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湖北省武汉市洪山区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份湖北省武汉市洪山区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）5的平方根是（ ）
A． B．﹣ C．± D．5
2．（3分）下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．了解神舟飞船的设备零件的质量情况
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
C．全国人口普查
D．企业招聘，对应聘人员进行面试
3．（3分）如图，下列四个选项中，不能判断AB∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠B+∠BCD＝180°
C．∠2＝∠4 D．∠D+∠BAD＝180°
4．（3分）若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（3分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+3 D．m2a＜m2b
6．（3分）已知点Q（2x，﹣y）在第一象限，则点P（x，y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水27千克，两种药水各需（ ）
A．18千克，9千克 B．17千克，10千克
C．15千克，12千克 D．16千克，11千克
8．（3分）若不等式的解都能使不等式3x＜2x+a成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，A（m，﹣3），B（2，n），C（2，6﹣m），其中m+n＝2，并且3≤2m+n≤8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：，则答案中另一个方程应为（ ）
A．3a+b＝12 B．
C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个二元一次方程： ，使它有一个解为．
12．（3分）学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是 ．
13．（3分）已知第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 ．
14．（3分）若关于x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，图①是四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为 ．
16．（3分）如图，点A，B分别在直线MN，ST上，点C在MN与ST之间，点E在线段BC上，已知∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
有以下列结论：
①MN∥ST；
②∠ACB＝∠CAN+∠CBT；
③若∠ACB＝60°，AD∥CB，且∠DAE＝3∠CBT，则∠CAE＝3∠CAN；
④若为整数且n≥1），∠MAE＝（n+1）∠CBT，则∠CAE：∠CAN＝n．
其中结论正确的有 （填写正确结论的序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（IV）原不等式组的解集为 ．
19．（8分）4月18日，为迎接第28个世界读书日，我校初一年级开展了《名著知识知多少》答题比赛．现随机抽取了若干个学生的答题成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：0≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100，x表示成绩，成绩为整数）．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽取学生人数为 人，m＝ ，扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数为 °；
（2）补全频数分布直方图；
（3）我校初一年级共有3200名学生，请据此估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有多少人．
20．（8分）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣4，0），且AB＝5．将线段AB向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到线段DC（A对应D，B对应C）．
（1）画出线段CD，连接AD，BC；
（2）线段AB与CD的位置关系为 ，数量关系为 ；
（3）四边形ABCD的面积为 ；
（4）已知点E（3，﹣3），点F在线段CD上运动，则EF的最小值为 ．
22．（10分）如图1所示的A型（1×1）正方形板材和B型（3×1）长方形板材，可用于制作成如图2所示的竖式和横式两种无盖箱子（不计损耗）．已知板材每平方米20元．
（1）若用7800元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式箱子多少个？
（2）若有A型板材67张，B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40个，问有哪几种制作方案？
（3）若有A型板材162张，B型板材a张，做成上述两种箱子，板材恰好用完．已知290＜a＜306．直接写出a的所有可能的取值 ．
23．（10分）已知：E，F分别是直线AB和CD上的点，AB∥CD，G，H点为平面内两个动点．
（1）如图1，G，H在两条直线之间时，∠G＝∠H，试说明：∠AEG＝∠HFD；
（2）如图2，作直线EF，G点在CD下方，H点在AB和CD之间，连接EH，HF，∠HEF和∠HFM的角平分线交于点G．探究∠H与∠G 的数量关系；
（3）如图3，H，G在直线EF上，射线EH绕点E以每秒12°的速度逆时针旋转，射线FG在EH旋转6秒后开始绕点F以每秒8°的速度顺时针旋转．射线FG旋转160°后两条射线同时停止．设射线FG旋转t秒时，射线EH∥FG，直接写出t的值．
24．（12分）如图，平面直角坐标系中，已知点，0），B（0，1），点P（x，y）在直线AB上．
（1）请找到x与y之间的数量关系y＝ （用含x的式子表示）；
（2）已知点C（3，0），M（a，b）和N（a+2，b+1），且有b＝3a：
①若P（1，y），且线段PC与线段MN有交点，求a的取值范围；
②若a＝1，将线段MC向右平移2个单位，且在平移过程中，存在△PMC的面积等于3，求P点横坐标x的取值范围．
2022-2023学年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）5的平方根是（ ）
A． B．﹣ C．± D．5
【分析】根据平方根定义求出即可．
【解答】解：5的平方根是±，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的应用，能理解平方根定义是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
2．（3分）下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．了解神舟飞船的设备零件的质量情况
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
C．全国人口普查
D．企业招聘，对应聘人员进行面试
【分析】根据全面调查与抽样调查的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、了解神舟飞船的设备零件的质量情况，适合普查，故A不符合题意；
B、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查，故B符合题意；
C、全国人口普查，适合普查，故C不符合题意；
D、企业招聘，对应聘人员进行面试，适合普查，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，下列四个选项中，不能判断AB∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠B+∠BCD＝180°
C．∠2＝∠4 D．∠D+∠BAD＝180°
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、∠1＝∠3，能判定AB∥CD，
故不符合题意；
B、∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD，
故不符合题意；
C、∠2＝∠4，能判定AD∥CD，
故符合题意；
D、∠D+∠BAD＝180°，能判定AB∥CD，
故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
4．（3分）若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【解答】解：将是代入方程ax+y＝3得：
﹣a+2＝3，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟记方程的解：就是使方程的左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
5．（3分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+3 D．m2a＜m2b
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴1﹣a＞1﹣b，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；
C．∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+3，故本选项不符合题意；
D．当m＝0时，m2a＝m2b，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）已知点Q（2x，﹣y）在第一象限，则点P（x，y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特点得出x，y的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵点Q（2x，﹣y）在第一象限，
∴2x＞0，﹣y＞0，
∴x＞0，y＜0，
∴点P（x，y）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．（3分）用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水27千克，两种药水各需（ ）
A．18千克，9千克 B．17千克，10千克
C．15千克，12千克 D．16千克，11千克
【分析】根据含药30%和75%的两种防腐药水中的药的质量和等于含药50%的防腐药水27千克中药的质量列方程可解得答案．
【解答】解：设含药30%的防腐药水需x千克，则含药75%的防腐药水（27﹣x）千克，
根据题意得：30%x+75%（27﹣x）＝50%×27，
解得：x＝15，
∴27﹣x＝27﹣15＝12，
∴含药30%的防腐药水需15千克，含药75%的防腐药水12千克，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
8．（3分）若不等式的解都能使不等式3x＜2x+a成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
2（x+1）﹣3（2x﹣5）≥12，
2x+2﹣6x+15≥12，
2x﹣6x≥12﹣2﹣15，
﹣4x≥﹣5，
x≤，
∵3x＜2x+a，
∴3x﹣2x＜a，
∴x＜a，
∵不等式的解都能使不等式3x＜2x+a成立，
∴a＞，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，A（m，﹣3），B（2，n），C（2，6﹣m），其中m+n＝2，并且3≤2m+n≤8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】观察三个点的坐标可知BC＝6﹣m﹣n＝4，再由m+n＝2，并且3≤2m+n≤8可得1≤m≤6，可得BC边上高的最大值，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵B（2，n），C（2，6﹣m），m+n＝2，
∴BC＝6﹣m﹣n＝4，
∵m+n＝2，并且3≤2m+n≤8，
∴1≤m≤6，
∴BC边上高的最大值是4，
∴△ABC面积的最大值为4×4÷2＝8．
故选：B．
【点评】考查了坐标与图形性质，三角形的面积，关键是得到BC的长和BC边上高的最大值．
10．（3分）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：，则答案中另一个方程应为（ ）
A．3a+b＝12 B．
C． D．
【分析】由3a＝6b可知a表示上山所用时间，b表示下山所用时间，分别求出从家到山顶、从山顶到家所用的时间，两者之差等于上山与下山所用时间之差，由此列出方程即可．
【解答】解：由题意知，3a＝6b表示上山的路程等于下山的路程，
∴a表示上山用的时间，b表示下山用的时间，
由题意知，小明从家到山顶所用时间为12﹣8.5＝3.5（h），
从山顶回到家所用时间为3﹣1＝2（h），
∴上山比下山多用时间为：3.5﹣2＝1.5（h），
∴a﹣b＝，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个二元一次方程： （答案不唯一） ，使它有一个解为．
【分析】根据所给二元一次方程组的解写出符合条件的二元一次方程组即可．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴二元一次方程组为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
12．（3分）学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是 70 ．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是70．
故答案为：70．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
13．（3分）已知第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 5 ．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，
∴4﹣a＝﹣（3a﹣14），
解得a＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
14．（3分）若关于x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是 6≤m＜7 ．
【分析】先根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，根据不等式组恰好有4个整数解得出﹣8＜﹣1﹣m≤﹣7，再求出m的范围即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜﹣3，
解不等式②，得x≥﹣1﹣m，
所以不等式组的解集是﹣1﹣m≤x＜﹣3，
∵关于x的不等式组恰好有4个整数解（是﹣4，﹣5，﹣6，﹣7），
∴﹣8＜﹣1﹣m≤﹣7，
解得：6≤m＜7．
故答案为：6≤m＜7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能得出关于m的不等式﹣8＜﹣1﹣m≤﹣7是解此题的关键．
15．（3分）如图，图①是四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为 108° ．
【分析】利用折叠，得到全等图形，会得到相等的角、相等的边这一性质推理即可．
【解答】解：第一次折叠后，
∵∠B′EF＝∠BEF，∠FEM＝24°，
∴∠B′EM＝2∠FEM＝48°，
∵AB′∥DF，
∴∠B′EM＝∠FMB＝48°，∠B′EF＝∠EFM＝24°，
第二次折叠后，
∵BM∥CF，
∴∠BMF＝∠FMB″＝48°，∠BMF+∠MFC＝180°，
∴∠MFC＝180°﹣48°＝132°，
∵∠MFC＝∠EFM+EFC，
∴∠EFC＝132°﹣24°＝108°．
故答案为：108°．
【点评】本题考查了折叠问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和折叠后的对应角相等．
16．（3分）如图，点A，B分别在直线MN，ST上，点C在MN与ST之间，点E在线段BC上，已知∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
有以下列结论：
①MN∥ST；
②∠ACB＝∠CAN+∠CBT；
③若∠ACB＝60°，AD∥CB，且∠DAE＝3∠CBT，则∠CAE＝3∠CAN；
④若为整数且n≥1），∠MAE＝（n+1）∠CBT，则∠CAE：∠CAN＝n．
其中结论正确的有 ①②③④ （填写正确结论的序号）．
【分析】利用平行线的判定和性质，将角度进行转化求解．
【解答】解：如图，连接AB，作CF∥ST，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°，∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠MAB+∠SBA＝180°，
∴MN∥ST，故①正确；
∵CF∥ST，MN∥ST，
∴MN∥ST∥CF，
∴∠CAN＝∠ACF，∠CBT＝∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠CAN+∠CBT，故②正确；
设∠CBT＝α，则∠DAE＝2α，∠BCF＝∠CBT＝α，∠CAN＝∠ACF＝60°﹣α，
∵AD∥BC，∠ACB＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠CAE＝120°﹣∠DAE＝120°﹣2α＝2（60°﹣α），
∴∠CAE≠＝2∠CAN，故③正确；
设∠CBT＝β，则∠MAE＝nβ，
∵CF∥ST，
∴∠CBT＝∠BCF＝β，
∴∠ACF＝∠CAN＝，
∴∠CAE＝180°﹣∠MAE﹣∠CAN＝180°﹣nβ﹣，
∴∠CAE：∠CAN＝（180°﹣nβ）：＝：＝n﹣1，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】根据绝对值的性质计算；利用二元一次方程组的解法解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣8+2﹣＝﹣7﹣．
（2）解方程组：，
②﹣①×2得：7y＝7，解得y＝1，
将y＝1代入①中，解得x＝6，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题为计算题，考查了学生的运算能力，解决问题的关键是明确解方程组的解法即可．
18．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x＜1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣1 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（IV）原不等式组的解集为 ﹣1≤x＜1 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x＜1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（IV）原不等式组的解集为﹣1≤x＜1；
故答案为：（Ⅰ）x＜1；
（Ⅱ）x≥﹣1；
（Ⅳ）﹣1≤x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．（8分）4月18日，为迎接第28个世界读书日，我校初一年级开展了《名著知识知多少》答题比赛．现随机抽取了若干个学生的答题成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：0≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100，x表示成绩，成绩为整数）．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽取学生人数为 60 人，m＝ 60 ，扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数为 36 °；
（2）补全频数分布直方图；
（3）我校初一年级共有3200名学生，请据此估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有多少人．
【分析】（1）根据D组人数和所占百分比即可求出本次抽取学生人数；
C组人数除以总人数化成百分比即可求出m；
求出A组所占百分比，再乘以360°即可得到扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数；
（2）先求出B组人数，再补全频数分布直方图即可；
（3）将学生答题成绩处于C组和D组所占百分比的和乘以3200即可作出估计．
【解答】解：（1）∵D组6人，占10%，
∴本次抽取学生人数为：6÷10%＝60（人）；
∵C组36人，
∴m%＝，
∴m＝60；
A组所对应的扇形圆心角的度数为：＝36°．
故答案为：60，60，36；
（2）B组人数为：60﹣6﹣36﹣6＝12（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有：（60%+10%）×3200＝2240（人），
答：估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有2240人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息，熟悉样本估计总体的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
【分析】（1）由∠BED＝∠C，得到DE∥AC，由角平分线定义得到∠1＝∠GAH，又∠1+∠2＝90°，因此∠2+∠GAH＝90°，得到GH⊥AC，即可证明HF⊥DE；
（2）由角平分线定义得到∠GAH＝∠BAC＝34°，即可求出∠2的度数，由条件可以证明DF∥AG，得到∠DFH＝∠2．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C，
∴DE∥AC，
∵AG平分∠BAC，
∴∠1＝∠GAH，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠GAH＝90°，
∴GH⊥AC，
∴HF⊥DE；
（2）解：∵AG平分∠BAC，
∴∠GAH＝∠BAC＝34°，
∴∠2＝90°﹣34°＝56°，
∵DE∥AC，
∴∠3＝∠GAH，
∵∠1＝∠GAH，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴DF∥AG，
∴∠DFH＝∠2＝56°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣4，0），且AB＝5．将线段AB向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到线段DC（A对应D，B对应C）．
（1）画出线段CD，连接AD，BC；
（2）线段AB与CD的位置关系为 AB∥DC ，数量关系为 AB＝DC ；
（3）四边形ABCD的面积为 25 ；
（4）已知点E（3，﹣3），点F在线段CD上运动，则EF的最小值为 ．
【分析】（1）根据平移的性质、线段的画法画出图形；
（2）由平移的性质可直接得出结论；
（3）利用间接法，平行四边形的面积由一个矩形的面积减去4个大小一样的三角形的面积，由此即可得结果；
（4）由垂线段最短，利用三角形的面积法可求EF的最小值．
【解答】解：（1）画出线段CD，连接AD，BC，图形如下；
（2）根据平移的性质可得：
AB∥DC，AB＝DC，
故答案为：AB∥DC，AB＝DC．
（3）∵A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（0，﹣3），D（3，1），
∴平行四边形ABCD的面积是：
7×7﹣×3×4×4＝25，
故答案为：25．
（4）如图，连接DE、CE，
∵E是CE外一点，
∴当EF⊥CE时，EF最小；
C（0，﹣3），D（3，1），E（3，﹣3），
则△CDE是直角三角形，CE＝3，DE＝4，
又∵CD＝AB＝5，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，垂线段最短等内容，熟练掌握平移作图是解题关键．
22．（10分）如图1所示的A型（1×1）正方形板材和B型（3×1）长方形板材，可用于制作成如图2所示的竖式和横式两种无盖箱子（不计损耗）．已知板材每平方米20元．
（1）若用7800元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式箱子多少个？
（2）若有A型板材67张，B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40个，问有哪几种制作方案？
（3）若有A型板材162张，B型板材a张，做成上述两种箱子，板材恰好用完．已知290＜a＜306．直接写出a的所有可能的取值 293或298或303 ．
【分析】（1）根据题意列方程求解；
（2）根据题意列不等式组求解；
（3）根据题意列方程和不等式混合组求解．
【解答】解：（1）设制作竖式箱子x个，
则：x+4×2x＝7800÷20，
解得：x＝30，
答：制作竖式箱子30个；
（2）设制作竖式箱子x个．则横式箱子（40﹣x）个，
则：，
解得：13≤x≤15，
∴x的整数解有13，14，15三个，
∴有三种方案，为：①制作竖式箱子13个，则横式箱子27个；
②制作竖式箱子14个．则横式箱子26个；
③制作竖式箱子15个．则横式箱子25个；
（3）设制作竖式箱子x个．则横式箱子y个，
则：，且x，y，a都为整数，
解得：，，，
故答案为：293或298或303．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，理解题意找出相等关系或不等关系是解题的关键．
23．（10分）已知：E，F分别是直线AB和CD上的点，AB∥CD，G，H点为平面内两个动点．
（1）如图1，G，H在两条直线之间时，∠G＝∠H，试说明：∠AEG＝∠HFD；
（2）如图2，作直线EF，G点在CD下方，H点在AB和CD之间，连接EH，HF，∠HEF和∠HFM的角平分线交于点G．探究∠H与∠G 的数量关系；
（3）如图3，H，G在直线EF上，射线EH绕点E以每秒12°的速度逆时针旋转，射线FG在EH旋转6秒后开始绕点F以每秒8°的速度顺时针旋转．射线FG旋转160°后两条射线同时停止．设射线FG旋转t秒时，射线EH∥FG，直接写出t的值．
【分析】（1）过点G作GM∥AB，过点H作HN∥CD，然后利用平行线的性质和等角的补角相等即可得证；
（2）根据角平分线的意义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和探究出∠H与∠G 的数量关系；
（3）根据旋转的意义和平行线的性质列出关于t的方程，解方程即可求出t值．
【解答】（1）证明：如图1，过点G作GM∥AB，过点H作HN∥CD，
又∵AB∥CD，
∴GM∥HN，
∴∠MGH＝∠NHG，
又∵∠EGH＝∠GHF，
∴∠EGM＝∠FHN，
∵GM∥AB，HN∥CD，
∴∠BEG＝∠EGM，∠CHF＝∠FHN，
∴∠CHF＝∠BEG，
又∵∠AEG+∠BEG＝180°，∠CHF+∠HFD＝180°，
∴∠AEG＝∠HFD；
（2）证明：∵EG平分∠HEF，EG平分∠HFM，
∴∠HEM＝2∠GEM，∠HEF＝2∠GEF，
又∵∠HEM＝∠HEF+∠H，∠GEM＝∠GEF+∠G，
∴∠HEF+∠H＝2∠GEF+2∠G，
∴∠H＝2∠G；
（3）解：分两种情况：如图3①，由题意得，∠HEH'＝12×（6+t），∠GFG'＝8t，
则∠EFG'＝180﹣8t，
当EH'∥FG'时，∠HEH'＝∠EFG'，
∴12×（6+t）＝180﹣8t，
解得：t＝；
如图3②，∠FEH“＝12×（6+t）﹣180，∠EFG“＝180﹣8t，
当EH“∥FG“时，∠FEH“＝∠EFG“，
∴12×（6+t）﹣180＝180﹣8t，
解得：t＝；
综上所述，t的值为或；
【点评】本题为几何变换综合题，主要考查平行线的性质，角平分线定义，三角形的外角以及旋转的意义，深入理解题意，熟练运用分类讨论是解决问题的关键．
24．（12分）如图，平面直角坐标系中，已知点，0），B（0，1），点P（x，y）在直线AB上．
（1）请找到x与y之间的数量关系y＝ 2x+1 （用含x的式子表示）；
（2）已知点C（3，0），M（a，b）和N（a+2，b+1），且有b＝3a：
①若P（1，y），且线段PC与线段MN有交点，求a的取值范围；
②若a＝1，将线段MC向右平移2个单位，且在平移过程中，存在△PMC的面积等于3，求P点横坐标x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB解析式为y＝2x+1，因点P（x，y）在直线AB上，故y＝2x+1；
（2）①求出P（1，3），得直线PC解析式为y＝﹣x+，由M（a，b），N（a+2，b+1），且有b＝3a，知M（a，3a），N（a+2，3a+1），直线MN的解析式为y＝x+a，可得直线PC与直线MN的交点坐标为（，），根据线段PC与线段MN有交点，得1≤≤3，即可解得a的取值范围是﹣≤a≤1；
②当a＝1时，M（1，3），得直线MC解析式为y＝﹣x+，将线段MC向右平移2个单位得M'（3，3），C（5，0），直线M'C'解析式为y＝﹣x+，过P作PH∥y轴交直线MC于H，当P在MC左侧时，PH＝（﹣x+）﹣（2x+1）＝﹣x+，（﹣x+）×（3﹣1）＝3，x＝；当P'在M'C'右侧时，P'H'＝（2x+1）﹣（﹣x+）＝x﹣，（x﹣）×（5﹣3）＝3，得x＝，即可得P点横坐标x的取值范围是≤x≤．
【解答】解：（1）设直线AB解析式为y＝kx+b，把，0），B（0，1）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+1，
∵点P（x，y）在直线AB上，
∴y＝2x+1；
故答案为：2x+1；
（2）①在y＝2x+1中，令x＝1得y＝3，
∴P（1，3），
由P（1，3），C（3，0）得直线PC解析式为y＝﹣x+，
∵M（a，b），N（a+2，b+1），且有b＝3a，
∴M（a，3a），N（a+2，3a+1），
∴直线MN的解析式为y＝x+a，
联立，解得：，
∴直线PC与直线MN的交点坐标为（，），
∵线段PC与线段MN有交点，
∴1≤≤3，
解得﹣≤a≤1，
∴a的取值范围是﹣≤a≤1；
②当a＝1时，M（1，3），
∵C（3，0），
∴直线MC解析式为y＝﹣x+，
将线段MC向右平移2个单位得M'（3，3），C（5，0），
∴直线M'C'解析式为y＝﹣x+，
过P作PH∥y轴交直线MC于H，如图：
当P在MC左侧时，P（x，2x+1），H（x，﹣+），
∴PH＝（﹣x+）﹣（2x+1）＝﹣x+，
当S△PMC＝3时，（﹣x+）×（3﹣1）＝3，
解得x＝；
当P'在M'C'右侧时，P'（x，2x+1），H'（x，﹣x+），
∴P'H'＝（2x+1）﹣（﹣x+）＝x﹣，
当S△P'M'C'＝3时，（x﹣）×（5﹣3）＝3，
解得x＝，
由图可知，当P在线段PP'上时，存在△PMC的面积等于3，
∴P点横坐标x的取值范围是≤x≤．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标特征，三角形面积等知识，解题的关键是用含x的代数式表示相关线段的长度和三角形面积．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/16 14:00:30；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677
2022-2023学年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）5的平方根是（ ）
A． B．﹣ C．± D．5
2．（3分）下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．了解神舟飞船的设备零件的质量情况
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
C．全国人口普查
D．企业招聘，对应聘人员进行面试
3．（3分）如图，下列四个选项中，不能判断AB∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠B+∠BCD＝180°
C．∠2＝∠4 D．∠D+∠BAD＝180°
4．（3分）若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（3分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+3 D．m2a＜m2b
6．（3分）已知点Q（2x，﹣y）在第一象限，则点P（x，y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（3分）用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水27千克，两种药水各需（ ）
A．18千克，9千克 B．17千克，10千克
C．15千克，12千克 D．16千克，11千克
8．（3分）若不等式的解都能使不等式3x＜2x+a成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）在平面直角坐标系中，A（m，﹣3），B（2，n），C（2，6﹣m），其中m+n＝2，并且3≤2m+n≤8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：，则答案中另一个方程应为（ ）
A．3a+b＝12 B．
C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个二元一次方程： ，使它有一个解为．
12．（3分）学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是 ．
13．（3分）已知第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 ．
14．（3分）若关于x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，图①是四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为 ．
16．（3分）如图，点A，B分别在直线MN，ST上，点C在MN与ST之间，点E在线段BC上，已知∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
有以下列结论：
①MN∥ST；
②∠ACB＝∠CAN+∠CBT；
③若∠ACB＝60°，AD∥CB，且∠DAE＝3∠CBT，则∠CAE＝3∠CAN；
④若为整数且n≥1），∠MAE＝（n+1）∠CBT，则∠CAE：∠CAN＝n．
其中结论正确的有 （填写正确结论的序号）．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
18．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（IV）原不等式组的解集为 ．
19．（8分）4月18日，为迎接第28个世界读书日，我校初一年级开展了《名著知识知多少》答题比赛．现随机抽取了若干个学生的答题成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：0≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100，x表示成绩，成绩为整数）．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽取学生人数为 人，m＝ ，扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数为 °；
（2）补全频数分布直方图；
（3）我校初一年级共有3200名学生，请据此估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有多少人．
20．（8分）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣4，0），且AB＝5．将线段AB向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到线段DC（A对应D，B对应C）．
（1）画出线段CD，连接AD，BC；
（2）线段AB与CD的位置关系为 ，数量关系为 ；
（3）四边形ABCD的面积为 ；
（4）已知点E（3，﹣3），点F在线段CD上运动，则EF的最小值为 ．
22．（10分）如图1所示的A型（1×1）正方形板材和B型（3×1）长方形板材，可用于制作成如图2所示的竖式和横式两种无盖箱子（不计损耗）．已知板材每平方米20元．
（1）若用7800元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式箱子多少个？
（2）若有A型板材67张，B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40个，问有哪几种制作方案？
（3）若有A型板材162张，B型板材a张，做成上述两种箱子，板材恰好用完．已知290＜a＜306．直接写出a的所有可能的取值 ．
23．（10分）已知：E，F分别是直线AB和CD上的点，AB∥CD，G，H点为平面内两个动点．
（1）如图1，G，H在两条直线之间时，∠G＝∠H，试说明：∠AEG＝∠HFD；
（2）如图2，作直线EF，G点在CD下方，H点在AB和CD之间，连接EH，HF，∠HEF和∠HFM的角平分线交于点G．探究∠H与∠G 的数量关系；
（3）如图3，H，G在直线EF上，射线EH绕点E以每秒12°的速度逆时针旋转，射线FG在EH旋转6秒后开始绕点F以每秒8°的速度顺时针旋转．射线FG旋转160°后两条射线同时停止．设射线FG旋转t秒时，射线EH∥FG，直接写出t的值．
24．（12分）如图，平面直角坐标系中，已知点，0），B（0，1），点P（x，y）在直线AB上．
（1）请找到x与y之间的数量关系y＝ （用含x的式子表示）；
（2）已知点C（3，0），M（a，b）和N（a+2，b+1），且有b＝3a：
①若P（1，y），且线段PC与线段MN有交点，求a的取值范围；
②若a＝1，将线段MC向右平移2个单位，且在平移过程中，存在△PMC的面积等于3，求P点横坐标x的取值范围．
2022-2023学年湖北省武汉市洪山区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）5的平方根是（ ）
A． B．﹣ C．± D．5
【分析】根据平方根定义求出即可．
【解答】解：5的平方根是±，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的应用，能理解平方根定义是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
2．（3分）下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．了解神舟飞船的设备零件的质量情况
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
C．全国人口普查
D．企业招聘，对应聘人员进行面试
【分析】根据全面调查与抽样调查的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、了解神舟飞船的设备零件的质量情况，适合普查，故A不符合题意；
B、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查，故B符合题意；
C、全国人口普查，适合普查，故C不符合题意；
D、企业招聘，对应聘人员进行面试，适合普查，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的定义是解题的关键．
3．（3分）如图，下列四个选项中，不能判断AB∥DC的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠B+∠BCD＝180°
C．∠2＝∠4 D．∠D+∠BAD＝180°
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、∠1＝∠3，能判定AB∥CD，
故不符合题意；
B、∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD，
故不符合题意；
C、∠2＝∠4，能判定AD∥CD，
故符合题意；
D、∠D+∠BAD＝180°，能判定AB∥CD，
故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
4．（3分）若是关于x和y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a的值等于（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【解答】解：将是代入方程ax+y＝3得：
﹣a+2＝3，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟记方程的解：就是使方程的左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
5．（3分）若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1﹣a＞1﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+3 D．m2a＜m2b
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴1﹣a＞1﹣b，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；
C．∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+3，故本选项不符合题意；
D．当m＝0时，m2a＝m2b，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
6．（3分）已知点Q（2x，﹣y）在第一象限，则点P（x，y）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特点得出x，y的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵点Q（2x，﹣y）在第一象限，
∴2x＞0，﹣y＞0，
∴x＞0，y＜0，
∴点P（x，y）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．（3分）用含药30%和75%的两种防腐药水，配制含药50%的防腐药水27千克，两种药水各需（ ）
A．18千克，9千克 B．17千克，10千克
C．15千克，12千克 D．16千克，11千克
【分析】根据含药30%和75%的两种防腐药水中的药的质量和等于含药50%的防腐药水27千克中药的质量列方程可解得答案．
【解答】解：设含药30%的防腐药水需x千克，则含药75%的防腐药水（27﹣x）千克，
根据题意得：30%x+75%（27﹣x）＝50%×27，
解得：x＝15，
∴27﹣x＝27﹣15＝12，
∴含药30%的防腐药水需15千克，含药75%的防腐药水12千克，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
8．（3分）若不等式的解都能使不等式3x＜2x+a成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
2（x+1）﹣3（2x﹣5）≥12，
2x+2﹣6x+15≥12，
2x﹣6x≥12﹣2﹣15，
﹣4x≥﹣5，
x≤，
∵3x＜2x+a，
∴3x﹣2x＜a，
∴x＜a，
∵不等式的解都能使不等式3x＜2x+a成立，
∴a＞，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
9．（3分）在平面直角坐标系中，A（m，﹣3），B（2，n），C（2，6﹣m），其中m+n＝2，并且3≤2m+n≤8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】观察三个点的坐标可知BC＝6﹣m﹣n＝4，再由m+n＝2，并且3≤2m+n≤8可得1≤m≤6，可得BC边上高的最大值，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：∵B（2，n），C（2，6﹣m），m+n＝2，
∴BC＝6﹣m﹣n＝4，
∵m+n＝2，并且3≤2m+n≤8，
∴1≤m≤6，
∴BC边上高的最大值是4，
∴△ABC面积的最大值为4×4÷2＝8．
故选：B．
【点评】考查了坐标与图形性质，三角形的面积，关键是得到BC的长和BC边上高的最大值．
10．（3分）作业本中有这样一道题：“小明去郊游上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息1h后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走4km，登山每小时走3km，下山每小时走6km，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：，则答案中另一个方程应为（ ）
A．3a+b＝12 B．
C． D．
【分析】由3a＝6b可知a表示上山所用时间，b表示下山所用时间，分别求出从家到山顶、从山顶到家所用的时间，两者之差等于上山与下山所用时间之差，由此列出方程即可．
【解答】解：由题意知，3a＝6b表示上山的路程等于下山的路程，
∴a表示上山用的时间，b表示下山用的时间，
由题意知，小明从家到山顶所用时间为12﹣8.5＝3.5（h），
从山顶回到家所用时间为3﹣1＝2（h），
∴上山比下山多用时间为：3.5﹣2＝1.5（h），
∴a﹣b＝，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个二元一次方程： （答案不唯一） ，使它有一个解为．
【分析】根据所给二元一次方程组的解写出符合条件的二元一次方程组即可．
【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴二元一次方程组为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
12．（3分）学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是 70 ．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的14个班共740名学生中，抽取了70名同学的视力情况进行分析，在这个问题中，样本的容量是70．
故答案为：70．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
13．（3分）已知第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，则a的值为 5 ．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵第二象限内的点P坐标为（4﹣a，3a﹣14），且P点到两坐标轴的距离相等，
∴4﹣a＝﹣（3a﹣14），
解得a＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
14．（3分）若关于x的不等式组恰好有4个整数解，则m的取值范围是 6≤m＜7 ．
【分析】先根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，根据不等式组恰好有4个整数解得出﹣8＜﹣1﹣m≤﹣7，再求出m的范围即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x＜﹣3，
解不等式②，得x≥﹣1﹣m，
所以不等式组的解集是﹣1﹣m≤x＜﹣3，
∵关于x的不等式组恰好有4个整数解（是﹣4，﹣5，﹣6，﹣7），
∴﹣8＜﹣1﹣m≤﹣7，
解得：6≤m＜7．
故答案为：6≤m＜7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能得出关于m的不等式﹣8＜﹣1﹣m≤﹣7是解此题的关键．
15．（3分）如图，图①是四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为AB、CD上的两个点，将纸条ABCD沿EF折叠得到图②，再将图②沿DF折叠得到图③，若在图③中，∠FEM＝24°，则∠EFC为 108° ．
【分析】利用折叠，得到全等图形，会得到相等的角、相等的边这一性质推理即可．
【解答】解：第一次折叠后，
∵∠B′EF＝∠BEF，∠FEM＝24°，
∴∠B′EM＝2∠FEM＝48°，
∵AB′∥DF，
∴∠B′EM＝∠FMB＝48°，∠B′EF＝∠EFM＝24°，
第二次折叠后，
∵BM∥CF，
∴∠BMF＝∠FMB″＝48°，∠BMF+∠MFC＝180°，
∴∠MFC＝180°﹣48°＝132°，
∵∠MFC＝∠EFM+EFC，
∴∠EFC＝132°﹣24°＝108°．
故答案为：108°．
【点评】本题考查了折叠问题，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和折叠后的对应角相等．
16．（3分）如图，点A，B分别在直线MN，ST上，点C在MN与ST之间，点E在线段BC上，已知∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°．
有以下列结论：
①MN∥ST；
②∠ACB＝∠CAN+∠CBT；
③若∠ACB＝60°，AD∥CB，且∠DAE＝3∠CBT，则∠CAE＝3∠CAN；
④若为整数且n≥1），∠MAE＝（n+1）∠CBT，则∠CAE：∠CAN＝n．
其中结论正确的有 ①②③④ （填写正确结论的序号）．
【分析】利用平行线的判定和性质，将角度进行转化求解．
【解答】解：如图，连接AB，作CF∥ST，
∵∠MAC+∠ACB+∠SBC＝360°，∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠MAB+∠SBA＝180°，
∴MN∥ST，故①正确；
∵CF∥ST，MN∥ST，
∴MN∥ST∥CF，
∴∠CAN＝∠ACF，∠CBT＝∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝∠CAN+∠CBT，故②正确；
设∠CBT＝α，则∠DAE＝2α，∠BCF＝∠CBT＝α，∠CAN＝∠ACF＝60°﹣α，
∵AD∥BC，∠ACB＝60°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ACB＝120°，
∴∠CAE＝120°﹣∠DAE＝120°﹣2α＝2（60°﹣α），
∴∠CAE≠＝2∠CAN，故③正确；
设∠CBT＝β，则∠MAE＝nβ，
∵CF∥ST，
∴∠CBT＝∠BCF＝β，
∴∠ACF＝∠CAN＝，
∴∠CAE＝180°﹣∠MAE﹣∠CAN＝180°﹣nβ﹣，
∴∠CAE：∠CAN＝（180°﹣nβ）：＝：＝n﹣1，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】根据绝对值的性质计算；利用二元一次方程组的解法解方程即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣8+2﹣＝﹣7﹣．
（2）解方程组：，
②﹣①×2得：7y＝7，解得y＝1，
将y＝1代入①中，解得x＝6，
∴原方程组的解为：．
【点评】本题为计算题，考查了学生的运算能力，解决问题的关键是明确解方程组的解法即可．
18．（8分）解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（Ⅰ）解不等式①，得 x＜1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣1 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（IV）原不等式组的解集为 ﹣1≤x＜1 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x＜1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（IV）原不等式组的解集为﹣1≤x＜1；
故答案为：（Ⅰ）x＜1；
（Ⅱ）x≥﹣1；
（Ⅳ）﹣1≤x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．（8分）4月18日，为迎接第28个世界读书日，我校初一年级开展了《名著知识知多少》答题比赛．现随机抽取了若干个学生的答题成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：0≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100，x表示成绩，成绩为整数）．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽取学生人数为 60 人，m＝ 60 ，扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数为 36 °；
（2）补全频数分布直方图；
（3）我校初一年级共有3200名学生，请据此估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有多少人．
【分析】（1）根据D组人数和所占百分比即可求出本次抽取学生人数；
C组人数除以总人数化成百分比即可求出m；
求出A组所占百分比，再乘以360°即可得到扇形统计图中A组所对应的扇形圆心角的度数；
（2）先求出B组人数，再补全频数分布直方图即可；
（3）将学生答题成绩处于C组和D组所占百分比的和乘以3200即可作出估计．
【解答】解：（1）∵D组6人，占10%，
∴本次抽取学生人数为：6÷10%＝60（人）；
∵C组36人，
∴m%＝，
∴m＝60；
A组所对应的扇形圆心角的度数为：＝36°．
故答案为：60，60，36；
（2）B组人数为：60﹣6﹣36﹣6＝12（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有：（60%+10%）×3200＝2240（人），
答：估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和D组的共有2240人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息，熟悉样本估计总体的方法是解题的关键．
20．（8分）如图，点D，H分别在AB，AC上，点E，F都在BC上，DE交FH于点G，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．
（1）求证：FH⊥DE；
（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝68°，求∠DFH的度数．
【分析】（1）由∠BED＝∠C，得到DE∥AC，由角平分线定义得到∠1＝∠GAH，又∠1+∠2＝90°，因此∠2+∠GAH＝90°，得到GH⊥AC，即可证明HF⊥DE；
（2）由角平分线定义得到∠GAH＝∠BAC＝34°，即可求出∠2的度数，由条件可以证明DF∥AG，得到∠DFH＝∠2．
【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C，
∴DE∥AC，
∵AG平分∠BAC，
∴∠1＝∠GAH，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠GAH＝90°，
∴GH⊥AC，
∴HF⊥DE；
（2）解：∵AG平分∠BAC，
∴∠GAH＝∠BAC＝34°，
∴∠2＝90°﹣34°＝56°，
∵DE∥AC，
∴∠3＝∠GAH，
∵∠1＝∠GAH，
∴∠1＝∠3，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∴DF∥AG，
∴∠DFH＝∠2＝56°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣4，0），且AB＝5．将线段AB向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到线段DC（A对应D，B对应C）．
（1）画出线段CD，连接AD，BC；
（2）线段AB与CD的位置关系为 AB∥DC ，数量关系为 AB＝DC ；
（3）四边形ABCD的面积为 25 ；
（4）已知点E（3，﹣3），点F在线段CD上运动，则EF的最小值为 ．
【分析】（1）根据平移的性质、线段的画法画出图形；
（2）由平移的性质可直接得出结论；
（3）利用间接法，平行四边形的面积由一个矩形的面积减去4个大小一样的三角形的面积，由此即可得结果；
（4）由垂线段最短，利用三角形的面积法可求EF的最小值．
【解答】解：（1）画出线段CD，连接AD，BC，图形如下；
（2）根据平移的性质可得：
AB∥DC，AB＝DC，
故答案为：AB∥DC，AB＝DC．
（3）∵A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（0，﹣3），D（3，1），
∴平行四边形ABCD的面积是：
7×7﹣×3×4×4＝25，
故答案为：25．
（4）如图，连接DE、CE，
∵E是CE外一点，
∴当EF⊥CE时，EF最小；
C（0，﹣3），D（3，1），E（3，﹣3），
则△CDE是直角三角形，CE＝3，DE＝4，
又∵CD＝AB＝5，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，垂线段最短等内容，熟练掌握平移作图是解题关键．
22．（10分）如图1所示的A型（1×1）正方形板材和B型（3×1）长方形板材，可用于制作成如图2所示的竖式和横式两种无盖箱子（不计损耗）．已知板材每平方米20元．
（1）若用7800元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式箱子多少个？
（2）若有A型板材67张，B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40个，问有哪几种制作方案？
（3）若有A型板材162张，B型板材a张，做成上述两种箱子，板材恰好用完．已知290＜a＜306．直接写出a的所有可能的取值 293或298或303 ．
【分析】（1）根据题意列方程求解；
（2）根据题意列不等式组求解；
（3）根据题意列方程和不等式混合组求解．
【解答】解：（1）设制作竖式箱子x个，
则：x+4×2x＝7800÷20，
解得：x＝30，
答：制作竖式箱子30个；
（2）设制作竖式箱子x个．则横式箱子（40﹣x）个，
则：，
解得：13≤x≤15，
∴x的整数解有13，14，15三个，
∴有三种方案，为：①制作竖式箱子13个，则横式箱子27个；
②制作竖式箱子14个．则横式箱子26个；
③制作竖式箱子15个．则横式箱子25个；
（3）设制作竖式箱子x个．则横式箱子y个，
则：，且x，y，a都为整数，
解得：，，，
故答案为：293或298或303．
【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，理解题意找出相等关系或不等关系是解题的关键．
23．（10分）已知：E，F分别是直线AB和CD上的点，AB∥CD，G，H点为平面内两个动点．
（1）如图1，G，H在两条直线之间时，∠G＝∠H，试说明：∠AEG＝∠HFD；
（2）如图2，作直线EF，G点在CD下方，H点在AB和CD之间，连接EH，HF，∠HEF和∠HFM的角平分线交于点G．探究∠H与∠G 的数量关系；
（3）如图3，H，G在直线EF上，射线EH绕点E以每秒12°的速度逆时针旋转，射线FG在EH旋转6秒后开始绕点F以每秒8°的速度顺时针旋转．射线FG旋转160°后两条射线同时停止．设射线FG旋转t秒时，射线EH∥FG，直接写出t的值．
【分析】（1）过点G作GM∥AB，过点H作HN∥CD，然后利用平行线的性质和等角的补角相等即可得证；
（2）根据角平分线的意义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和探究出∠H与∠G 的数量关系；
（3）根据旋转的意义和平行线的性质列出关于t的方程，解方程即可求出t值．
【解答】（1）证明：如图1，过点G作GM∥AB，过点H作HN∥CD，
又∵AB∥CD，
∴GM∥HN，
∴∠MGH＝∠NHG，
又∵∠EGH＝∠GHF，
∴∠EGM＝∠FHN，
∵GM∥AB，HN∥CD，
∴∠BEG＝∠EGM，∠CHF＝∠FHN，
∴∠CHF＝∠BEG，
又∵∠AEG+∠BEG＝180°，∠CHF+∠HFD＝180°，
∴∠AEG＝∠HFD；
（2）证明：∵EG平分∠HEF，EG平分∠HFM，
∴∠HEM＝2∠GEM，∠HEF＝2∠GEF，
又∵∠HEM＝∠HEF+∠H，∠GEM＝∠GEF+∠G，
∴∠HEF+∠H＝2∠GEF+2∠G，
∴∠H＝2∠G；
（3）解：分两种情况：如图3①，由题意得，∠HEH'＝12×（6+t），∠GFG'＝8t，
则∠EFG'＝180﹣8t，
当EH'∥FG'时，∠HEH'＝∠EFG'，
∴12×（6+t）＝180﹣8t，
解得：t＝；
如图3②，∠FEH“＝12×（6+t）﹣180，∠EFG“＝180﹣8t，
当EH“∥FG“时，∠FEH“＝∠EFG“，
∴12×（6+t）﹣180＝180﹣8t，
解得：t＝；
综上所述，t的值为或；
【点评】本题为几何变换综合题，主要考查平行线的性质，角平分线定义，三角形的外角以及旋转的意义，深入理解题意，熟练运用分类讨论是解决问题的关键．
24．（12分）如图，平面直角坐标系中，已知点，0），B（0，1），点P（x，y）在直线AB上．
（1）请找到x与y之间的数量关系y＝ 2x+1 （用含x的式子表示）；
（2）已知点C（3，0），M（a，b）和N（a+2，b+1），且有b＝3a：
①若P（1，y），且线段PC与线段MN有交点，求a的取值范围；
②若a＝1，将线段MC向右平移2个单位，且在平移过程中，存在△PMC的面积等于3，求P点横坐标x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出直线AB解析式为y＝2x+1，因点P（x，y）在直线AB上，故y＝2x+1；
（2）①求出P（1，3），得直线PC解析式为y＝﹣x+，由M（a，b），N（a+2，b+1），且有b＝3a，知M（a，3a），N（a+2，3a+1），直线MN的解析式为y＝x+a，可得直线PC与直线MN的交点坐标为（，），根据线段PC与线段MN有交点，得1≤≤3，即可解得a的取值范围是﹣≤a≤1；
②当a＝1时，M（1，3），得直线MC解析式为y＝﹣x+，将线段MC向右平移2个单位得M'（3，3），C（5，0），直线M'C'解析式为y＝﹣x+，过P作PH∥y轴交直线MC于H，当P在MC左侧时，PH＝（﹣x+）﹣（2x+1）＝﹣x+，（﹣x+）×（3﹣1）＝3，x＝；当P'在M'C'右侧时，P'H'＝（2x+1）﹣（﹣x+）＝x﹣，（x﹣）×（5﹣3）＝3，得x＝，即可得P点横坐标x的取值范围是≤x≤．
【解答】解：（1）设直线AB解析式为y＝kx+b，把，0），B（0，1）代入得：
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+1，
∵点P（x，y）在直线AB上，
∴y＝2x+1；
故答案为：2x+1；
（2）①在y＝2x+1中，令x＝1得y＝3，
∴P（1，3），
由P（1，3），C（3，0）得直线PC解析式为y＝﹣x+，
∵M（a，b），N（a+2，b+1），且有b＝3a，
∴M（a，3a），N（a+2，3a+1），
∴直线MN的解析式为y＝x+a，
联立，解得：，
∴直线PC与直线MN的交点坐标为（，），
∵线段PC与线段MN有交点，
∴1≤≤3，
解得﹣≤a≤1，
∴a的取值范围是﹣≤a≤1；
②当a＝1时，M（1，3），
∵C（3，0），
∴直线MC解析式为y＝﹣x+，
将线段MC向右平移2个单位得M'（3，3），C（5，0），
∴直线M'C'解析式为y＝﹣x+，
过P作PH∥y轴交直线MC于H，如图：
当P在MC左侧时，P（x，2x+1），H（x，﹣+），
∴PH＝（﹣x+）﹣（2x+1）＝﹣x+，
当S△PMC＝3时，（﹣x+）×（3﹣1）＝3，
解得x＝；
当P'在M'C'右侧时，P'（x，2x+1），H'（x，﹣x+），
∴P'H'＝（2x+1）﹣（﹣x+）＝x﹣，
当S△P'M'C'＝3时，（x﹣）×（5﹣3）＝3，
解得x＝，
由图可知，当P在线段PP'上时，存在△PMC的面积等于3，
∴P点横坐标x的取值范围是≤x≤．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标特征，三角形面积等知识，解题的关键是用含x的代数式表示相关线段的长度和三角形面积．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/16 14:00:30；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677
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