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2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区五校七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区五校七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区五校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是( )
A. a4+a4=a8 B. a4⋅a4=a16 C. (a4)4=a16 D. a8÷a4=a2
2. 中国大陆芯片领域的龙头企业“中芯国际”目前已经实现14nm(0.00000014m)工艺芯片的量产，使中国集成电路制造技术与世界最先进工艺拉近了距离.数据0.000000014用科学记数法表示为( )
A. 14×10−8 B. 1.4×10−8 C. 1.4×10−7 D. 1.4×10−9
3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A. a2−4a+3=(a−1)(a−3) B. 2a2−ab−a=a(2a−b)
C. 8a5b2=4a3b⋅2a2b D. (a+b)2=a2+2ab+b2
4. 若m>n，则下列不等式中不成立的是( )
A. m+2>n+2 B. −2m>−2n C. m−2>n−2 D. m2>n2
5. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1=55°，则∠2=( )
A. 55°
B. 70°
C. 60°
D. 65°
6. 有4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2.若S1=12S2，则a、b满足( )
A. 2a=3b B. 2a=5b C. a=2b D. a=3b
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 计算：30= ______ ．
8. a与3的和是正数，用不等式表示为______ ．
9. 写出一个解为x=1y=−1的二元一次方程是______．
10. 计算：42023×(−0.25)2033= ______ ．
11. 已知3a=6，3b=2，则32a−b的值为______ ．
12. 如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，∠1=50°，则∠2的度数为______．
13. 写出命题“如果mn=1，那么m、n互为倒数”的逆命题：______．
14. 把方程2x−y=1化为用含x的代数式表示y的形式：y=______．
15. 若关于x的不等式组2x+1>6x−a≤0恰有2个整数解，则实数a的取值范围是______ ．
16. 如图，把图(a)称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1；把图(b)称为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为______ 度.(用含n的式子表示)
三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算和化简：
(1)−22+(π−2023)0−(12)−1；
(2)(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：5a(a−2)−(2a−3)(2a+3)−(a+1)2，其中a=−13．
19. (本小题7.0分)
因式分解：
(1)(a−2)x2+9(2−a)；
(2)−2x3+8x2−8x．
20. (本小题7.0分)
(1)解方程组2x−y=33x−2y=4；
(2)解不等式组x−2(x−1)≥12x−13−5x+12<1，并写出它的整数解．
21. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，EF//DC，点H在BC边上，且∠1+∠2=180°．
(1)求证：∠A=∠BDH；
(2)若CD平分∠ACB，∠AFE=30°，求∠BHD的度数．
22. (本小题7.0分)
如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点.仅用无刻度的直尺完成下列作图．
(1)画出△ABC向右平移4个单位后的图形△A1B1C1(注意标上字母)；
(2)画出△ABC的中线CD(注意标上字母)；
(3)在图中存在满足△QBC与△ABC面积相等的格点Q(与点A不重合).共计有______ 个.
23. (本小题7.0分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
24. (本小题7.0分)
配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2(a,b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5=12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2(a,b为整数)的形式；
(2)若x2−4x+5可配方成(x−m)2+n(m,n为常数)，求mn的值；
(3)已知S=x2+4y2+4x−12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值．
25. (本小题7.0分)
已知不等式组x>−1,x<1,x<1−k．
(1)当k=−12时，写出它的解集；
(2)当k=12时，写出它的解集；
(3)当k=3时，写出它的解集；
(4)由(1)(2)(3)当k的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据k值的变化情况，写出原不等式组的解集．
26. (本小题7.0分)
如图，直线PQ//MN，一副三角板(∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=30°,∠BAC=60°,∠DCE=∠DEC=45°)按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
(1)求∠DEQ的度数；
(2)如图②，将ABC绕B每秒°的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F，G).设旋转时间为t秒(0≤t≤36)；
①在旋转过程中，若边BG//CD，求t的值；
②若在△ABC绕B点旋转的同时，△CDE绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转.请直接写出旋转过程中△CDE有一边与BG平行时t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.a4+a4=2a4，故此选项不合题意；
B.a4⋅a4=a8，故此选项不合题意；
C.(a4)4=a16，故此选项符合题意；
D.a8÷a4=a4，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8，
故选：B．
根据科学记数法的表示形式，确定a=1.4，1前面0的个数为8得到10的指数为−8，得出结果．
本题考查利用科学记数法把绝对值较小的数表示为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n等于第一个非0的数字前面0的个数．
3.【答案】A
【解析】解：A.a2−4a+3=(a−1)(a−3)，是因式分解，故该选项正确，符合题意；
B.2a2−ab−a=a(2a−b−1)，因式分解错误，故该选项不正确，不符合题意；
C.8a5b2=4a3b⋅2a2b，不是多项式的积的形式，故该选项不正确，不符合题意；
D.(a+b)2=a2+2ab+b2，是整式的乘方，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．
本题考查了因式分解的定义，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．
4.【答案】B
【解析】解：A.m>n，则m+2>n+2，所以A选项不符合题意；
B.m>n，则−2m<−2n，所以B选项符合题意
C.m>n，则m−2>n−2，所以C选项不符合题意
D.m>n，则12m>12，所以D选项不符合题意．
故选：B．
根据不等式的基本性质(1)对A、C进行判断；根据不等式的基本性质(3)对A进行判断；根据不等式的基本性质(2)对D进行判断．
本题考查了不等式的性质：灵活运用不等式的性质是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AD//BC，∠1=55°，
∴∠1=∠DEF=55°，
根据折叠的性质得，∠GEF=∠DEF=55°，
∵∠2+∠GEF+∠DEF=180°，
∴∠2=70°，
故选：B．
根据平行线的性质得出∠1=∠DEF=55°，根据折叠的性质求出∠GEF=∠DEF=55°，根据平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得：
S2=12b(a+b)×2+12ab×2+(a−b)2
=ab+b2+ab+a2−2ab+b2
=a2+2b2，
S1=(a+b)2−S2
=(a+b)2−(a2+2b2)
=2ab−b2，
∵S1=12S2，
∴2ab−b2=12(a2+2b2)，
∴4ab−2b2=a2+2b2，
∴a2+4b2−4ab=0，
∴(a−2b)2=0，
∴a−2b=0，
∴a=2b．
故选：C．
先用含有a、b的代数式分别表示S2=a2+2b2，S1=2ab−b2，再根据S1=12S2，得a2+2b2=2(2ab−b2)，整理，得(a−2b)2=0，所以a=2b．
本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键．
7.【答案】1
【解析】本题考查了零指数幂的运算，掌握零指数幂的运算法则是关键．
根据零指数幂：a0=1(a≠0)进行运算即可．
解：30=1．
故答案为：1．
8.【答案】a+3>0
【解析】解：根据题意得：a+3>0．
故答案为：a+3>0．
根据“a与3的和是正数”，可得出关于a的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】x+y=0
【解析】解：根据题意得：x+y=0．
故答案为：x+y=0
由1与−1列出算式，即可得到所求方程．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10.【答案】−1
【解析】解：4203×(−0.25)2023
=(−0.25×4)2023
=(−1)2023
=−1．
故答案为：−1．
逆用积的乘方公式计算即可．
本题考查利用积的乘方进行计算，解题的关键是逆用积的乘方公式．
11.【答案】18
【解析】解：32a−b=32a÷3b=62÷2=18．
故答案为：18．
根据同底数幂的除法的逆运算即可进行计算．
本题考查了同底数幂的除法，解决本题的关键是掌握同底数幂的除法法则．
12.【答案】130°
【解析】解：∵a//b，∠1=50°，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=130°，
故答案为：130°．
根据平行线的性质，可以得到∠3的度数，再根据∠2+∠3=180°，即可得到∠2的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】如果m、n互为倒数，那么mn=1
【解析】解：命题“如果mn=1，那么m、n互为倒数”的逆命题是“如果m、n互为倒数，那么mn=1”．
故答案为：如果m、n互为倒数，那么mn=1．
命题“如果mn=1，那么m、n互为倒数”中题设为mn=1，结论为m、n互为倒数，它的逆命题就是题设和结论交换位置．
此题主要考查了原命题与逆命题，掌握逆命题的定义是解题关键．
14.【答案】2x−1
【解析】解：方程2x−y=1，
移项得：−y=1−2x，
解得：y=2x−1．
故答案为：2x−1．
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
15.【答案】4≤a<5
【解析】解：解第一个不等式得：x>2.5，
解第二个不等式得：x≤a，
由题意得：2.5
故答案为：4≤a<5．
先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数列不等式组求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．
16.【答案】360(n−2)
【解析】解：如图：
(a)中：∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1=1×360°；
(b)中：∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1=(5−2)×180°+180°=2×360°；
……，
∴二环n边形的内角和为：360°(n−2)，
故答案为：360(n−2)．
先求出图(a)，图(b)中的内角和，找出规律求解．
本题考查了图形的变化类，根据多边形的内角和找出规律是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=−4+1−2
=−5；
(2)原式=−8x6+x6−9x6
=−16x6．
【解析】(1)先将乘方，0次幂，负整数幂化简，再进行计算即可；
(2)先根据幂的运算法则，将各项化简，再合并同类项即可．
本题主要考查了实数的混合运算，幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握相关运算法则，以及同底数幂相乘(除)，底数不变，指数相加(减)；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
18.【答案】解：原式=5a2−10a−(4a2−9)−(a2+2a+1)
=5a2−10a−4a2+9−a2−2a−1
=−12a+8，
当a=−13时，
原式=−12×(−13)+8
=4+8
=12．
【解析】先展开，再去括号合并同类项，化简后将a的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则，把所求式子化简．
19.【答案】解：(1)(a−2)x2+9(2−a)
=(a−2)(x2−9)
=(a−2)(x−3)(x+3)；
(2)−2x3+8x2−8x
=−2x(x2−4x+4)
=−2x(x−2)2．
【解析】(1)先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可；
(2)先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2x−y=3①3x−2y=4②，
将①×2变形为4x−2y=6③，
③−②得，(4x−2y)−(3x−2y)=6−4，化简得，x=2，
把x=2代入①得，2×2−y=3y=4−3=1，化简得，y=1，
∴方程组的解为x=2y=1；
(2)x−2(x−1)≥1①2x−13−5x+12<1②，
由①得：x≤1，由②得：x>−1，
∴不等式组的解集为−1
【解析】(1)运用加减消元法解二元一次方程组即可；
(2)根据不等式的性质，解一元一次不等式组，并根据取值方法求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组的综合，掌握以上解方程的方法，运算法则是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵EF//DC，
∠2+∠FCD=180°，
∠1+∠2=180°，
∠1=∠FCD，
∴DH//AC，
∴∠A=∠BDH；
(2)解：∵EF//DC，∠AEF=30°，
∠ACD=∠AEF=30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°，
由(1)知DH//AC，
∴∠BHD=∠ACB=60°．
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠2+∠FCD=180°，求出∠1=∠FCD，根据平行线的判定得出DH//AC，根据平行线的性质得出即可；
(2)根据角平分线的定义以及平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
22.【答案】3
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即所求；
(2)取AB的中点D，连接CD，如图所示，CD即为所求；
(3)根据平行线间的距离处处相等，过点A作BC的平行线，如图，不与点A重合的格点Q共有3个；
故答案为：3．
(1)根据平移的定义先分别作出点A、B、C向右平移4个单位后得到的点A1、B1、C1，再顺次连接即可得到所求图形；
(2)根据中线的概念先作出AB边上的中点D，再连接CD即可得到所求；
(3)利用网格，根据平行线间距离相等，作BC的平行线，找到格点Q，即可得出结论．
本题考查了作图−平移变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，
根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)∵29是“完美数”，
∴29=52+22；
(2)∵x2−4x+5
=(x2−4x+4)+1
=(x−2)2+1，
又∵x2−4x+5=(x−m)2+n，
∴m=2，n=1，
∴mn=2×1=2．
(3)当k=13时，S是完美数，
理由如下：S=x2+4y2+4x−12y+13
=x2+4x+4+4y2−12y+9
=(x+2)2+(2y−3)2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y−3也是整数，
∴S是一个“完美数”．
【解析】(1)根据“完美数”的定义判断即可；
(2)利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
(3)利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当k=−12时，不等式解集为−1
(4)①当k≤0时，不等式组的解集为−1
【解析】(1)当k=−12时，根据同小取小易得其解集为−1
(4)比较1−k与−1和1的大小关系，讨论k的取值范围，可得到当k≤0时，不等式组的解集为−1
26.【答案】(1)解：如图①中，
∠ACB=30°，
∠ACN=180°−∠ACB=150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN=12∠ACN=75°，
∵PQ//MN，
∠QEC=180°−75°=105°，
∠DEQ=∠QEC−∠CED=60°，
(2)①如图②中，
∵BG//CD，
∴∠GBC=∠DCN，
∵∠DCN=∠ECN−∠ECD=75°−45°=30°，
∠GBC=30°
∴5t=30，
∴t=6．
∴在旋转过程中，若边BG//CD，t的值为6．
②如图③中，当BG//CD时，延长DC交MN于R．
∵BG//CD，
∴∠GBN=∠DRN，
过D作DS//PQ，则PQ//DS//MN，
∠QED+∠DRN=∠EDS+∠RDS=∠EDR=90°，
∠QED=60°+(4t)°，
∠DRN=90°−(60+4t)°=(30−4t)°，
∴5t=30−4t，
t=103，
如图③−1中，当BG//CD时，延长DC交NM于R．
∵BG//CR，
∠GBN+∠DRM=180°，
∠QED=(60+4t)°，同理：∠EDR=∠PED+∠DRM，
∠DRM=90°−(180°−60°−4f°)=(4t−30)°，
∴5t+4t−30=180，
t=703，
综上所述，满足条件的t的值为103或703．
【解析】(1)如图，先求解∠ACN=180°−∠ACB=150°，∠ECN=12∠ACN=75°，由PQ//MN可得∠QEC=180°−75°=105°，从而可得答案；
(2)①如图，由BG//CD，可得∠GBC=∠DCN，可得∠GBC=30°，再列方程求解即可；②如图，当BG//CD时，延长DC交MN于R.证明∠GBN=∠DRN，过D作DS//PQ，则PQ//DS//MN，可得∠QED=60°+(4t)°∠DRN=90°−(60+4t)°=(30−4t)°，再建立方程即可；如图中，当BG//CD时，延长DC交NM于R.证明∠QED=(60+4t)°，∠DRM=90°−(180°−60°−4f°)=(4t−30)°，再建立方程求解即可．
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的含义，一元一次方程的应用，理解题意，
利用数形结合，清晰的分类讨论都是解本题的关键．
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区五校七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是( )
A. a4+a4=a8 B. a4⋅a4=a16 C. (a4)4=a16 D. a8÷a4=a2
2. 中国大陆芯片领域的龙头企业“中芯国际”目前已经实现14nm(0.00000014m)工艺芯片的量产，使中国集成电路制造技术与世界最先进工艺拉近了距离.数据0.000000014用科学记数法表示为( )
A. 14×10−8 B. 1.4×10−8 C. 1.4×10−7 D. 1.4×10−9
3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是( )
A. a2−4a+3=(a−1)(a−3) B. 2a2−ab−a=a(2a−b)
C. 8a5b2=4a3b⋅2a2b D. (a+b)2=a2+2ab+b2
4. 若m>n，则下列不等式中不成立的是( )
A. m+2>n+2 B. −2m>−2n C. m−2>n−2 D. m2>n2
5. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，∠1=55°，则∠2=( )
A. 55°
B. 70°
C. 60°
D. 65°
6. 有4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2.若S1=12S2，则a、b满足( )
A. 2a=3b B. 2a=5b C. a=2b D. a=3b
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. 计算：30= ______ ．
8. a与3的和是正数，用不等式表示为______ ．
9. 写出一个解为x=1y=−1的二元一次方程是______．
10. 计算：42023×(−0.25)2033= ______ ．
11. 已知3a=6，3b=2，则32a−b的值为______ ．
12. 如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，∠1=50°，则∠2的度数为______．
13. 写出命题“如果mn=1，那么m、n互为倒数”的逆命题：______．
14. 把方程2x−y=1化为用含x的代数式表示y的形式：y=______．
15. 若关于x的不等式组2x+1>6x−a≤0恰有2个整数解，则实数a的取值范围是______ ．
16. 如图，把图(a)称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1；把图(b)称为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为______ 度.(用含n的式子表示)
三、解答题（本大题共10小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算和化简：
(1)−22+(π−2023)0−(12)−1；
(2)(−2x2)3+x2⋅x4−(−3x3)2．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：5a(a−2)−(2a−3)(2a+3)−(a+1)2，其中a=−13．
19. (本小题7.0分)
因式分解：
(1)(a−2)x2+9(2−a)；
(2)−2x3+8x2−8x．
20. (本小题7.0分)
(1)解方程组2x−y=33x−2y=4；
(2)解不等式组x−2(x−1)≥12x−13−5x+12<1，并写出它的整数解．
21. (本小题7.0分)
如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，EF//DC，点H在BC边上，且∠1+∠2=180°．
(1)求证：∠A=∠BDH；
(2)若CD平分∠ACB，∠AFE=30°，求∠BHD的度数．
22. (本小题7.0分)
如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点.仅用无刻度的直尺完成下列作图．
(1)画出△ABC向右平移4个单位后的图形△A1B1C1(注意标上字母)；
(2)画出△ABC的中线CD(注意标上字母)；
(3)在图中存在满足△QBC与△ABC面积相等的格点Q(与点A不重合).共计有______ 个.
23. (本小题7.0分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
24. (本小题7.0分)
配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2(a,b为整数)的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5=12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
(1)已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2(a,b为整数)的形式；
(2)若x2−4x+5可配方成(x−m)2+n(m,n为常数)，求mn的值；
(3)已知S=x2+4y2+4x−12y+k(x,y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出k值．
25. (本小题7.0分)
已知不等式组x>−1,x<1,x<1−k．
(1)当k=−12时，写出它的解集；
(2)当k=12时，写出它的解集；
(3)当k=3时，写出它的解集；
(4)由(1)(2)(3)当k的值发生变化时，原不等式组的解集也发生变化，试根据k值的变化情况，写出原不等式组的解集．
26. (本小题7.0分)
如图，直线PQ//MN，一副三角板(∠ABC=∠CDE=90°,∠ACB=30°,∠BAC=60°,∠DCE=∠DEC=45°)按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
(1)求∠DEQ的度数；
(2)如图②，将ABC绕B每秒°的速度按逆时针方向旋转(A,C的对应点分别为F，G).设旋转时间为t秒(0≤t≤36)；
①在旋转过程中，若边BG//CD，求t的值；
②若在△ABC绕B点旋转的同时，△CDE绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转.请直接写出旋转过程中△CDE有一边与BG平行时t的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.a4+a4=2a4，故此选项不合题意；
B.a4⋅a4=a8，故此选项不合题意；
C.(a4)4=a16，故此选项符合题意；
D.a8÷a4=a4，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而判断即可．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8，
故选：B．
根据科学记数法的表示形式，确定a=1.4，1前面0的个数为8得到10的指数为−8，得出结果．
本题考查利用科学记数法把绝对值较小的数表示为a×10−n的形式，其中1≤|a|<10，n等于第一个非0的数字前面0的个数．
3.【答案】A
【解析】解：A.a2−4a+3=(a−1)(a−3)，是因式分解，故该选项正确，符合题意；
B.2a2−ab−a=a(2a−b−1)，因式分解错误，故该选项不正确，不符合题意；
C.8a5b2=4a3b⋅2a2b，不是多项式的积的形式，故该选项不正确，不符合题意；
D.(a+b)2=a2+2ab+b2，是整式的乘方，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．
本题考查了因式分解的定义，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算．
4.【答案】B
【解析】解：A.m>n，则m+2>n+2，所以A选项不符合题意；
B.m>n，则−2m<−2n，所以B选项符合题意
C.m>n，则m−2>n−2，所以C选项不符合题意
D.m>n，则12m>12，所以D选项不符合题意．
故选：B．
根据不等式的基本性质(1)对A、C进行判断；根据不等式的基本性质(3)对A进行判断；根据不等式的基本性质(2)对D进行判断．
本题考查了不等式的性质：灵活运用不等式的性质是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵AD//BC，∠1=55°，
∴∠1=∠DEF=55°，
根据折叠的性质得，∠GEF=∠DEF=55°，
∵∠2+∠GEF+∠DEF=180°，
∴∠2=70°，
故选：B．
根据平行线的性质得出∠1=∠DEF=55°，根据折叠的性质求出∠GEF=∠DEF=55°，根据平角的定义求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得：
S2=12b(a+b)×2+12ab×2+(a−b)2
=ab+b2+ab+a2−2ab+b2
=a2+2b2，
S1=(a+b)2−S2
=(a+b)2−(a2+2b2)
=2ab−b2，
∵S1=12S2，
∴2ab−b2=12(a2+2b2)，
∴4ab−2b2=a2+2b2，
∴a2+4b2−4ab=0，
∴(a−2b)2=0，
∴a−2b=0，
∴a=2b．
故选：C．
先用含有a、b的代数式分别表示S2=a2+2b2，S1=2ab−b2，再根据S1=12S2，得a2+2b2=2(2ab−b2)，整理，得(a−2b)2=0，所以a=2b．
本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键．
7.【答案】1
【解析】本题考查了零指数幂的运算，掌握零指数幂的运算法则是关键．
根据零指数幂：a0=1(a≠0)进行运算即可．
解：30=1．
故答案为：1．
8.【答案】a+3>0
【解析】解：根据题意得：a+3>0．
故答案为：a+3>0．
根据“a与3的和是正数”，可得出关于a的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
9.【答案】x+y=0
【解析】解：根据题意得：x+y=0．
故答案为：x+y=0
由1与−1列出算式，即可得到所求方程．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
10.【答案】−1
【解析】解：4203×(−0.25)2023
=(−0.25×4)2023
=(−1)2023
=−1．
故答案为：−1．
逆用积的乘方公式计算即可．
本题考查利用积的乘方进行计算，解题的关键是逆用积的乘方公式．
11.【答案】18
【解析】解：32a−b=32a÷3b=62÷2=18．
故答案为：18．
根据同底数幂的除法的逆运算即可进行计算．
本题考查了同底数幂的除法，解决本题的关键是掌握同底数幂的除法法则．
12.【答案】130°
【解析】解：∵a//b，∠1=50°，
∴∠1=∠3=50°，
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=130°，
故答案为：130°．
根据平行线的性质，可以得到∠3的度数，再根据∠2+∠3=180°，即可得到∠2的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13.【答案】如果m、n互为倒数，那么mn=1
【解析】解：命题“如果mn=1，那么m、n互为倒数”的逆命题是“如果m、n互为倒数，那么mn=1”．
故答案为：如果m、n互为倒数，那么mn=1．
命题“如果mn=1，那么m、n互为倒数”中题设为mn=1，结论为m、n互为倒数，它的逆命题就是题设和结论交换位置．
此题主要考查了原命题与逆命题，掌握逆命题的定义是解题关键．
14.【答案】2x−1
【解析】解：方程2x−y=1，
移项得：−y=1−2x，
解得：y=2x−1．
故答案为：2x−1．
把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
15.【答案】4≤a<5
【解析】解：解第一个不等式得：x>2.5，
解第二个不等式得：x≤a，
由题意得：2.5
故答案为：4≤a<5．
先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数列不等式组求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式组的解法是解题的关键．
16.【答案】360(n−2)
【解析】解：如图：
(a)中：∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1=1×360°；
(b)中：∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1=(5−2)×180°+180°=2×360°；
……，
∴二环n边形的内角和为：360°(n−2)，
故答案为：360(n−2)．
先求出图(a)，图(b)中的内角和，找出规律求解．
本题考查了图形的变化类，根据多边形的内角和找出规律是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=−4+1−2
=−5；
(2)原式=−8x6+x6−9x6
=−16x6．
【解析】(1)先将乘方，0次幂，负整数幂化简，再进行计算即可；
(2)先根据幂的运算法则，将各项化简，再合并同类项即可．
本题主要考查了实数的混合运算，幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握相关运算法则，以及同底数幂相乘(除)，底数不变，指数相加(减)；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
18.【答案】解：原式=5a2−10a−(4a2−9)−(a2+2a+1)
=5a2−10a−4a2+9−a2−2a−1
=−12a+8，
当a=−13时，
原式=−12×(−13)+8
=4+8
=12．
【解析】先展开，再去括号合并同类项，化简后将a的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关运算的法则，把所求式子化简．
19.【答案】解：(1)(a−2)x2+9(2−a)
=(a−2)(x2−9)
=(a−2)(x−3)(x+3)；
(2)−2x3+8x2−8x
=−2x(x2−4x+4)
=−2x(x−2)2．
【解析】(1)先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可；
(2)先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)2x−y=3①3x−2y=4②，
将①×2变形为4x−2y=6③，
③−②得，(4x−2y)−(3x−2y)=6−4，化简得，x=2，
把x=2代入①得，2×2−y=3y=4−3=1，化简得，y=1，
∴方程组的解为x=2y=1；
(2)x−2(x−1)≥1①2x−13−5x+12<1②，
由①得：x≤1，由②得：x>−1，
∴不等式组的解集为−1
【解析】(1)运用加减消元法解二元一次方程组即可；
(2)根据不等式的性质，解一元一次不等式组，并根据取值方法求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组的综合，掌握以上解方程的方法，运算法则是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵EF//DC，
∠2+∠FCD=180°，
∠1+∠2=180°，
∠1=∠FCD，
∴DH//AC，
∴∠A=∠BDH；
(2)解：∵EF//DC，∠AEF=30°，
∠ACD=∠AEF=30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=2×30°=60°，
由(1)知DH//AC，
∴∠BHD=∠ACB=60°．
【解析】(1)根据平行线的性质得出∠2+∠FCD=180°，求出∠1=∠FCD，根据平行线的判定得出DH//AC，根据平行线的性质得出即可；
(2)根据角平分线的定义以及平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
22.【答案】3
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即所求；
(2)取AB的中点D，连接CD，如图所示，CD即为所求；
(3)根据平行线间的距离处处相等，过点A作BC的平行线，如图，不与点A重合的格点Q共有3个；
故答案为：3．
(1)根据平移的定义先分别作出点A、B、C向右平移4个单位后得到的点A1、B1、C1，再顺次连接即可得到所求图形；
(2)根据中线的概念先作出AB边上的中点D，再连接CD即可得到所求；
(3)利用网格，根据平行线间距离相等，作BC的平行线，找到格点Q，即可得出结论．
本题考查了作图−平移变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，
根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)∵29是“完美数”，
∴29=52+22；
(2)∵x2−4x+5
=(x2−4x+4)+1
=(x−2)2+1，
又∵x2−4x+5=(x−m)2+n，
∴m=2，n=1，
∴mn=2×1=2．
(3)当k=13时，S是完美数，
理由如下：S=x2+4y2+4x−12y+13
=x2+4x+4+4y2−12y+9
=(x+2)2+(2y−3)2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y−3也是整数，
∴S是一个“完美数”．
【解析】(1)根据“完美数”的定义判断即可；
(2)利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
(3)利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
25.【答案】解：(1)当k=−12时，不等式解集为−1
(4)①当k≤0时，不等式组的解集为−1
【解析】(1)当k=−12时，根据同小取小易得其解集为−1
(4)比较1−k与−1和1的大小关系，讨论k的取值范围，可得到当k≤0时，不等式组的解集为−1
26.【答案】(1)解：如图①中，
∠ACB=30°，
∠ACN=180°−∠ACB=150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN=12∠ACN=75°，
∵PQ//MN，
∠QEC=180°−75°=105°，
∠DEQ=∠QEC−∠CED=60°，
(2)①如图②中，
∵BG//CD，
∴∠GBC=∠DCN，
∵∠DCN=∠ECN−∠ECD=75°−45°=30°，
∠GBC=30°
∴5t=30，
∴t=6．
∴在旋转过程中，若边BG//CD，t的值为6．
②如图③中，当BG//CD时，延长DC交MN于R．
∵BG//CD，
∴∠GBN=∠DRN，
过D作DS//PQ，则PQ//DS//MN，
∠QED+∠DRN=∠EDS+∠RDS=∠EDR=90°，
∠QED=60°+(4t)°，
∠DRN=90°−(60+4t)°=(30−4t)°，
∴5t=30−4t，
t=103，
如图③−1中，当BG//CD时，延长DC交NM于R．
∵BG//CR，
∠GBN+∠DRM=180°，
∠QED=(60+4t)°，同理：∠EDR=∠PED+∠DRM，
∠DRM=90°−(180°−60°−4f°)=(4t−30)°，
∴5t+4t−30=180，
t=703，
综上所述，满足条件的t的值为103或703．
【解析】(1)如图，先求解∠ACN=180°−∠ACB=150°，∠ECN=12∠ACN=75°，由PQ//MN可得∠QEC=180°−75°=105°，从而可得答案；
(2)①如图，由BG//CD，可得∠GBC=∠DCN，可得∠GBC=30°，再列方程求解即可；②如图，当BG//CD时，延长DC交MN于R.证明∠GBN=∠DRN，过D作DS//PQ，则PQ//DS//MN，可得∠QED=60°+(4t)°∠DRN=90°−(60+4t)°=(30−4t)°，再建立方程即可；如图中，当BG//CD时，延长DC交NM于R.证明∠QED=(60+4t)°，∠DRM=90°−(180°−60°−4f°)=(4t−30)°，再建立方程求解即可．
本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的含义，一元一次方程的应用，理解题意，
利用数形结合，清晰的分类讨论都是解本题的关键．
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