2022年中考数学精选真题44 正方形B(含答案)

这是一份2022年中考数学精选真题44 正方形B(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学精选真题44 正方形 B
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·衡阳）下列命题为假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的矩形是正方形
2．（3分）（2022·嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（　　）

A．1cm B．2cm C．( 2 －1)c． D．(2 2 －1)cm
3．（3分）（2021·贵州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 60° ，使点B落在点 B' 的位置，连接B B' ，过点D作DE⊥ BB' ，交 BB' 的延长线于点E，则 B'E 的长为（　　）

A．3-1 B．23-2 C．233 D．433
4．（3分）（2022·资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB=4，则AE+OE的最小值是（　　）

A．42 B．25+2 C．213 D．210
5．（3分）（2022·包头）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（　　）

A．2OC=5EF B．5OC=2EF C．2OC=3EF D．OC=EF
6．（3分）（2022·重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE=AF，则∠CDF的度数为(　　)

A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
7．（3分）（2021·泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设 ∠CBE=α ，则 ∠AFP 为（　　）

A．2α B．90°﹣α
C．45°+α D．90°﹣ 12 α
8．（3分）（2022·龙东）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②∠OPA=45°；③AP-BP=2OP；④若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47；⑤四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14．其中正确的结论是（　　）

A．①②④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤
9．（3分）（2022·泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（　　）

A．23 B．56 C．67 D．1
10．（3分）（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 S△AMDS△MBN= （　　）

A．34 B．23 C．1 D．12
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·海南）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE=AF，∠EAF=30°，则∠AEB=　 　°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是　 　.

12．（3分）（2022·毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y=kx(x>0，k>0)的图象经过点C，E.若点A(3，0)，则k的值是　 　.

13．（3分）（2021·安顺）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上.小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形.则这两个正三角形的边长分别是　 　.
14．（3分）（2021·沈阳）如图，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5．四边形ABEF是正方形，点D是直线BC上一点，且CD=1．P是线段DE上一点，且PD=23DE．过点P作直线l于BC平行，分别交AB，AD于点G，H，则GH的长是　 　．

15．（3分）（2022·达州）如图，在边长为2的正方形 ABCD 中，点E，F分别为 AD ， CD 边上的动点（不与端点重合），连接 BE ， BF ，分别交对角线 AC 于点P，Q.点E，F在运动过程中，始终保持 ∠EBF=45° ，连接 EF ， PF ， PD .下列结论：

①PB=PD ；②∠EFD=2∠FBC ；③PQ=PA+CQ ；④△BPF 为等腰直角三角形；⑤若过点B作 BH⊥EF ，垂足为H，连接 DH ，则 DH 的最小值为 22-2 ，其中所有正确结论的序号是　 　.
16．（3分）（2022·铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为　 　.

三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)
17．（6分）（2022·邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，OE=OA.
求证：四边形AECF是正方形.

18．（8分）（2021·荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， ∠AEF=90° ，且 EF=AE ， FH⊥BH .

（1）（4分）求证： BE=CH ；
（2）（4分）若 AB=3 ， BE=x ，用x表示DF的长.
19．（8分）（2021·邵阳）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ， F 是对角线 AC 上的两点，且 AE=CF .连接 DE ， DF ， BE ， BF .

（1）（4分）证明： △ADE≌△CBF .
（2）（4分）若 AB=42 ， AE=2 ，求四边形 BEDF 的周长.
20．（10分）（2021·南通）如图，正方形 ABCD 中，点E在边 AD 上（不与端点A，D重合），点A关于直线 BE 的对称点为点F，连接 CF ，设 ∠ABE=α .

（1）（3分）求 ∠BCF 的大小（用含 α 的式子表示）；
（2）（3分）过点C作 CG⊥AF ，垂足为G，连接 DG .判断 DG 与 CF 的位置关系，并说明理由；
（3）（4分）将 △ABE 绕点B顺时针旋转 90° 得到 △CBH ，点E的对应点为点H，连接 BF ， HF .当 △BFH 为等腰三角形时，求 sinα 的值.
21．（10分）（2022·呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE=EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）

（1）（3分）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：　 　；
（2）（3分）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE=EF；

（3）（4分）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设BEBC=k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
22．（10分）（2022·黔西）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且∠EAF=45°．

（1）（3分）当BE=DF时，求证：AE=AF；
（2）（3分）猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）（4分）如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE．若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
23．（10分）（2021·徐州）如图1，正方形 ABCD 的边长为4，点 P 在边 AD 上（ P 不与 A，D 重合），连接 PB，PC .将线段 PB 绕点 P 顺时针旋转90°得到 PE ，将线段 PC 绕点 P 逆时针旋转90°得到 PF .连接 EF，EA，FD .

（1）（5分）求证：
①ΔPDF 的面积 S=12PD2 ；
②EA=FD ；
（2）（5分）如图2， EA.FD 的延长线交于点 M ，取 EF 的中点 N ，连接 MN ，求 MN 的取值范围.
24．（10分）（2022·武威）已知正方形 ABCD ， E 为对角线 AC 上一点.

（1）（3分）【建立模型】如图1，连接 BE ， DE .求证： BE=DE ；
（2）（4分）【模型应用】如图2， F 是 DE 延长线上一点， FB⊥BE ， EF 交 AB 于点 G .
①判断 △FBG 的形状并说明理由；
②若 G 为 AB 的中点，且 AB=4 ，求 AF 的长.
（3）（3分）【模型迁移】如图3， F 是 DE 延长线上一点， FB⊥BE ， EF 交 AB 于点 G ， BE=BF .求证： GE=(2-1)DE .

答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】A
11．【答案】60；3
12．【答案】4
13．【答案】26-22 ，2
14．【答案】13或59
15．【答案】①②④⑤
16．【答案】85
17．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形.
18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，AB=BC，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°.
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEH.
又∵EF=AE，
∴△ABE≌△EHF.
∴BE=FH，AB=EH，
∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，
∴BE=CH；
（2）解：作FP⊥CD于P，

由（1）可知EH=AB，
∴CE=3−x.
∴CH=FH=FP=x，
∴PD=3−x.
DF=x2+(3-x)2=2x2-6x+9
19．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形
∴AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°
在△ADE和△CBF中 AD=CB∠DAE=∠FCBAE=CF
∴△ADE≌△CBF (SAS)
（2）解：∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB= 45°，AC⊥BD
∴在Rt△AOB中，∠OAB=45°又 AB=42
∴OA=OB=sin∠OAB×AB= 22×42=4
∵AE=2
∴OE=2
在Rt△EOB中， BE=OE2+OB2=4+16=25
∵四边形 ABCD 是正方形
∴AO=CO，DO=BO
又∵AE=CF
∴EO=FO，又DO=BO
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵AC⊥BD，即BD⊥EF
∴四边形DEBF是菱形
∴BE=DE=DF=BF= 25
∴四边形 BEDF 的周长=4× 25 = 85
20．【答案】（1）解：连接BF，设AF和BE相交于点N.

∵ 点A关于直线BE的对称点为点F
∴ BE是AF的垂直平分线
∴BE⊥AF ，AB=BF
∴∠BAF=∠BFA
∵∠ABE=α
∴∠BAF=90°-α=∠BFA
∴∠EBF=180°-90°-(90°-α)=α
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB=BC， ∠ABC=90°
∴∠FBC=90°-2α，AB=BC=BF
∴∠BFC=∠BCF
∵∠BFC+∠BCF+∠FBC=180°，∠FBC=90°-2α
∴∠BFC=∠BCF=180°-(90°-2α)2=45°+α
（2）解：位置关系：平行.
理由：连接BF，AC，DG
设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N

由(1)可知，
∠ABE=∠EBF=α，∠BAF=∠BFA=90°-α， ∠BFC=∠BCF=45°+α
∴∠AFC=∠AFB+∠CFB=90°-α+45°+α=135°
∴∠CFG=180°-∠AFC=45°
∵CG⊥AG
∴∠FGC=90°
∴∠GCF=180°-∠FGC-∠CFG=45°=∠CFG
∴△CGF 是等腰直角三角形
∴CGCF=12
∵ 四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD
∴△ADC 是等腰直角三角形
∴DCAC=12，∠ACD=45°
∴∠BCA=45°
∵BE 垂直平分AF
∴∠ANE=90°
∴∠NAE=180°-∠ANE-∠AEN=α
在 △ADM 和 △CGM 中，
∠ADC=∠AGC=90°∠AMD=∠CMG
∴△ADM∽△CGM
∴∠MCG=∠GAD=α
∵∠BCA=45°，∠BCF=45°+α
∴∠ACF=∠BCF-∠BCA=α
在 △DGC 和 △AFC 中，
∵DCAC=CGFC=12，∠DCG=∠ACF=α
∴△DGC∽△AFC
∴∠AFC=∠DGC=135°
∴∠DGA=∠DGC-∠AGC=135°-90°=45°
∴∠DGA=∠CFG=45°
∴ CF//DG
（3）解： △BFH 为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：
①当FH=BH时，作 MH⊥BF 于点M

由(1)可知：AB=BF， ∠ABE=∠EBF=α
∵ 四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠BAE=90°
设AB=BF=BC=a
∵ 将 △ABE 绕点B顺时针旋转 90° 得到 △CBH
∴∠CBH=∠ABE=α，BH=BE
∴∠FBH=∠ABC-∠ABF+∠CBH=90°-2α+α=90°-α
∵ FH=BH
∴∠HBF=∠BFH=90°-α
∴∠FHB=180°-∠FBH-∠BFH=2α
∵△BFH 是等腰三角形， BH=HF，HM⊥BF
∴∠BHM=∠FHM=α，BM=MF=12BF=a2
在 △ABE 和 △MHB 中，
∠BAE=∠BMH=90°∠BHM=∠ABE=α
∴△ABE∽△MHB
∴BMAE=BHBE=1
∴ BM=AE= a2
∴BE=AE2+AB2=(a2)2+a2=5a2
∴sinα=AEBE=55
②当BF=FH时，
设FH与BC交点为O

∵ △ABE 绕点B顺时针旋转 90° 得到 △CBH
∴∠ABE=∠CBH=α
由(1)可知： ∠ABF=2α
∴∠FBC=90°-2α
∴∠FBH=∠FBC+∠CBH=90°-2α+α=90°-α
∵BF=FH
∴∠FBH=∠FHB=90°-α
∴∠BOH=180°-∠CBH-∠BHF=90°
此时， ∠BOH 与 ∠BCH 重合，与题目不符，故舍去
③当BF=BH时，

由(1)可知：AB=BF
设AB=BF=a
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB=BC=a
∵ BF=BH
∴ BF=BH=BC=a
而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去.
故答案为： 55
21．【答案】（1）AG=CE
（2）证明：取AG=EC，连接EG．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF；
（3）解：当k=13时，四边形PECF是平行四边形．
如图．

由（2）得，△GAE≌△CEF，
∴CF=EG．
设BC=x，则BE=kx，
∴GE=2kx，EC=(1-k)x．
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，
∴∠PEC+∠ECF=180°，PE=22(1-k)x．
∴PE∥CF，
当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴22(1-k)x=2kx，
解得k=13．
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°．在△ABE和△ADF中AB=AD∠B=∠DBE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE=AF；
（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为EF=DF+BE．理由如下：延长CB至M，使BM=DF，连接AM，

则∠ABM=∠D=90°．在△ABM和△ADF中AB=AD∠ABM=∠DBM=DF，∴△ABM≌△ADF(SAS)，∴AM=AF，∠MAB=∠FAD．∵∠EAF=45°，∴∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=45°．在△AEM和△AEF中AM=AF∠MAE=∠FAEAE=AE，∴△AEM≌△AEF(SAS)，∴EM=EF=DF+BE；
（3）解：过点H作HN⊥BC于点N，

则∠HNG=90°．∵GH⊥AE，∴∠AKG=∠ABG=90°，∴∠BGK=∠EAB．在△ABE和△GNH中∠ABE=∠GNH∠BAE=∠NGHAE=GH，∴△ABE≌△GNH(AAS)，∴EB=HN．∵∠HCN=45°，∠HNC=90°，∴sin45°=HNHC，∴HN=22CH，由（2）知，EF=BE+DF=HN+DF=22b+a．
23．【答案】（1）证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，

∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，
∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，
∴△PFG≌△CPD （AAS），
∴FG=PD，
∴ΔPDF 的面积 S=12PD⋅FG=12PD2 ；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，

∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，
∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴△PEH≌△BPA （AAS），
∴EH=PA，
由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得： △PFG≌△CPD ，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴△AHE≌△FGD ，
∴EA=FD
（2）解：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，

由（1）得： △AHE≌△FGD ，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
∴MN= 12 EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，

此时EF最大值= 42+82=45 ，
当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，

此时EF最小值= HG=8，
∴MN 的取值范围是：4≤MN＜ 25
24．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， AC 为对角线，
∴AB=AD ， ∠BAE=∠DAE=45° .
∵AE=AE ，
∴△ABE≅ADE(SAS) ，
∴BE=DE
（2）解：①△FBG 为等腰三角形.理由如下：
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠GAD=90° ，
∴∠AGD+∠ADG=90° .
∵FB⊥BE ，
∴∠FBG+∠EBG=90° ，
由（1）得 ∠ADG=∠EBG ，
∴∠AGD=∠FBG ，
又∵∠AGD=∠FGB ，
∴∠FBG=∠FGB ，
∴△FBG 为等腰三角形.
②如图1，过点 F 作 FH⊥AB ，垂足为 H .

∵四边形 ABCD 为正方形，点 G 为 AB 的中点， AB=4 ，
∴AG=BG=2 ， AD=4 .
由①知 FG=FB ，
∴GH=BH=1 ，
∴AH=AG+GH=3 .
在 Rt△FHG 与 Rt△DAG 中，
∵∠FGH=∠DGA ，
∴tan∠FGH=tan∠DGA ，
∴FHGH=ADAG=42 ，
∴FH=2 .
在 Rt△AHF 中， AF=AH2+FH2=9+4=13 .
（3）证明：如图2，

∵FB⊥BE ，
∴∠FBE=90° .
在 Rt△EBF 中， BE=BF ，
∴EF=2BE .
由（1）得 BE=DE ，
由（2）得 FG=BF ，
∴GE=EF-FG=2BE-BF=2DE-DE=(2-1)DE .