中考数学精选真题实战测试40 菱形 B

这是一份中考数学精选真题实战测试40 菱形 B，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2021·河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ）
A．四条边相等B．对角线相等
C．对角线互相垂直D．是轴对称图形
2．（3分）（西藏）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′上，连接DB′．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠ADB′的度数为（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
3．（3分）（赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A(−3，0)，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（ ）
A．3B．5C．22D．323
4．（3分）（呼和浩特）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF=45°，则AF：FC的值是（ ）
A．3B．5+1C．22+1D．2+3
5．（3分）（巴中）如图，在菱形ABCD中，分别以C、D为圆心，大于12CD为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN，若直线MN恰好过点A与边CD交于点E，连接BE，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BCD=120°B．若AB=3，则BE=4
C．CE=12BCD．S△ADE=12S△ABE
6．（3分）（株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）
A．OB=12CEB．△ACE是直角三角形
C．BC=12AED．BE=CE
7．（3分）（2021·郴州）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动.设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）（2021·兰州）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E 在 BD 上，连接 AE ， CE ， ∠ABC=60° ， ∠BCE=15° ， ED=2+23 ，则 AD= （ ）
A．4B．3C．22D．2
9．（3分）（2021·德阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝ADB．OE =12 AB
C．∠DOE＝∠DEOD．∠EOD＝∠EDO
10．（3分）（2021·南充）如图，在菱形ABCD中， ∠A=60° ，点E，F分別在边AB，BC上， AE=BF=2 ， △DEF 的周长为 36 ，则AD的长为（ ）
A．6B．23C．3+1D．23−1
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若∠BAD=60°，则橡皮筋AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）.
12．（3分）（齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可）
13．（3分）（2021·贵州）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若 ∠ADB=32° ，则 ∠DCE 的度数为 度.
14．（3分）（2021·眉山）如图，在菱形 ABCD 中， AB=AC=10 ，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，点 M 在线段 AC 上，且 AM=3 ，点 P 为线段 BD 上的一个动点，则 MP+12PB 的最小值是 .
15．（3分）（2021·苏州）如图，四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC=70° ，延长 BC 到 E ，在 ∠DCE 内作射线 CM ，使得 ∠ECM=15° ，过点 D 作 DF⊥CM ，垂足为 F ，若 DF=5 ，则对角线 BD 的长为 .（结果保留根号）
16．（3分）（陕西）如图，在菱形ABCD中，AB=4，BD=7.若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM=BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 .
三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)
17．（8分）（长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD.
（1）（4分）求证：AC⊥BD；
（2）（4分）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求BD的长及四边形ABCD的周长.
18．（8分）（广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE.
（1）（4分）求证：四边形AECD为菱形；
（2）（4分）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积.
19．（8分）（遂宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF.
（1）（4分）求证：△AOE≌△DFE；
（2）（4分）判定四边形AODF的形状并说明理由.
20．（8分）（四川）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）（4分）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）（4分）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
21．（10分）（广州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
（1）（4分）求BD的长；
（2）（6分）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=3DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+3CF的值是否也最小？如果是，求CE+3CF的最小值；如果不是，请说明理由．
22．（10分）（宜昌）已知菱形 ABCD 中， E 是边 AB 的中点， F 是边 AD 上一点.
（1）（6分）如图1，连接 CE ， CF . CE⊥AB ， CF⊥AD .
①求证： CE=CF ；
②若 AE=2 ，求 CE 的长；
（2）（4分）如图2，连接 CE ， EF .若 AE=3 ， EF=2AF=4 ，求 CE 的长.
23．（10分）（安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
（1）（4分）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
（2）（6分）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
24．（10分）（安顺）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．
（1）（3分）求线段AE的长；
（2）（3分）求证四边形DGFC为菱形；
（3）（4分）如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】不会
12．【答案】AB=CD或AD∥BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）
13．【答案】64
14．【答案】723
15．【答案】25
16．【答案】152
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD
（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=12OD，
∵EF=32，
∴OD=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2OD=6，
∵AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AO=2，OD=3，
∴AD=AO2+OD2=22+32=13，
∴菱形形ABCD的周长为413.
18．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
∵AB＝2CD，E为AB中点，
∴CD=AE=12AB，
∵CD//AE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：由（1）知：CD//AE，AD//EC，CD=AE=EC=2，
∵∠D＝120°，
∴∠DAE=180°−ADC=60°=∠CEB，∠CAB=12∠DAE=30°=∠ACE，
∵E为AB中点，
∴AE=BE=CE，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠ECB=60°，BC=CE=2，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°，
∴AC=3BC=23，
∴S△ACB=12AC⋅BC=23.
19．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵DF∥AC，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵∠AEO＝∠DEF，
∴△AOE≌△DFE（ASA）.
（2）解：四边形AODF为矩形.
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO＝DF，
∵DF∥AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD＝90°，
∴平行四边形AODF为矩形.
20．【答案】（1）证明：∵ ∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD=BD=CD，
∵E是AD的中点，即AE=DE，
∵AF∥CD，
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE，
∴△AEF≌△DEF(AAS)，
∴AF=CD，
∴AF=BD，
又∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
又AD=BD，
∴ 四边形ADBF是菱形；
（2）解：∵AF∥BC，
∴S△ABD=S△ACD（等底同高），
∵ 四边形ADBF是菱形 ，
∴S△ABD=S△ABF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=S△ABD+S△ABF=S菱形ADBF=40，
∵S△ABC=12AB×AC=12×8×AC=40，
∴AC=10.
21．【答案】（1）解：连接AC，设AC与BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD ， OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵∠BAD = 120°，
∴∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BO=AB▪sin60°=6×32=33，
∴BD=2BO=63；
（2）解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6，
由（1）得：BD=63；
菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，
∴MN⊥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBN=30°；
∴EN=12BE
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=MN⋅BC，
∴MN=33，
设BE=x，则EN=12x，
∴EM=MN-EN=33−12x，
∵S菱形ABCD= AD▪MN=6×33=183，
∴S△ABD= 12S菱形ABCD=93，
∵BE=3DF，
∴DF=BE3=33x，
∴S△DEF=12DF ▪EM=12⋅33x(33−12x) =−312x2+32x，
记四边形ABEF的面积为s，
∴s= S△ABD - S△DEF =93-（−312x2+32x）=312(x−33)2+2734，
∵点E在BD上，且不在端点，∴0①当CE⊥AB时，
∵OB⊥AC，
∴点E是△ABC重心，
∴BE=CE=23BO=23×33=23，
此时s=312(23−33)2+2734 =73，
∴当CE⊥AB时，四边形ABEF的面积为73；
②作CH⊥AD于H，如图，
∵CO⊥BD，CH⊥AD，而点E和F分别在BD和AD上，
∴当点E和F分别到达点O和点H位置时，CF和CE分别达到最小值；
在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，
∵∠BAD=120°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AH=DH=3，
∴CH=33，
∵s=312(x−33)2+2734，
∴当x=33，即BE=33时， s达到最小值，
∵BE=3DF，
∴DF=3，
此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，
∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，
∴CE+3CF的值达到最小，
其最小值为CO+3CH=3+3×33=12．
22．【答案】（1）解：①∵CE⊥AB ， CF⊥AD ，
∴∠BEC=∠DFC=90° ，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠B=∠D ， BC=CD ，
∴△BEC≌△DFC(AAS) ，
∴CE=CF .
②如图，连接 AC .
∵E 是边 AB 的中点， CE⊥AB ，
∴BC=AC ，
又由菱形 ABCD ，得 BC=AB ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠EAC=60° ，
在 Rt△AEC 中， AE=2 ，
∴EC=AEtan60°=23 ，
∴CE=23 .
（2）解：如图，延长 FE 交 CB 的延长线于点 M ，
由菱形 ABCD ，得 AD∥BC ， AB=BC ，
∴∠AFE=∠M ， ∠A=∠EBM ，
∵E 是边 AB 的中点，
∴AE=BE ，
∴△AEF≌△BEM(AAS) ，
∴ME=EF ， MB=AF ，
∵AE=3 ， EF=2AF=4 ，
∴ME=4 ， BM=2 ， BE=3 ，
∴BC=AB=2AE=6 ，
∴MC=8 ，
∴MBME=24=12 ， MEMC=48=12 ，
∴MBME=MEMC ，而 ∠M 为公共角.
∴△MEB∽△MCE ，
∴BEEC=MBME=24 ，
又∵BE=3 ，
∴EC=6 .
23．【答案】（1）证明：
∵DC=BC，CE⊥BD，
∴DO=BO，
∵DE∥BC，
∴∠ODE=∠OBC，∠OED=∠OCB，
∴ΔODE≌ΔOBC（AAS），
∴DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴四边形BCDE为菱形．
（2）解：（ⅰ）根据解析（1）可知，BO=DO，
∴CE垂直平分BD，
∴BE=DE，
∵BO=DO，
∴∠BEO=∠DEO，
∵DE垂直平分AC，
∴AE=CE，
∵EG⊥AC，
∴∠AEG=∠DEO，
∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，
∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，
∴∠CED=180°3=60°．
（ⅱ）连接EF，
∵EG⊥AC，
∴∠EGF=90°，
∴∠EFA=90°−∠GEF，
∵∠AEF=180°−∠BEF
=180°−∠BEC−∠CEF
=180°−∠BEC−(∠CEG−∠GEF)
=180°−60°−60°+∠GEF
=60°+∠GEF
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴90°−∠GEF=60°+∠GEF，
∴∠GEF=15°，
∴∠OEF=∠CEG−∠GEF=60°−15°=45°，
∵CE⊥BD，
∴∠EOF=∠EOB=90°，
∴∠OFE=90°−∠OEF=45°，
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°，
∴∠ECA=30°，
∵∠EBO=90°−∠OEB=30°，
∴∠OCF=∠OBE=30°，
∵∠BOE=∠COF=90°，
∴ΔBOE≌ΔCOF（AAS），
∴BE=CF．
24．【答案】（1）解：如图
∵ 四边形 ABCD 是矩形， AB=10 ， AD=8 ，
∴AD=BC=8，DC=AB=10 ， ∠DAB=∠B=90° ，
∵ 将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，顶点 D 恰好落在 AB 边上的点 F 处，
∴CF=CD=10 ，
在 Rt△BCF 中， BF=CF2−BC2=102−82=6 ，
∴AF=AB−BF=10−6=4 ，
设 AE=a ，则 DE=EF=8−a ，
在 Rt△AEF 中， AE2+AF2=EF2 ，
a2+42=(8−a)2 ，
解得 a=3 ，
∴AE=3 ；
（2）证明： ∵ DE=AD−AE=8−3=5 ，
∴tan∠DCE=DECD=510=12 ，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴DC∥GB ，
∴∠EGA=∠DCE ，
∴tan∠EGA=EAGA=12 ，
∵EA=3 ，
∴GA=6 ，
Rt△GAD 中， DG=AG2+AD2=62+82=10 ，
∴FG=GA+AF=6+4=10 ，
∴GD=DC=CF=GF ，
∴ 四边形 DGFC 为菱形；
（3）解： ∵ ∠DMN=∠DCM ，设 DN=x ， △DMN 是直角三角形
设 ∠DMN=∠DCM=α
由（2）可得 tan∠DCM=12
∴tan∠DMN =12
①当 ∠DNM=90° 时，如图，
∴DN=12NM ， ∠GNM=90° ，
∵GD=CD
∴∠DGM=∠DCM=α
∴∠NMG=90°−α
∴∠DMG=90°−α+α=90°
∵DG=DC=10
∵tan∠DGM=tanα=12
∴GN=2NM
∴10−x=2×2x
解得 x=2 ；
②当 ∠NDM=90° 时，
同理可得 DN=12DM，DM=12GD
∴ND=14DG=52
综上所述， ND=2 或 2.5