广东省东莞市重点中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷及参考答案

这是一份广东省东莞市重点中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷及参考答案，共25页。试卷主要包含了下列计算正确的是，若三边的比值为，则是，如图，矩形中，对角线、交于点，如图，在中，，等内容，欢迎下载使用。

广东省东莞市重点中学2022-2023学年八年级下学期期中
数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）若三边的比值为，则是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，点的坐标为，则线段的长为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（3分）如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为　　

A．3 B．4 C． D．5
5．（3分）如图，点、分别是边、的中点，，则的长为　　

A．2 B． C．3 D．
6．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　

A．2 B． C．4 D．6
7．（3分）如图，在中，，．分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，连接直线，分别交、于点、，连接，则的面积为　　

A．12 B．6 C．7.5 D．15
8．（3分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，，，则的长为　　

A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，且，则的长度是　　

A． B．2 C．8 D．
10．（3分）如图，已知正方形的边长为4，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接交折痕于点，则的长是　　

A． B． C．1 D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）代数式有意义，则的取值范围是 　　．
12．（3分）如图，在中，，是边上的中点，若，，则的长为 　　．

13．（3分）如图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 　　．

14．（3分）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 　　．

15．（3分）将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、分别是正方形的中心，则2021个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 　　．

三．解答题（一）（每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）如图，在中，点、分别在、上，且．
求证：四边形是平行四边形．

四．解答题（二）（每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，在中，，，．
（1）求的长度；
（2）已知是上一点，连接，当的长度最短时，求的长度．

20．（9分）如图，在中，．
（1）用尺规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，求边上的高的长度．

21．（9分）如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，，交于点，作交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．

五．解答题（三）（每小题12分，共24分）
22．（12分）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．
（1）求点的坐标；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（12分）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．

（1）求证：；
（2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②若正方形的边长为9，，求正方形的边长．






答案解析
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：选项，当，，故错误，不符合题意；
选项，所以正确，符合题意；
选项，当时，，所以错误，不符合题意；
选项，所以错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查二次根式的性质，熟练运用二次根式的性质进行化简是解决本题的关键．
2．（3分）若三边的比值为，则是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据题意设出三边分别为、、，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又由题意知有两条边相等，所以该三角形为等腰直角三角形．
【解答】解：设三边分别为、、，
，
是直角三角形，
有两条边的比为，
是等腰直角三角形．
故选：．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，利用设法与勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解题的关键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，点的坐标为，则线段的长为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】第一步观察，发现点和点的横坐标相等，纵坐标差的绝对值就是线段的长度．
【解答】解：通过观察点和点在通一条直线上，
线段，
故选：．
【点评】本题考查坐标与图形性质，发现题目隐含信息是关键．
4．（3分）如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为　　

A．3 B．4 C． D．5
【分析】先由矩形的性质得出，结合题意证明是等边三角形即可．
【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，，
故选：．
【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．
5．（3分）如图，点、分别是边、的中点，，则的长为　　

A．2 B． C．3 D．
【分析】直接利用中位线的定义得出是的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．
【解答】解：点、分别是的边、的中点，
是的中位线，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出是的中位线是解题关键．
6．（3分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　

A．2 B． C．4 D．6
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
图中阴影部分的面积为：，
故选：．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）如图，在中，，．分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于、两点，连接直线，分别交、于点、，连接，则的面积为　　

A．12 B．6 C．7.5 D．15
【分析】利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的面积．
【解答】解：由作法得垂直平分，
，，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
的面积．
故选：．
【点评】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
8．（3分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，，，则的长为　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，那么就可表示为，继而可得出答案．
【解答】解：平行四边形，
，
又平分，
，
，
，
同理可证：，
，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．
9．（3分）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，且，则的长度是　　

A． B．2 C．8 D．
【分析】根据，可得，求出即可解决问题．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，解直角三角形等知识，根据已知得出是解题关键．
10．（3分）如图，已知正方形的边长为4，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接交折痕于点，则的长是　　

A． B． C．1 D．
【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，而，即可根据勾股定理求得，再由，且，得，则，由，求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：四边形是边长为4的正方形，
，，
，
由翻折得，，垂直平分，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
解得，
，
，
解得，
故选：．
【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出和的长度是解题的关键．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）代数式有意义，则的取值范围是 　且　．
【分析】根据题意可得且，求出的取值范围即可．
【解答】解：有意义，
且，
且，
故答案为：且．
【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．（3分）如图，在中，，是边上的中点，若，，则的长为 　10　．

【分析】首先根据等腰三角形三线合一性质得到，，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：在中，，是边上的中点，
，，
，，
，
．
故答案为：10．
【点评】此题考查了等腰三角形三线合一性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．（3分）如图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 　9　．

【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
【解答】解：因为为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了矩形是中心对称．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为 　　．

【分析】先作于点，然后根据证明，从而可以得到，再根据勾股定理即可得到的长．
【解答】解：作于点，如图所示，
则，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得，（不合题意，舍去），
即，
故答案为：．

【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、分别是正方形的中心，则2021个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 　2020　．

【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和．
【解答】解：作于，于．则，

，
在△和△中，
，
△△，
四边形的面积四边形的面积，
同理，各个重合部分的面积都是1，
则个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为，
个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：．
故答案为：2020．
【点评】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
三．解答题（一）（每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
【分析】根据实数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：

．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、实数的乘方运算等知识，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
17．（8分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式

，
当时，
原式
．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算，本题属于基础题型．
18．（8分）如图，在中，点、分别在、上，且．
求证：四边形是平行四边形．

【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．
四．解答题（二）（每小题9分，共27分）
19．（9分）如图，在中，，，．
（1）求的长度；
（2）已知是上一点，连接，当的长度最短时，求的长度．

【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）当时，的长度最短，利用面积相等即可求出答案．
【解答】解：（1），，，
在中，
根据勾股定理可得；
（2）当时，的长度最短，
，，
由（1）得：，
利用面积可得，
即：，
，
在中，
根据勾股定理可得：．
【点评】本题考查了勾股定理和垂线段最短，灵活运用所学知识是解题关键．
20．（9分）如图，在中，．
（1）用尺规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，求边上的高的长度．

【分析】（1）先以为圆心在，上画两个弧，得到一组边等，再分别以相同的长为半径画圆弧，得到的交点即在角平分线上，依据是判定全等得到角等，来证明角平分线．
（2）通过面积法求出斜边上的高．
【解答】解：（1）如图，即为所求作的角平分线．

（2）在中，，，
，
，
高，
解得边上的高的长度为．

【点评】此题考查尺规作图和勾股定理，尺规作图的解题关键是利用圆规找相等的边，直角三角形斜边上的高利用面积法求出即可．
21．（9分）如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，，交于点，作交于点，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．

【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
（2）连接，根据菱形的性质证明，然后根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，

四边形是菱形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
五．解答题（三）（每小题12分，共24分）
22．（12分）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，轴，与轴交于点，，且，的长满足．
（1）求点的坐标；
（2）若，求的面积；
（3）在（2）的条件下，正方形的边上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由非负性可求，的长，即可求解；
（2）由面积的和差关系可求解；
（3）分两种情况讨论，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）．
，，
，
点；
（2）如图，过点作，交的延长线于，

，点，
，，
，，
，，点，
；
（3），
，
，，
点不在和上，
当点在上时，，
，
点的坐标为，，
当点在上时，，
，
点，
点的坐标为，，
综上所述：点的坐标为，或，．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
23．（12分）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．

（1）求证：；
（2）如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②若正方形的边长为9，，求正方形的边长．

【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题；
（2）①作于，于，得到，然后证得，得到，则有，根据正方形的判定即可证得矩形是正方形；
②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）①证明：如图，作于，于，
得矩形，

，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
②解：正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
．
，
，
连接，

，
．
正方形的边长为．
【点评】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得．