2022年中考数学精选真题43 正方形A(含答案)

这是一份2022年中考数学精选真题43 正方形A(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年中考数学精选真题 正方形 A
一、单选题（每题3分，共30分）(共10题；共30分)
1．（3分）（2022·深圳）下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
2．（3分）（2022·黄石）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．(-2，0) B．(-2，0) C．(0，2) D．(0，2)
3．（3分）（2022·六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（　　）

A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
4．（3分）（2022·广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（　　）

A．62 B．32 C．2-3 D．6-22
5．（3分）（2022·包头）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF∥AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC，若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（　　）

A．2OC=5EF B．5OC=2EF C．2OC=3EF D．OC=EF
6．（3分）（2022·玉林）若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 一定是(　　)
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
7．（3分）（2022·黔东南）如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）

A．23+2 B．5-33 C．3-3 D．3+1
8．（3分）（2022·滨州）正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边AB，BC相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（　　）

A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线
9．（3分）（2022·遂宁）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（　　）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
10．（3分）（2022·眉山）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3.以下结论：
①∠EDC=135°；②EC2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED=23.其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每空3分，共18分）(共6题；共18分)
11．（3分）（2022·益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝13AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 　 　．

12．（3分）（2022·潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为　 　．

13．（3分）（2022·锦州）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB=6，则△AEF的面积为　 　．

14．（3分）（2022·新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若AQ·DP=32，则BQ=　 　.

15．（3分）（2021·桂林）如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 　 　.

16．（3分）（2022·攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF.且点A在△BCF内部.给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形.
其中正确结论有　 　（填上所有正确结论的序号）.

三、解答题（共8题，共72分）(共8题；共72分)
17．（6分）（2022·恩施）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF=BE+EF.

18．（8分）（2022·贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD.

（1）（4分）求证：△ABE≌△FMN；
（2）（4分）若AB=8，AE=6，求ON的长.
19．（8分）（2022·雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.

（1）（4分）求证：△ABE≌△CDF；
（2）（4分）若AB＝32，BE＝2，求四边形AECF的面积.
20．（8分）（2022·遵义）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上.

（1）（4分）求证：△ADE≌△CDG；
（2）（4分）若AE=BE=2，求BF的长.
21．（8分）（2021·荆门）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， ∠AEF=90° ，且 EF=AE ， FH⊥BH .

（1）（4分）求证： BE=CH ；
（2）（4分）若 AB=3 ， BE=x ，用x表示DF的长.
22．（10分）（2022·深圳）
（1）（3分）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG

（2）（3分）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．

（3）（4分）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，∠D=60°，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求CP的长．

23．（12分）（2022·仙桃）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S.

（1）（1分）填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B=45°，m=52，则n=　 　，S=　 　；
②如图2，若∠B=60°，m=43，则n=　 　，S=　 　；
（2）（4分）如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
（3）（4分）如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小.
24．（12分）（2022·武威）已知正方形 ABCD ， E 为对角线 AC 上一点.

（1）（4分）【建立模型】如图1，连接 BE ， DE .求证： BE=DE ；
（2）（4分）【模型应用】如图2， F 是 DE 延长线上一点， FB⊥BE ， EF 交 AB 于点 G .
①判断 △FBG 的形状并说明理由；
②若 G 为 AB 的中点，且 AB=4 ，求 AF 的长.
（3）（4分）【模型迁移】如图3， F 是 DE 延长线上一点， FB⊥BE ， EF 交 AB 于点 G ， BE=BF .求证： GE=(2-1)DE .

答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】4
12．【答案】(-2，6+1)
13．【答案】3
14．【答案】3
15．【答案】6+2
16．【答案】①②③④
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCE+∠DCF=90°，
∵CE⊥BG，DF⊥CE，
∴∠BEC=∠CFD=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠DCF，
在△BCE和△CDF中，∠BEC=∠CFD=90°∠CBE=∠DCFBC=CD，
∴△BCE≅△CDF(AAS)，
∴BE=CF，CE=DF，
∴CE=CF+EF=BE+EF，
∴DF=BE+EF.
18．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，BC∥AD，
AB∥DC，
∵MF∥AD，∠A=∠D=90°，AB∥DC，
∴四边形ADFM是矩形，
∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，
∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴MN⊥BE，
∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，
∴∠MBO=∠OMF，
∵∠NFM=∠A=90∘MF=AB∠OMF=∠MBO，
∴△ABE≌△FMN；
（2）解：连接ME，如图，

∵AB=8，AE=6，
∴在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=82+62=10，
∴根据（1）中全等的结论可知MN=BE=10，
∵MN是BE的垂直平分线，
∴BO=OE=12BE=5，BM=ME，
∴AM=AB-BM=8-ME，
∴在Rt△AME中，AM2+AE2=ME2，
∴(8-ME)2+62=ME2，解得：ME=254，
∴BM=ME=254，
∴在Rt△BMO中，MO2=BM2-BO2，
∴MO=BM2-BO2=(254)2-52=154，
∴ON=MN-MO=10-154=254.
即NO的长为：254.
19．【答案】（1）证明：∵ 正方形ABCD，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF=45°，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF.
（2）解：如图，连结AC，
∵ 正方形ABCD，AB=32，
∴AC=BD=(32)2+(32)2=6，AC⊥BD，

∵BE=DF=2，
∴EF=6-2-2=2，
∴四边形AECF的面积=S△AEF+S△CEF=12EF·AC
=12×2×6=6.
20．【答案】（1）证明：∵正方形ABCD和菱形EFGH，
∴AD=CD，∠A=∠D=90°，DE=DG，
在Rt△ADE与Rt△CDG中
AD=CDDE=DG
∴Rt△ADE≌Rt△CDG（HL）
（2）解：如图，连接EG交DF于点O，

∵AE=BE=2，
∴CG=AE=2，BG=CB-CG=2，
在Rt△EBG中，
∴EG=EB2+BG2=22，
∴EO=2，
在Rt△ADE中，AD=2AE=4，AE=2，
∴EF=DE=AE2+AD2=25，
在Rt△OEF中，OF=EF2-OE2=20-2=32，
∴DF=2OF=32，
∵DB=2AB=42，
∴BF=DF-DB=2.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，AB=BC，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°.
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEH.
又∵EF=AE，
∴△ABE≌△EHF.
∴BE=FH，AB=EH，
∴AB=BC=EH，则BC-EC=EH-EC，
∴BE=CH；
（2）解：作FP⊥CD于P，

由（1）可知EH=AB，
∴CE=3−x.
∴CH=FH=FP=x，
∴PD=3−x.
DF=x2+(3-x)2=2x2-6x+9
22．【答案】（1）解：∵将ΔAEB沿BE翻折到ΔBEF处，四边形ABCD是正方形，
∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=90°=∠C，
∵AB=BC=BF，BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；
（2）解：延长BH，AD交于Q，如图：

设FH=HC=x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，
∴82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴DH=DC-HC=113，
∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，
∴ΔBFG∽ΔBCH，
∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，
∴BG=254，FG=74，
∵EQ//GB，DQ//CB，
∴ΔEFQ∽ΔGFB，ΔDHQ∽ΔCHB，
∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736-73，
∴DQ=887，
设AE=EF=m，则DE=8-m，
∴EQ=DE+DQ=8-m+887=1447-m，
∵ΔEFQ∽ΔGFB，
∴EQBG=EFFG，即1447-m254=m74，
解得m=92，
∴AE的长为92；
（3）解：（Ⅰ）当DE=13DC=2时，延长FE交AD于Q，过Q作QH⊥CD于H，如图：

设DQ=x，QE=y，则AQ=6-x，
∵CP//DQ，
∴ΔCPE∽ΔQDE，
∴CPDQ=CEDE=2，
∴CP=2x，
∵ΔADE沿AE翻折得到ΔAFE，
∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，
∴AE是ΔAQF的角平分线，
∴AQAF=QEEF，即6-x6=y2①，
∵∠D=60°，
∴DH=12DQ=12x，HE=DE-DH=2-12x，HQ=3DH=32x，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2=EQ2，
∴(1-12x)2+(32x)2=y2②，
联立①②可解得x=34，
∴CP=2x=32；
（Ⅱ）当CE=13DC=2时，延长FE交AD延长线于Q'，过D作DN⊥AB交BA延长线于N，如图：

同理∠Q'AE=∠EAF，
∴AQ'AF=Q'EEF，即6+x6=y4，
由HQ'2+HD2=Q'D2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，
可解得x=125，
∴CP=12x=65，
综上所述，CP的长为32或65．
23．【答案】（1）52；25；4；83
（2）解：过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，在HC上截取HI=BG，连接DI，

∴∠DHC=∠DGC=∠GCH=90°，
∴四边形DGCH为矩形，
∵CD是△ABC的角平分线，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DG=DH，
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDG+∠GDE=∠GDE+∠EDH=90°，
∴∠FDG=∠EDH，
在△DFG和△DEH中，
∠FDG=∠EDHDG=DH∠DGF=∠DHE，
∴△DFG≌△DEH（ASA）
∴FG=EH，
在△DBG和△DIH中，
DG=DH∠DGB=∠DHIBG=IH，
∴△DBG≌△DIH（SAS），
∴∠B=∠DIH，DB=DI=n，
∵∠DIH+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠IDA=180°-∠A-∠DIH=90°，
∴S△ADI=12AD⋅DI=12mn，
∴S=S△ADE+SΔBDF=S△ADE+SΔHDI=SΔADI=12mn；
（3）解：过点D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q，在PC上截取PR=QB，连接DR，过点A作AS⊥DR于S，
∵CD是△ABC的角平分线，DP⊥AC，DQ⊥BC，
∴DP=DQ，
∵∠ACB=60°
∴∠QDP=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠FDQ+∠FDP=∠FDP+∠EDP=120°，
∴∠FDQ=∠EDP，

在△DFQ和△DEP中，
∠FDQ=∠EDPDQ=DP∠DQF=∠DPE，
∴△DFQ≌△DEP（ASA）
∴DF=DE，∠QDF=∠PDE，
在△DBQ和△DRP中，
DQ=DP∠DQB=∠DPRBQ=RP，
∴△DBQ≌△DRP（SAS），
∴∠BDQ=∠RDP，DB=DR，
∴∠BDF=∠BDQ+∠FDQ=∠RDP+∠EDP=∠RDE，
∵DB=DE，DB=DR，
∴△DBF≌△DRE，
∴∠ADR=∠ADE+∠BDF=180°-∠FDE=60°，
∴S=S△ADR=12AS⋅DR=12ADsin60°×DR=12×6×32×4=63.
24．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， AC 为对角线，
∴AB=AD ， ∠BAE=∠DAE=45° .
∵AE=AE ，
∴△ABE≅ADE(SAS) ，
∴BE=DE
（2）解：①△FBG 为等腰三角形.理由如下：
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠GAD=90° ，
∴∠AGD+∠ADG=90° .
∵FB⊥BE ，
∴∠FBG+∠EBG=90° ，
由（1）得 ∠ADG=∠EBG ，
∴∠AGD=∠FBG ，
又∵∠AGD=∠FGB ，
∴∠FBG=∠FGB ，
∴△FBG 为等腰三角形.
②如图1，过点 F 作 FH⊥AB ，垂足为 H .

∵四边形 ABCD 为正方形，点 G 为 AB 的中点， AB=4 ，
∴AG=BG=2 ， AD=4 .
由①知 FG=FB ，
∴GH=BH=1 ，
∴AH=AG+GH=3 .
在 Rt△FHG 与 Rt△DAG 中，
∵∠FGH=∠DGA ，
∴tan∠FGH=tan∠DGA ，
∴FHGH=ADAG=42 ，
∴FH=2 .
在 Rt△AHF 中， AF=AH2+FH2=9+4=13 .
（3）证明：如图2，

∵FB⊥BE ，
∴∠FBE=90° .
在 Rt△EBF 中， BE=BF ，
∴EF=2BE .
由（1）得 BE=DE ，
由（2）得 FG=BF ，
∴GE=EF-FG=2BE-BF=2DE-DE=(2-1)DE .