2022-2023学年福建省福州市闽清县八年级（下）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年福建省福州市闽清县八年级（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省福州市闽清县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 代数式 x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )
A. x≥3 B. x>3 C. x≤3 D. x<3
2. 已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，则实数m的值为(    )
A. 4 B. −4 C. 3 D. −3
3. 下列计算正确的是(    )
A. 3+ 7= 10 B. 3+ 7=3 7
C. 3× 7= 21 D. 2 7−2= 7
4. 点(3,−5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值为(    )
A. −15 B. 15 C. −35 D. −53
5. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为(    )


A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
6. 下列命题是真命题的是(    )
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 四边相等的平行四边形是正方形
7. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是(    )
A. xA−>xB−且SA2>SB2 B. xA−SB2
C. xA−>xB−且SA2 8. 用配方法解方程x2−6x+5=0，配方的结果是(    )
A. (x−3)2=1 B. (x−3)2=−1 C. (x+3)2=4 D. (x−3)2=4
9. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为(    )
A. 30(1+x)2=50 B. 30(1−x)2=50 C. 30(1+x2)=50 D. 30(1−x2)=50
10. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH=4，若菱形ABCD的面积为32 3，则CD的长为(    )


A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 8 3
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 写出一个y随x增大而增大的一次函数的解析式：______．
12. 小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是______分．
13. 将直线y=−3x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为______ ．
14. 如图，在▱ABCD中，AD=10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为          ．


15. 实数m，n是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，则多项式mn−m−n值为______ ．
16. 甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的A，B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y(单位：m)与行走时x(单位：min)的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离(单位：m)与甲行走时间x(单位；min)的函数图象，则a−b=          ．


三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解方程：x2−4x−7=0．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
计算：|−2 2|− 4× 2+(π−5)0．
19. (本小题8.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE=DF．


20. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2=5，求k的值．
21. (本小题8.0分)
为了加强对青少年防溺水安全教育，5月底某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩(单位：分)：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97
91 97 96 86 96 89 100 91 99 97
整理数据：
成绩(分)
86
87
89
91
95
96
97
99
100
学生人数(人)
2
2
2
a
1
3
b
2
1
分析数据：
平均数
众数
中位数
93
c
d
解决问题：
(1)直接写出上面表格中的a，b，c，d的值；
(2)若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率；
(3)请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
22. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD中，AB//DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；
(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接AE.求证：四边形ABCE是菱形．

23. (本小题10.0分)
某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的关系如图所示．
(1)当甲、乙两种苹果销售量都为60kg时，甲种苹果销售额______ 元，乙种苹果销售额______ 元；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时，它们的利润和为1500元，求a的值．

24. (本小题12.0分)
如图，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE对称点为A′，连接AA′交DE点H，延长AA′交BC点G．
(1)求证：EH=12A′F；
(2)求证：BF=BG；
(3)若A′C=2 2，求点C到直线AG的距离．

25. (本小题14.0分)
如图，直线y=12x−2分别交x轴，y轴于点A，点B，点C在y轴正半轴上，且OC=OA，点D(−2,m)在直线AC上，点P是x轴上的一个动点，设点P横坐标为t．
(1)求直线AC的函数解析式；
(2)连接PC，PD，若△CDP面积等于△ABC面积的12，求t的值；
(3)求 22AP+BP的最小值．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵代数式 x−3在实数范围内有意义，
∴x−3≥0，
解得：x≥3，
∴x的取值范围是：x≥3．
故选：A．
直接利用二次根式的定义得出x−3≥0，进而求出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x−3的取值范围是解题关键．

2.【答案】B 
【解析】解：关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，
所以1+m+3=0
解得m=−4．
故选：B．
根据方程根的定义，将x=1代入方程，解出m的值即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．

3.【答案】C 
【解析】解：A、 3与 7不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、3与 7不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、 3× 7= 21，故C符合题意；
D、2 7与2不属于同类二次根式，不能运算，故D不符合题意；
故选：C．
利用二次根式的加减法的法则，二次根式乘除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题主要考查待定系数法求正比例函数解析式．
直接把已知点的坐标代入解析式，进而求出k的值．
【解答】
解：∵点(3,−5)在正比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴−5=3k，
解得：k=−53，
故选：D．  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD= AB2−AD2=4，
∴BC=2BD=8，
故选：C．  
6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理，矩形、正方形的判定，属于基础题．根据矩形的判定方法对A、B进行判断；根据正方形的判定方法对C、D进行判断．
【解答】
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以C选项正确；
D、四边相等的平行四边形是菱形，所以D选项错误．
故选：C．  
7.【答案】C 
【解析】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选：C．
根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．

8.【答案】D 
【解析】解：把方程x2−6x+5=0的常数项移到等号的右边，得到x2−6x=−5，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−6x+9=−5+9，
配方得(x−3)2=4．
故选：D．
把常数项5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−6的一半的平方．
本题考查了配方法，解题的关键是注意：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

9.【答案】A 
【解析】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30(1+x)2=50．
故选：A．
若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30(1+x)万个，三月份的口罩产量是30(1+x)2万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产量是解题关键．

10.【答案】C 
【解析】解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，OC=OA=12AC，AC⊥BD，
∴OH=OB=OD=12BD(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)，
∴OD=4，BD=8，
由12AC⋅BD=32 3得，
12×8⋅AC=32 3，
∴AC=8 3，
∴OC=12AC=4 3，
∴CD= OC2+OD2=8，
故答案为：C．
在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．

11.【答案】y=x(答案不唯一) 
【解析】
【分析】
此题比较简单，考查的是一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
根据一次函数的性质，只要使一次项系数大于0即可．
【解答】
解：例如：y=x，或y=x+2等，答案不唯一，
故答案为：y=x(答案不唯一)．  
12.【答案】96 
【解析】解：小丽的平均成绩是100×6+90×46+4=96(分)，
故答案为：96．
根据加权平均数的定义计算可得．
本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求100，90这两个数的平均数，对平均数的理解不正确．

13.【答案】y=−3x−2 
【解析】解：由题意得：平移后的解析式为：y=−3x−2．
故答案为：y=−3x−2．
根据平移k值不变，只有b值发生改变解答即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．

14.【答案】21 
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分，属于基础题．
根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=12AC，BO=OD=12BD，AD=BC=10，
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21．
故答案为：21．  
15.【答案】−5 
【解析】解：∵实数m，n是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，a=1，b=−3，c=−2，
∴m+n=−ba=3，mn=ca=−2，
∴mn−m−n=mn−(m+n)=−2−3=−5．
故答案为：−5．
由实数m，n是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，利用根与系数的关系可得出(m+n)，mn的值，再将其代入mn−m−n=mn−(m+n)中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．

16.【答案】12 
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度．从图1，可见甲的速度为1202=60，从图2可以看出，当x=67时，二人相遇，即：(60+v乙)×67=120，解得：乙的速度V乙=80，乙的速度快，从图2看出乙用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，即可求解．
【解答】
解：从图1，可见甲的速度为1202=60，
从图2可以看出，当x=67时，二人相遇，即：(60+V乙)×67=120，解得：乙的速度V乙=80，
∵乙的速度快，从图2看出乙用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，
a−b=12060−12080=12，
故答案为12．  
17.【答案】解：移项得：x2−4x=7，
配方得：x2−4x+4=7+4，
即(x−2)2=11，
开方得：x−2=± 11，
∴原方程的解是：x1=2+ 11，x2=2− 11． 
【解析】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出(x−2)2=11.移项后配方得出x2−4x+4=7+4，推出(x−2)2=11，开方后得出方程x−2=± 11，求出方程的解即可．

18.【答案】解：|−2 2|− 4× 2+(π−5)0
=2 2−2× 2+1
=2 2−2 2+1
=1． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC，
∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，
∴DE=12AD，BF=12BC，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF． 
【解析】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，又由点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，可得DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．

20.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(2k+1)2−4(k2+1)>0，
整理得4k>3，
解得k>34；
(2)根据根与系数的关系得x1x2=k2+1，
∵x1x2=5，
∴k2+1=5，解得k1=−2，k2=2，
∵k>34，
∴k=2． 
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
(1)根据判别式的意义得到Δ=(2k+1)2−4(k2+1)>0，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1x2=k2+1，再利用x1x2=5得到k2+1=5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．

21.【答案】解：(1)∵91分的有4人，97分的有3人，
∴a=4，b=3，
∵91分的人数最多，
∴众数为4，即c=4，
d=91+952=93，
综上所述，a=4，b=3，c=4，d=93；
(2)成绩达到95分及以上有10人，
则“优秀”等级所占的百分率为：1020×100%=50%；
(3)估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数为：1500×50%=750(人)． 
【解析】(1)根据20名学生的成绩的具体数据求出a、b，根据众数的定义求出c，根据中位数的定义求出d；
(2)根据“优秀”等级人数求出“优秀”等级所占的百分率；
(3)根据“优秀”等级所占的百分率估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．
本题考查的是众数、中位数以及用样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是解题的关键．

22.【答案】(1)解：如图所示．

(2)证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB/​/CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=EC，
∵AB=BC，
∴AB=EC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCE为菱形． 
【解析】(1)根据角平分线的作图步骤作图即可．
(2)由角平分线的定义和平行四边形的判定定理，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB=BC，可证得四边形ABCE为菱形．
本题考查尺规作图、菱形的判定，熟练掌握角平分线的作图步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．

23.【答案】1200  1200 
【解析】解：(1)由图象可得，
当甲、乙两种苹果销售量都为60kg时，甲种苹果销售额1200元，乙种苹果销售额1200元，
故答案为：1200，1200；
(2)设甲种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的函数解析式为y甲=kx，
把(60,1200)代入解析式得：1200=60k，
解得k=20，
∴y甲=20x(0≤x≤120)；
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：k)之间的函数解析式为y乙=k′x，
把(30,750)代入解析式得：750=30k′，
解得k′=25，
∴y乙=25x；
当30 则30m+n=75060m+n=1200，
解得m=15n=300，
∴y乙=15x+300，
由上可得，y乙=25x(0≤x≤30)15x+300(30 (3)①当0≤a≤30时，
根据题意得：甲、乙两种苹果的售价分别为20元/kg、25元/kg，
(20−8)a+(25−12)a=1500，
解得a=60>30，不合题意；
②当30 根据题意得：甲、乙两种苹果的售价分别为20元/kg、15元/kg，
(20−8)a+(15−12)a+300=1500，
解得a=80，
由上可得，a的值为80．
(1)根据函数图象中的数据，可以写出当甲、乙两种苹果销售量都为60kg时，甲种苹果销售额和乙种苹果的销售额；
(2)根据函数图象中的数据，可以写出甲、乙两种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)根据题意和(2)中的关系式，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．

24.【答案】(1)证明：∵点A关于DE的对称点为A′，
∴AH=A′H.AA′⊥DE，
∵E，F为边AB上的两个三等分点，
∴AE=EF=BF，
∴EH是△AA′F的中位线，
∴EH=12A′F．
(2)证明：∵四边形ABCD正方形，AA′⊥DE，
∴∠AHE=90°=∠DAE=∠ABG，AD=AB，
∴∠ADE+∠DEA=90°=∠DEA+∠EAH，
∴∠ADE=∠EAH，
在△ADE和△BAG中，
∠ADE=∠EAHAD=AB∠DAE=∠ABG
∴△ADE≌△BAG (ASA)，
∴AE=BG，
又∵AE=EF=BF，
∴BF=BG．
(3)解：设∠HAD=x°，如图，过点C作CK⊥AG的延长线于点K，

∵点A关于DE的对称点为A′，
∴DE是线段AA′的垂直平分线，
∴AD=A′D，
∴DH平分∠ADA′，
∴∠HDA′=∠HDA=x°，
∴∠HA′D=90°−x°，∠CDA′=90°−2x°，
又∵AD=CD，
∴CD=A′D，
∴∠DA′C=∠DCA′=45°+x°，
∴∠CA′K=180°−∠HA′D−∠DA′C=45°，
∵CK⊥AA′
∴∠A′CK=∠CA′K=45°，
∴A′K=CK，
设CK为x，则A′K为x，
在Rt△CA′K中，根据勾股定理，得
x2+x2=(2 2)2，
解得x=2(x>0)，
∴CK=2，即点C到直线AG的距离为2．
答：点C到直线AG的距离为2． 
【解析】(1)根据题意，证明EH是△AA′F的中位线，即可得证．
(2)根据正方形的性质，证明△ADE≌△BAG (ASA)，即可得证．
(3)作辅助线，设∠HAD=x°，表示出∠HA′D，∠DA′C，求出∠CA′K=180°−∠HA′D−∠DA′C=45°，证明A′K=CK，设CK为x，则A′K为x，根据勾股定理即可求解．
本题考查了四边形的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用．

25.【答案】解：(1)∵直线y=12x−2分别交x轴、y轴于点A、点B，
∴A(4,0)，B(0,−2)，
∴OA=4，OB=2，
∵OC=OA=4，
∴C(0,4)，
设直线AC的解析式为y=kx+b．
∴4k+b=0b=4，
解得k=−1b=4，
∴直线AC的解析式为y=−x+4；
(2)如图，设点P横坐标为t，则P(t,0)，则AP=|t−4|，

∵点D(−2,m)在直线AC：y=−x+4，
∴m=6，
∴D(−2,6)，
∵△CDP 面积等于△ABC面积的12，
∴S△APD−S△CPA=12S△ABC，
∴12×|t−4|×6−12×|t−4|×4=12×12×(4+2)×4，
解得t=10或−2；
(3)如图，过点P作PH⊥AC点H，

  在Rt△AOC中，
∵OC=OA=4，
∴∠CAO=∠OCA=45°，
∴∠APH=90°−∠OAC=45°=∠OAC，
∴PH=AH，
∴PH= 22AP，
∴ 22AP+BP=PH+BP，
当点B、P、H三点共线时，PH+BP=BH为 22AP+BP的最小值，如图，

在Rt△BCH中，
∵∠CBH=90°−∠OCA=45°=∠OCA，
∴CH=BH，
∵BC=OC+OB=6，
∴BH=3 2，
∴ 22AP+BP的最小值为3 2． 
【解析】(1)首先求出A、B两点坐标，得出C点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
(2)由题意S△APD−S△CPA=12S△ABC，可得12×|t−4|×6−12×|t−4|×4=12×12×(4+2)×4，解方程即可．
(3)过点P作PH⊥AC点H，当点B、P、H三点共线时，PH+BP=BH为 22AP+BP的最小值，利用等腰直角三角形性质即可求得答案．
本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．