重难点2-2 抽象函数及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2025年高考数学热点重点难点专题练习（新高考专用）

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抽象函数指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
【题型1 抽象函数的定义域问题】
【例1】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的定义域是，所以，
所以，所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为，故选：A.
【变式1-1】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，则，可得，
所以，函数的定义域为，
对于函数，则有，解得，
因此，函数的定义域为.故选：C.
【变式1-2】（2023·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【解析】依题意，函数的定义域是，
所以对于函数来说，有，
所以函数的定义域是.
【变式1-3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【解析】函数的定义域为，
则由有意义，得，解得，即，
所以函数的定义域为.
【变式1-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第三十二中学校校考阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ．
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以，则，所以函数的定义域为.
【题型2 抽象函数的求值问题】
【例2】（2024·山西晋城·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】令，得，即①
因②，联立①②解得：或，
又，所以．故选：B.
【变式2-1】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】令，解得，
逐项带入，故选：C.
【变式2-2】（2023·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数满足，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】令，得；
令，，得；
令，得.
将以上三式相加得，即，故选：A．
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
【答案】－1
【解析】令，得，
所以，解得，
，解得.
【变式2-4】（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）对于任意的实数、，函数满足关系式，则 ．
【答案】
【解析】依题意，取，有，则恒成立，
取，则.
【题型3 抽象函数的解析式问题】
【例3】（2023·江苏扬州·高三统考开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
【答案】
【解析】中，令，得；
令得，故，则．
【变式3-1】（2024·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【答案】1,（答案不唯一）
【解析】令，则，
又，所以，即，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数，则，
也可取，则，满足题意.
故答案为：,（答案不唯一）
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足，并且对任意实数x，y都有，求的解析式.
【答案】
【解析】对任意实数，，，
令，得，即，
又，所以.
【变式3-3】（2023·江苏·高一课时练习）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.
【答案】
【解析】由已知条件得，又，
设，则，
所以即
∴.
此时,
而,
符合题设要求，故.
【题型4 抽象函数的值域问题】
【例4】（2024·全国·高三专题练习）若函数的值域是，则函数的值域为 ．
【答案】
【解析】因为函数的值域是，
所以函数的值域为，
则的值域为，
所以函数的值域为．
【变式4-1】（2022·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域是 .
【答案】
【解析】因为是上周期为1的函数，
，
故对任意的整数，当时，，
而，
，即，
故当，
当，
当，
当，
当，
当，
当，
当.
则在的值域是
【变式4-2】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知，且的定义域为，，值域为，，设函数的定义域为､值域为，则（ ）
A． B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】因为，且的定义域为，，值域为，，
则的定义域为，，值域为，，由得，
所以的定义域为，，值域为，，
则，，，，所以，故选：C.
【变式4-3】（2023·湖南·高三祁东县第一中学校联考阶段练习）（多选）已知函数的定义域和值域均为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．函数的值域为
【答案】ABC
【解析】函数中的x需满足，解得，
故函数的定义域为，故A正确；
函数中的x需满足解得，
故函数的定义域为，故B正确；
函数和的值域都为，故C正确，D错误．故选：ABC．
【变式4-4】（2022·全国·高三课时练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于①，因为，则，①不满足条件；
对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；
对于③，因为，则，③满足条件；
对于④，因为，，则，④满足条件.故选：B.
【题型5 抽象函数的单调性问题】
【例5】（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令得，
令，得，则为奇函数，
设，则，
因为当时，，所以，则，
所以在R上单调递增．
由，得，
所以．
可化为，所以，解得．
【变式5-1】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）（多选）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（ ）
A． B．函数在区间为增函数
C．函数在区间为增函数 D．
【答案】ABD
【解析】依题意，当时，恒有，
令，则，所以A选项正确.
不妨设，设，，
由于，所以，
所以，，
所以在为增函数，所以B选项正确.
设的符号无法判断，
所以的单调性无法判断，所以C选项错误.
由上述分析可知，函数在为增函数，
所以，
所以，
同理，
所以，
所以
，所以D选项正确.故选：ABD
【变式5-2】（2023·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考期中）已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③.
（1）求，判断并证明的单调性；
（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；在上的单调递增，证明见解析；（2）
【解析】（1）令，得，解得；在上的单调递增.
证明如下：任取，即，
则，
因为时，，所以时，，
所以在上的单调递增.
（2）令，得，
因为，所以，
不等式等价于，
即；
因为在上单调递增，所以恒成立，
①时，，解得，不等式并非在上恒成立；
②时，只有满足条件，解得.
综上可得.
【变式5-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）函数的定义域为，对于，，，且当时，．
（1）证明：为减函数；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）设，且，则，，
因为，
所以，即为减函数.
（2）因为，
所以，
令，则，即，
所以，
又因为在上单调递减，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
【变式5-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，.
（1）求的值;
（2）判断的单调性，并证明;
（3）解关于的不等式:.
【答案】（1）；（2）是上的减函数，证明见解析；（3）答案见解析
【解析】（1）因为函数对任意实数恒有成立，
令，则，所以.
（2）函数为上的减函数.
证明:令，则，所以，故为奇函数.
任取，且，则，
因为当时，，所以，
所以，
即，所以是上的减函数.
（3）根据题意，可得，
由（2）知在上单调递减，所以，
即，可得，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【题型6 抽象函数的奇偶性问题】
【例6】（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
【答案】BCD
【解析】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误；
由，得，所以为奇函数，B项正确；
因为，所以为偶函数，C项正确；
因为，所以为偶函数，D项正确.故选：BCD.
【变式6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
【答案】AD
【解析】选项A：设，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，
，所以为偶函数，故A正确；
选项B：，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，
所以为偶函数，故B错误；
选项C：设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以为偶函数，故C错误；
选项D：设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为
，
因为是不恒为0的函数，
所以不恒成立，所以不是奇函数
，
因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，
所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确，故选：AD.
【变式6-2】（2023·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知 ，且，则是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定
【答案】A
【解析】取，则，因为，所以.
取，则，即.
即函数是偶函数，故选：A
【变式6-3】（2023·重庆·高三统考阶段练习）（多选）已知定义在上的函数满足，定义在上的函数满足，则（ ）
A．不是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】BC
【解析】令，得，令，得，则，
所以既是奇函数又是偶函数．
由，得，
因为，所以是奇函数．故选：BC
【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且．
（1）求，，的值；
（2）判断的奇偶性，并证明．
【答案】（1），，；（2）偶函数，证明见解析
【解析】（1）令，得，
因为，所以．
令，得，
因为，所以．
令，得，即，
因为，所以，所以．
（2）为偶函数．
证明如下：令，得，
由（1）得，
即，又的定义域为，所以为偶函数．
【题型7 抽象函数的周期性问题】
【例7】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为R，对任意实数，都满足且，，当时，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，有，可得，所以的周期为2．
令，代入，可得，所以，
故函数为奇函数，
所以
因为，所以，所以．故选：C
【变式7-1】（2023·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，且对任意实数，满足，若，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】因为且，
令，，
则，故，即，
所以：，，
所以函数是周期为6的周期函数.
在中，
令，，得，则；
令，，得，则；
由得：
，，，，
所以
故由函数的周期性知中，
任意连续6个数之和为，而，
所以，故选：B
【变式7-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得与已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函数的周期为4.
，故选：A.
【变式7-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．2024 B． C． D．0
【答案】D
【解析】由题意，
在中， 定义域为，，
当时，，解得：，
当时，，
即
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
函数值周期性变化，周期为3，
∵，
可得：
，故选：D.
【变式7-4】（2023·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数的定义域为，且，，则 .
【答案】
【解析】依题意，，，
令得，
所以，则，
，
所以，
所以是周期为的周期函数.
令，则，
，
，
，所以，
因为，所以.
【题型8 抽象函数的对称性问题】
【例8】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知对任意实数x，y，函数(不是常函数）满足，则（ ）
A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数
【答案】B
【解析】令，得，∴；
令，得，∴；
令，得，
∴的图象关于直线关于对称，故选：B.
【变式8-1】（2023·四川南充·高三南充高级中学校考阶段练习）已知定义在上的函数满足，且与曲线交于点，，…，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
所以关于对称，
又关于对称，
因此，故选：B
【变式8-2】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．是周期函数 D．
【答案】ACD
【解析】因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以的图象关于直线对称.故A正确；
因为为奇函数，则其图象关于对称，
向左平移一个单位后得到的图象，则的图象关于对称，故B错误；
因为为奇函数，则，
则有，所以①,
又，则②,
由①②，则，
则，，则，
所以8是函数的一个周期.，是周期函数，故C正确；
因为，，
所以，
，
所以，故D正确，故选：ACD.
【变式8-3】（2024·河南漯河·高三统考期末）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项正确；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，
故，，D选项错误.故选：BC.
【变式8-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数与其导函数的定义域均为，且与均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于点对称
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A项，因为为偶函数，所以关于对称.
若关于对称，则导函数关于点对称，
这与关于对称矛盾，所以A错误；
对于B项，因为为偶函数，所以，即，
所以，所以B正确；
对于C项，因为为偶函数，所以为奇函数，
所以关于对称，关于对称，所以.
又关于对称，所以.
所以，，
所以，故C正确；
对于D项，由A知，关于点对称，.
但无法确定.故D错误，故选：BC.
（建议用时：60分钟）
1．（2022·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域是，满足，即，
又分母不为0，则，所以函数的定义域为：，故选：C.
2．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，所以，所以的定义域为，
从而的定义域为，故选：D.
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）下列函数中，满足的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（方法1）令，则，．
由于，即，所以．
而满足的函数有对数函数（，），
所以，只有B选项符合题意，其它选项均不符合．
（方法2）令，则，得．
在四个选项中，只有B选项满足，其它选项均不符合．故选：B
4．（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数满足：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
令得：，
因为，所以，
令，得：，即，
则，
上面两式子联立得：，所以，
故，故是以6为周期的函数，
且，
所以，故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法错误的有（ ）
A． B．
C． D．若，则周期为
【答案】A
【解析】由，
令，，有，可得或，A错；
当时，令，则，，
函数既是奇函数又是偶函数，，
当时，令，则，则，
函数是偶函数，，综上，B正确；
令，则，故，
由于，令，即，即有，C正确；
若，令，则，
所以，则，
，
所以，则周期为，D正确，故选：A
6．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数的定义域为，且对任意非零实数，都有.则函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】令，则，所以.
令，则，所以.
令，，则，
所以为偶函数，故排除D选项；
由题意可知，函数满足定义域为，且对任意非零实数，
都有，
符合题意，但不为奇函数，故排除AC，故选：B.
7．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在单调递减，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递减 D．在单调递减
【答案】D
【解析】不妨设，满足题意，
此时在单调递增，故A选项错误；
在单调递增，故B选项错误；
在单调递增，故C选项错误；
对于D选项，因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以有，
又在单调递减，且当时，有，
所以由复合函数单调性可知，在上分别单调递增、单调递减，
不失一般性，不妨设，则，，
所以在单调递减，故D选项正确，故选：D.
8．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）若函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令，则，
因为，所以，则，故A错误；
对于B，令，则，则，故B正确；
对于C，令得，，所以，
令得，，则的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由得，
又，所以，则，，
所以，则函数的周期为，
又，，则，，
则，
所以，故D正确，故选：BCD.
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】BD
【解析】令，则，∴或1．
令，则，若，则，与不恒为0矛盾，
∴，∴选项B正确选项A错误；
令，则，∴，∴为偶函数，
∴选项D正确选项C错误，故选：BD．
10．（2024·广东汕头·高三统考期末）（多选）已知定义在上的函数满足：，，且当时，，若，则（ ）
A． B．在上单调递减
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为，，
令，得，则，故A正确；
对于C，令，得，则，所以，故C正确；
对于B，设且，则，
则 ，
因为当时，，所以，即
所以在上单调递增，故B错误；
对于D，令，得，
则，，，，
上述各式相加，得，
又，所以，故D错误；
故选：AC.
11．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为 .
【答案】
【解析】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
12．（2023·四川泸州·统考一模）若函数对一切实数，都满足且，则 ．
【答案】
【解析】由题知，，
令，，则，所以.
13．（2023·全国·模拟预测）若函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】
【解析】因为，
令，有，则或．
若，则令，，
有，得，与已知矛盾，所以．
令，有，
则，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，，有，得．
令，有，得，
令，有，即，
所以，故，
所以的周期为12．
又因为，
所以．
14．（2023·辽宁·高三校联考开学考试）定义在R上的函数对任意，都有，当时，.
（1）求的值；
（2）试判断在R上的单调性，并说明理由；
（3）解不等式.
【答案】（1）；（2）在R上单调递增，理由见解析；（3）
【解析】（1）令，可得，解得.
（2）在R上单调递增，理由如下：
设，则，
，
因为当时，，所以，
则，即.
故在R上单调递增；
（3），即，
因为在R上单调递增，所以，解得，
故原不等式的解集为.
15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数对任意，，总有，且当时，，．
（1）求证：是上的奇函数；
（2）求证：是上的减函数；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）证明：函数对任意，，总有，
令，则，解得.
令，得到，
则可证，是上的奇函数.
（2）证明：在上任取、且，则，
由（1）是上的奇函数，
所以，
因为，所以.
由题可知，当时，，
所以.即
所以函数是上的减函数.
（3）因为，
令，则
令，则.
因为，
所以
又因为函数是上的减函数，
所以，则，解得，
则实数的取值范围是.满分技巧
求抽象函数的定义域
①已知fx的定义域，求fgx的定义域：
若fx的定义域为a,b，则fgx中a≤gx≤b，解得x的取值范围即为fgx的定义域;
②已知fgx的定义域，求fx的定义域：
若fgx的定义域为a,b，则由a≤x≤b确定gx的范围，即为fx的定义域；
③已知fgx的定义域，求fℎx的定义域:
可先由fgx定义域求得fx的定义域，再由fx的定义域求得fℎx的定义域；
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.
注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是x的取值范围，同一个f下括号内的范围是一样的.
满分技巧
以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值。常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值。
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= 1 \* GB3 ①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)；
= 2 \* GB3 ②凑合法：在已知f(g(x))=ℎ(x)的条件下，把ℎ(x)并凑成以g(x)表示的代数式，再利用代换即可求fx；
= 3 \* GB3 ③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；
= 4 \* GB3 ④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；
= 5 \* GB3 ⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x) 的表达式；
= 6 \* GB3 ⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如f(x),f(−x))，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求f(x)的解析式.
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判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
= 1 \* GB3 ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
= 2 \* GB3 ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或.
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奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断和的关系.
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函数周期性的常用结论（是不为0的常数）
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则；
（6）若，则（）；
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1、轴对称：
（1）函数关于直线对称
（2）函数关于直线对称.
2、中心对称：
（1）函数关于点对称；
（2）函数关于点对称
3、函数的奇偶性和对称性的关系：
（1）若为奇函数，则关于对称；
（2）若为偶函数，则关于对称；
（3）若为奇函数，则关于对称；
（4）若为偶函数，则关于对称.