2022-2023学年广东省东莞市长安实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市长安实验中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，，两地被池塘隔开，为了测出，两地间的距离，小明先在外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，由此他知道了，两地间的距离为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5.  如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的面积分别为、，则正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在▱中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，，点是上的一动点，过点分别作，，垂足为，，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  使得有意义的的取值范围是______ ．

12.  如果一个菱形的一条边长为，那么这个菱形的周长为        ．

13.  如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，，则等于______ ．

14.  如图，在中，是斜边上的中线，，则 ______ ．

15.  若，则 ______ ．

16.  若直角三角形的两边长为和，则第三边长为______．

17.  如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
如图，在▱中，对角线与交于点，已知点、分别为、的中点，求证：四边形是平行四边形．
 

20.  本小题分
在中，，，边上的中线，求长．
 

21.  本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．

22.  本小题分
如图，▱的对角线、相交于点，是等边三角形，且，
证明：▱是矩形；
求：▱的面积．

23.  本小题分
如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，，交于点，作交于点，．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

24.  本小题分
先阅读，再解答由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
的有理化因式是______ ；
化去式子分母中的根号： ______ ， ______ ；
利用这一规律计算：的值．

25.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为．
边的长度为______ ，的取值范围为______ ．
从运动开始，当取何值时，？
从运动开始，当取何值时，？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能组成直角三角形，不符合题意；
B、，不能组成直角三角形，不符合题意；
C、，能组成直角三角形，符合题意；
D、，不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：．
求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的乘法，除法，加法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
米，
米，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理得，，
解得，
故选：．
直接根据勾股定理即可得出结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可知


，
故选：．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有D正确．
故选D．
平行四边形的五种判定方法分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一验证即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
 

8.【答案】 

【解析】解：平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，
，，
点的横坐标，纵坐标点的纵坐标，
即点的坐标是，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，再根据点的坐标求出点的坐标即可．
本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，能熟记平行四边形的对边平行且相等是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当或时，均可判定平行四边形是菱形，故选项A、不符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
当时，可判定平行四边形是矩形，故选项D符合题意；
故选：．
根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断即可．
本题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得：时，线段的值最小，即线段的值最小，
此时，，
即，
解得：，
的最小值为．
故选：．
连接，由勾股定理求出，再证四边形是矩形，得，然后由垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的面积公式求出的长，即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：菱形的四条边都相等，
其边长都为，
菱形的周长．
故答案为：．
根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为，即可求出菱形的周长．
本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握菱形的四条边相等是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，再由三角形的外角性质得出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行四边形的性质，由三角形的外角性质得出是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，为斜边上的中线，
，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记直角三角形斜边上的中线性质是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，




，
故答案为：．
根据，得出的值，然后代入计算即可．
本题主要考查代数式求值，熟练掌握代数式求值的知识是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当和为直角边时，
第三边长为；
当为斜边，为直角边时，
第三边长为．
故答案为：或．
分情况考虑：当较大的数是直角边时，根据勾股定理求得第三边长是；当较大的数是斜边时，根据勾股定理求得第三边的长是．
一定要注意此题分情况讨论，很容易漏掉一些情况没考虑．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形为菱形，
，，，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可证出≌，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可．
此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又，分别为，的中点，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
根据平行四边形的性质得出，，求出，根据平行四边形的判定推出即可．
 

20.【答案】解：是中线，，，
．
，即，
是直角三角形，则，
又，
． 

【解析】本题主要考查了勾股定理的逆定理与线段的垂直平分线的性质，关键是利用勾股定理的逆定理证得．
在中，根据勾股定理的逆定理即可判断，然后根据线段的垂直平分线的性质，即可得到，从而求解．
 

21.【答案】解：，，
，



；
，，
，，



． 

【解析】根据，，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可；
根据，，可以得到和的值，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形；

解：四边形是矩形，
，
，，
由勾股定理得：，
▱的面积是． 

【解析】根据等边三角形性质求出，根据平行四边形的性质求出，，求出，根据矩形的判定得出即可；
求出、根据勾股定理求出，根据面积公式求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
四边形是菱形；
解：如图，连接，

四边形是菱形，
，
，
，
． 

【解析】根据矩形性质先证明四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
连接，根据菱形的性质，然后根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
 

24.【答案】    

【解析】解：的有理化因式为；
故答案为：；
，；
故答案为：；；
原式


．
根据有理化因式和平方差公式求解；
把的分子分母有乘以，再根据二次的性质化简即可；把的分子分母有乘以，然后利用平方差公式计算；
先分母有理化，再把括号内合并，然后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则幂是解决问题的关键．也考查了平方差公式、数字变化规律问题的解决方法．
 

25.【答案】   

【解析】解：如图，过点作于，则，

，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
由勾股定理得：；
点从点出发，以的速度向点运动，，
点运动到的时间为：，
同理得：点运动到点的时间为：，
；
故答案为：，；
如图，，

，
当时，四边形是平行四边形，
，
，
，
即当时，，此时；
如图，过点作于，过点作于，

当时，
，
≌，
，
，
四边形矩形，
，
，即，
，
综合、所述，当或时，；
作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点，运动路程和速度可得的取值范围；
根据列方程可得时，，
由，根据，可得，再结合可得出结论．
此题是四边形综合题：动点问题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论和数形结合是解题的关键．