湖北省鄂州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类(含答案)

这是一份湖北省鄂州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类(含答案)，共19页。试卷主要包含了先化简，再求值等内容，欢迎下载使用。

湖北省鄂州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
2．（2022•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．
3．（2021•鄂州）先化简，再求值：÷+，其中x＝2．
二．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝2＝10；+＝2＝；0.4+0.4＝2＝0.8；+5＞2＝2；0.2+3.2＞2＝1.6；+＞2．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想证明
∵（﹣）2≥0，
∴①当且仅当﹣＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当﹣≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想运用
对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y＝+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

三．矩形的性质（共1小题）
5．（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．

四．直线与圆的位置关系（共1小题）
6．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．

五．切线的性质（共1小题）
7．（2021•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．

六．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．

七．作图—基本作图（共1小题）
9．（2023•鄂州）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．

九．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2022•鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：
（1）表中a＝　 　，C等级对应的圆心角度数为 　 　；
（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？
（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
等级
成绩x/分
人数
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7

12．（2021•鄂州）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60≤x＜70）、合格（70≤x＜80）、良好（80≤x＜90）、优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）：

根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了 　 　名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为 　 　，请补全条形统计图．
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．

湖北省鄂州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中 a＝2．
【答案】．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
2．（2022•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．
【答案】a﹣1，2．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝a﹣1，
当a＝3时，原式＝3﹣1＝2．
3．（2021•鄂州）先化简，再求值：÷+，其中x＝2．
【答案】．
【解答】解：原式＝＝，
当x＝2时，原式＝．
二．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝2＝10；+＝2＝；0.4+0.4＝2＝0.8；+5＞2＝2；0.2+3.2＞2＝1.6；+＞2．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想证明
∵（﹣）2≥0，
∴①当且仅当﹣＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当﹣≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想运用
对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y＝+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

【答案】猜想运用：x＝1时，函数y的最小值为2；变式探究：x＝4时，函数y的最小值为5；拓展应用：每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为．
【解答】解：
猜想运用：∵x＞0，
∴，
∴y≥2，
∴当x＝时，ymin＝2，
此时x2＝1，
只取x＝1，
即x＝1时，函数y的最小值为2．
变式探究：
∵x＞3，
∴x﹣3＞0，
∴y＝≥5，
∴当时，ymin＝5，
此时（x﹣3）2＝1，
∴x1＝4，x2＝2（舍去）
即x＝4时，函数y的最小值为5．
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，由题意得：9x+12y＝63，
即：3x+4y＝21，
∵3x＞0，4y＞0
∴3x+4y≥2，
即：21≥2，
整理得：xy≤，
即：S≤，
∴当3x＝4y时
此时x＝，y＝，
即每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为．
三．矩形的性质（共1小题）
5．（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．

【答案】（1）证明过程见解析；
（2）36．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF；
（2）解：由（1）可知，DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝6，
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∴S矩形ABCD＝BC•CD＝6×6＝36．
四．直线与圆的位置关系（共1小题）
6．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．

【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解答过程；
（2）9．
【解答】解：（1）PC是⊙O的切线，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠PCB＝∠OAC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，tanA＝，
∵tanA＝，
∴＝，
∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴＝＝＝，
∵PC＝4，
∴PB＝2，PA＝8，
∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，
∴OC＝OB＝OA＝3，
∵BC∥OD，
∴，即，
∴CD＝6，
∵OC⊥CD，
∴＝×3×6＝9．
五．切线的性质（共1小题）
7．（2021•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥OB，
∵AB经过⊙O半径的外端点B，
∴AB切⊙O于点B，
又⊙O与AC边相切于点D，
∴AB＝AD．
（2）解：如图，

连接BD，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CDE+∠ADB＝90°，
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠EDC，
又∵，
∴，
即，
∵DE＝2，
∴BD＝4，，
又∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
设CE＝x，则DC＝2x，
∴，
∴x1＝0（舍去），，
即线段EC的长为．
六．切线的判定与性质（共1小题）
8．（2023•鄂州）如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，点C为的中点，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求⊙O的半径长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）2.5．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵点C为的中点，
∴，
∴∠EAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠ADC＝∠OCF，
∵CD⊥AE，
∴∠ADC＝90°，
∴∠OCF＝90°，
即OC⊥DF，
又OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，BC，

由（1）知CD是⊙O的切线，
∴CD2＝DE•AD，
∵DE＝1，DC＝2，
∴AD＝4，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
在Rt△DCE中，由勾股定理得，
∵点C是的中点，
∴，
∴EC＝BC＝，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得，
∴⊙O的半径长是2.5．
七．作图—基本作图（共1小题）
9．（2023•鄂州）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．

【答案】（1）作图见解答．
（2）证明见解答．
【解答】解：（1）如图所示；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，
∴∠DAF＝∠AFC，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠AFC，
∴EA＝EF，
∵AE＝AD，
∴AD＝EF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．

【答案】（1）四边形BEDF为平行四边形，理由详见解析过程；
（2）BC＝16．
【解答】解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）设AG＝2a，∵，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
九．列表法与树状图法（共2小题）
11．（2022•鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：
（1）表中a＝　20　，C等级对应的圆心角度数为 　108°　；
（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？
（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
等级
成绩x/分
人数
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7

【答案】（1）20，108°；
（2）估计该校成绩为A等级的学生共有150人；
（3）恰好抽到T1，T2的概率为．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷＝60（人），
∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级对应的圆心角度数为：360°×＝108°，
故答案为：20，108°；
（2）600×＝150（人），
答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人；
（3）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种，
∴恰好抽到T1，T2的概率为＝．
12．（2021•鄂州）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60≤x＜70）、合格（70≤x＜80）、良好（80≤x＜90）、优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）：

根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了 　40　名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为 　36°　，请补全条形统计图．
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．
【答案】（1）40，36°，图形见解析；
（2）．
【解答】解：（1）胡老师共抽取的学生人数为：20÷50%＝40（名），
则扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为：360°×＝36°，
“合格”的学生人数为：40﹣4﹣20﹣4＝12（名），
故答案为：40，36°，
补全条形统计图如下：

（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲学生被选到的结果有6种，
∴甲学生被选到的概率为＝．