2022-2023学年广东省东莞市振安中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省东莞市振安中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省东莞市振安中学八年级（下）期中数学试卷
副标题
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是(    )
A. (−a)2=−a B. ( a)2=a C. a2=a D. ( −a)2=a
2. 若△ABC三边的比值为1：1： 2，则△ABC是(    )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
3. 在平面直角坐标系中，已知点M(3,5)，点N的坐标为(3,−2)，则线段MN的长为(    )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为(    )


A. 3 B. 4 C. 4 3 D. 5
5. 如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC=3，则DE的长为(    )



A. 2
B. 43
C. 3
D. 32
6. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为(    )


A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 6
7. 如图，在Rt△ABC中，BC=6，AB=10.分别以B、C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线EF，分别交BC、AB于点M、N，连接CN，则△CMN的面积为(    )


A. 12 B. 6 C. 7.5 D. 15
8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，AB=5，AD=7，则EF的长为(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且DE=2 3，则AC的长度是(    )


A. 2 5 B. 2 C. 8 D. 5 33
10. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE=2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是(    )

A. 43 B. 103 C. 1 D. 53
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 代数式 x+1x−2有意义，则x的取值范围是        ．
12. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，若AB=13，AD=12，则BC的长为        ．

13. 如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为______ ．


14. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=AD=5，对角线AC⊥CD，则线段CD的长为______ ．

15. 将n个边长都为2cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则2021个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算： 4−( 3−2)+(−1)2023．
17. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−1x+2)÷x2−1x2+4x+4，其中x= 2+1．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．





19. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= 5，BC=2 5．
(1)求AB的长度；
(2)已知D是AB上一点，连接CD，当CD的长度最短时，求AD的长度．

20. (本小题9.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1)用尺规作∠BAC的平分线，交BC于点P(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若AC=3，AB=5，求AB边上的高的长度．

21. (本小题9.0分)
如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，过点C作CF//ED交AB于点F，DC=DE．
(1)求证：四边形CDEF是菱形；
(2)若BC=3，CD=5，求AG的长．





22. (本小题12.0分)
正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，AD//BC//x轴，AD与y轴交于点E，OE=1，且AE，DE的长满足 AE−3+|DE−1|=0．
(1)求点A的坐标；
(2)若P(−4,−1)，求△EPC的面积；
(3)在(2)的条件下，正方形ABCD的边上是否存在点M，使S△EPC=2S△CEM？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．





23. (本小题12.0分)
如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE．

(1)求证：BE=DE；
(2)如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②若正方形ABCD的边长为9，CG=3 2，求正方形DEFG的边长．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A选项 (−a)2=|a|，当a>0， (−a)2=|a|=a，故错误，不符合题意；
B选项( a)2=a，所以正确，符合题意；
C选项 a2=|a|，当a<0时， a2=|a|=−a，所以错误，不符合题意；
D选项( −a)2=−a，所以错误，不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的性质进行化简即可．
本题主要考查二次根式的性质，熟练运用二次根式的性质进行化简是解决本题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：设△ABC三边分别为k、k、 2k，
∵k2+k2=( 2k)2，
∴△ABC是直角三角形，
∵有两条边的比为1：1，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．
根据题意设出三边分别为k、k、 2k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，又由题意知有两条边相等，所以该三角形为等腰直角三角形．
本题考查了等腰直角三角形的判定，利用设k法与勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：通过观察点M和点N在通一条直线上，
线段MN=5−(−2)=7，
故选：D．
第一步观察，发现点M和点N的横坐标相等，纵坐标差的绝对值就是线段MN的长度．
本题考查坐标与图形性质，发现题目隐含信息是关键．

4.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，且BD=8，
∴OA=OB=OC=OD=BD2=4，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，OA=AB=4，
故选：B．
先由矩形的性质得出OA=OB，结合题意证明△AOB是等边三角形即可．
本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：∵点D、E分别是△ABC的边BA、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12AC=32．
故选：D．
直接利用中位线的定义得出DE是△ABC的中位线，进而利用中位线的性质得出答案．
此题主要考查了三角形中位线定理，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键．

6.【答案】A 
【解析】解：由题意可得，
大正方形的边长为 8=2 2，小正方形的边长为 2，
∴图中阴影部分的面积为： 2×(2 2− 2)=2，
故选：A．
根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．

7.【答案】B 
【解析】解：由作法得MN垂直平分BC，
∴NB=NC，CM=BM=12BC=3，MN⊥BC，
∴∠B=∠NCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，∠NCB+∠NCA=90°，
∴∠A=∠NCA，
∴NC=NA，
∴NC=12AB=5，
在Rt△CMN中，MN= NC2−CM2= 52−32=4，
∴△CMN的面积=12CM⋅MN=12×3×4=6．
故选：B．
利用基本作图得到MN垂直平分BC，则根据线段垂直平分线的性质得到NB=NC，CM=BM=12BC=3，MN⊥BC，再证明NC=NA，得到NC=12AB=5，然后利用勾股定理计算出MN，从而得到△CMN的面积．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：∵平行四边形ABCD，
∴∠DFC=∠FCB，
又CF平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∴∠DFC=∠DCF，
∴DF=DC，
同理可证：AE=AB，
∵AB=5，AD=BC=7，
∴2AB−BC=AE+FD−BC=EF=3．
故选：C．
根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD−BC=2AB−BC，继而可得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握．

9.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，
∴OA=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴OD=DEcos30∘=2 3 32=4，
∴AC=2OD=8．
故选：C．
根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，求出OD即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形等知识，根据已知得出∠DAC=30°是解题关键．

10.【答案】B 
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴AB=AD=CD=CB=4，∠D=∠A=∠ABC，
∴∠D=∠CBE=90°，
由翻折得CG=CE，GF=EF，CF垂直平分EG，
在Rt△CDG和Rt△CBE中，
CG=CECD=CB，
∴Rt△CDG≌Rt△CBE(HL)，
∴DG=BE=2，
∴AG=AD−DG=4−2=2，
∵AE=AB+BE=4+2=6，
∴EG= AG2+AE2= 22+62=2 10，
∵AG2+AF2=FG2，且AF=6−EF，
∴22+(6−EF)2=EF2，
解得EF=103，
∵12EG⋅FH=12EF⋅AG=S△EFG，
∴12×2 10FH=12×103×2，
解得FH= 103，
故选：B．
由翻折得CG=CE，GF=EF，CF垂直平分EG，可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△CDG≌Rt△CBE，得DG=BE=2，则AG=2，而AE=AB+BE=6，即可根据勾股定理求得EG=2 10，再由AG2+AF2=FG2，且AF=6−EF，得22+(6−EF)2=EF2，则EF=103，由12×2 10FH=12×103×2=S△EFG，求得FH= 103，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出EG和EF的长度是解题的关键．

11.【答案】x≥−1且x≠2 
【解析】解：∵ x+1x−2有意义，
∴x+1≥0且x−2≠0，
∴x≥−1且x≠2，
故答案为：x≥−1且x≠2．
根据题意可得x+1≥0且x−2≠0，求出x的取值范围即可．
本题考查二次根式的有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．

12.【答案】10 
【解析】解：∵在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=13，AD=12，
∴BD= AB2−AD2=5，
∴BC=2BD=10．
故答案为：10．
首先根据等腰三角形三线合一性质得到AD⊥BC，BD=CD，然后利用勾股定理求解即可．
此题考查了等腰三角形三线合一性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

13.【答案】9 
【解析】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3=18，所以阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
本题考查了矩形是中心对称．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．

14.【答案】 5 
【解析】解：作BE⊥AC于点E，如图所示，
则∠BEA=90°，
∵AB=BC=AD=5，
∴点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠D=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°，
∴∠BAE=∠D，
又∵AB=AD，∠BEA=∠ACD=90°，
∴△BAE≌△ADC(AAS)，
∴AE=DC，
∴AC=2AE=2CD，
设CD=x，则AC=2x，
∵AD=5，∠ACD=90°，
∴x2+(2x)2=52，
解得x1= 5，x2=− 5(不合题意，舍去)，
即CD= 5，
故答案为： 5．
先作BE⊥AC于点E，然后根据AAS证明△BAE≌△ADC，从而可以得到AE=CD，再根据勾股定理即可得到CD的长．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

15.【答案】2020 
【解析】解：作A1E⊥A2G于E，A1F⊥A2H于F.则∠FA1E=∠HA1G=90°，

∴∠FA1H=∠GA1E，
在△A1HF和△A1GE中，
∠FA1H=∠GA1EA1F=A1E∠A1FH=∠A1EG，
∴△A1HF≌△A1GE(ASA)，
∴四边形A2HA1G的面积=四边形A1EA2F的面积=14×4=1，
同理，各个重合部分的面积都是1，
则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为1×(n−1)=n−1，
∴2021个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为：2021−1=2020．
故答案为：2020．
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为(n−1)阴影部分的和．
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．

16.【答案】解： 4−( 3−2)+(−1)2023
=2− 3+2−1
=3− 3． 
【解析】根据实数的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、实数的乘方运算等知识，解题的关键是掌握运算法则进行解题．

17.【答案】解：原式x+2−1x+2⋅(x+2)2(x+1)(x−1)
=(x+1)(x+2)(x+1)(x−1)
=x+2x−1，
当x= 2+1时，
原式= 2+1+2 2
=3 2+22． 
【解析】先根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算，本题属于基础题型．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD−AE=BC−CF，
∴ED=BF，
又∵ED//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形． 
【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD//BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．

19.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC= 5，BC=2 5，
∴在Rt△ABC中，
根据勾股定理可得AB= AC2+BC2= ( 5)2+(2 5)2=5；
(2)当CD⊥AB时，CD的长度最短，
∵AC= 5，BC=2 5，
由(1)得：AB=5，
∴利用面积可得12×AC×BC=12×AB×CD，
即：12× 5×2 5=12×5×CD，
∴CD=2，
在Rt△ACD中，
根据勾股定理可得：AD= AC2−CD2= ( 5)2−22=1． 
【解析】(1)根据勾股定理求解即可；
(2)当CD⊥AB时，CD的长度最短，利用面积相等即可求出答案．
本题考查了勾股定理和垂线段最短，灵活运用所学知识是解题关键．

20.【答案】解：(1)如图，AP即为所求作的角平分线．

(2)在Rt△ABC中，AC=3，AB=5，
∴BC= 52−32=4，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB×高，
∴3×4=5×高，
解得AB边上的高的长度为125．
 
【解析】(1)先以A为圆心在AB，AC上画两个弧，得到一组边等，再分别以相同的长为半径画圆弧，得到的交点即在角平分线上，依据是SSS判定全等得到角等，来证明角平分线．
(2)通过面积法求出斜边上的高．
此题考查尺规作图和勾股定理，尺规作图的解题关键是利用圆规找相等的边，直角三角形斜边上的高利用面积法求出即可．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵CF//ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC=DE．
∴四边形CDEF是菱形；
(2)解：如图，连接GF，

∵四边形CDEF是菱形，
∴CF=CD=5，
∵BC=3，
∴BF= CF2−BC2= 52−32=4，
∴AF=AB−BF=5−4=1，
在△CDG和△CFG中，
CD=CF∠DCG=∠FCGCG=CG，
∴△CDG≌△CFG(SAS)，
∴FG=DG，
∴FG=DG=AD−AG=3−AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2=AF2+AG2，
∴(3−AG)2=12+AG2，
解得AG=43． 
【解析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
(1)根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
(2)连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG(SAS)，然后根据勾股定理即可解决问题．

22.【答案】解：(1)∵ AE−3+|DE−1|=0．
∴AE=3，DE=1，
∵OE=1，
∴点A(−3,1)；
(2)如图，过点P作PH⊥AD，交DA的延长线于H，

∵P(−4,−1)，点A(−3,1)，
∴PH=2，HE=4，
∵AE=3，DE=1，
∴DH=5，AD=CD=4，点C(1,−3)，
∴S△EPC=S梯形PCDH−S△PHE−S△DEC=5×(2+4)2−12×2×4−12×1×4=9；
(3)∵S△EPC=2S△CEM，
∴S△CEM=4.5，
∵S△AEC=12×3×4>4.5，S△DEC=12×1×4=2<4.5，
∴点M不在AB和CD上，
当点M在AE上时，∵S△CEM=12×EM×4=4.5，
∴EM=94，
∴点M的坐标为(−94,1)，
当点M在BC上时，∵S△CEM=12×CM×4=4.5，
∴CM=94，
∵点C(1,−3)，
∴点M的坐标为(−54,−3)，
综上所述：点M的坐标为(−94,1)或(−54,−3)． 
【解析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
(1)由非负性可求DE，AE的长，即可求解；
(2)由面积的和差关系可求解；
(3)分两种情况讨论，由面积的和差关系可求解．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD，
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE；
(2)①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
得矩形EMCN，

∴∠MEN=90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF=90°−∠FEN，
∵∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FME=90°EN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴EF=DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE=DG，AD=DC，
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，
∴AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°，
∴CE⊥CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC= 2AB=9 2．
∵CG=3 2，
∴CE=6 2，
连接EG，

∴EG= CE2+CG2= 72+18=3 10，
∴DE= 22EG=3 5．
∴正方形DEFG的边长为3 5． 
【解析】(1)根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE(SAS)，即可解决问题；
(2)①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN=EM，然后证得∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形；
②证明△ADE≌△CDG(SAS)，可得AE=CG，∠DAE=∠DCG=45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题．
此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM．