∠MCD=∠CFB=90°，
∵△ABE≌△CME，
∴AB=CM，∠B=∠CME，
∴CM=CD，∠CME=∠ADC，
∵∠AMC+∠CME=180°，∠GDC+∠ADC=180°，
∴∠AMC=∠GDC，
∵AM=CN，GD=CN，
∴AM=GD，
在△ACM和△GCD中，
AM=GD∠AMC=∠GDCCM=CD，
∴△ACM≌△GCD(SAS)，
∴AC=GC，∠ACM=∠GCD，
∴∠ACG=∠ACD+∠GCD=∠ACD+∠ACM=∠MCD=90°，
∴△ACG是等腰直角三角形．
(3)解：∵AD=3 2，AM=GD= 2，
∴AG=AD+GD=3 2+ 2=4 2，
∵AC=GC，∠ACG=90°，
∴AC2+GC2=2GC2=AG2=(4 2)2，
∴GC=4，
∵DG=NC，DG//NC，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴DN=GC=4，
故答案为：4．
(1)由AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，得∠AEB=∠CEM=∠CFB=90°，则∠BAE=∠MCE=90°−∠B，由∠EAC=∠ECA=45°，得AE=CE，即要根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABE≌△CME，得AB=CM；
(2)由平行四边形的性质得AB=CD，AD//BC，∠B=∠ADC，由△ABE≌△CME，得AB=CM，∠B=∠CME，则CM=CD，∠CME=∠ADC，所以∠AMC=∠GDC，而AM=GD=CN，即可证明△ACM≌△GCD，得AC=GC，∠ACM=∠GCD，则∠ACG=∠MCD=90°，所以△ACG是等腰直角三角形；
(3)由AD=3 2，AM=GD= 2，得AG=AD+GD=4 2，由勾股定理得AC2+GC2=2GC2=AG2=(4 2)2，则GC=4，再证明四边形CGDN是平行四边形，则DN=GC=4．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，证明△ABE≌△CME及△ACM≌△GCD是解题的关键．
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