2022-2023学年山东省济南市莱芜一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市莱芜一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市莱芜一中高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(    )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 设集合A⊆B，且P(A)=0.2，P(B)=0.7，则下列说法正确的是(    )
A. P(B|A)=27 B. P(A|B)=23 C. P(B|A−)=58 D. P(A−B)=710
3. 下列有关排列数、组合数的计算，正确的是(    )
A. Anm=m!n! B. (n+2)(n+1)Anm=An+2m+1
C. C32+C42+C52+…+C1002=C1013 D. C2n−1n−2+Cn+12n−1是一个常数
4. 设x是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q等于(    )
X
−1
0
1
P
13
1−2q
3q2−q+13

A. 23 B. 13 C. 14 D. 34
5. 为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种．该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有(    )
A. 2940种 B. 3000种 C. 3600种 D. 5880种
6. 已知定义在区间(−π2,π2)上的奇函数y=f(x)，对于任意的x∈[0,π2)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的是(    )
A. f(π6)> 3f(π3) B. f(−π6)> 3f(−π3)
C. f(−π4)< 2f(−π3) D. 2f(π6)> 3f(π4)
7. 随机变量X的分布列如下所示.则D(bX)的最大值为(    )
X
1
2
3
P
a
2b
a

A. 29 B. 19 C. 227 D. 127
8. 若对于任意的02，则m的最大值为(    )
A. e B. 1e C. 2 D. 12
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某中学组织了足球射门比赛，规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得4分，没踢进得0分.小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次遇进的概率为23，每次射门相互独立.记x为小明得分总和，ξ为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是(    )
A. E(ξ)=103 B. P(X=4)=C54(25)4×(1−23)
C. E(X)=403 D. D(X)=499
10. 为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是(    )
A. 从六位专家中选两位的不同选法共有20种
B. “呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种
C. “护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种
D. “护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
11. 已知(2x−5)9=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+a3(x−2)3+…+a9(x−2)9，则下列结论成立的是(    )
A. a0+a1+a2+…+a9=1 B. a3=672
C. a0−a1+a2−a3+…+a9=39 D. a1+2a2+3a3+…+9a9=18
12. 设函数f(x)=ex−ex和g(x)=lnx−kx2+(1−2k)x+12(k∈R)，其中e是自然对数的底数(e=2.71828…)，则下列结论正确的为(    )
A. f(x)的图象与x轴相切
B. 存在实数k<0，使得g(x)的图象与x轴相切
C. 若k=12，则方程f(x)=g(x)有唯一实数解
D. 若g(x)有两个零点，则k的取值范围为(0,12)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95、0.90、0.80，甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率______ ．
14. 若点P是曲线y=lnx−x2上任意一点，则点P到直线l：x+y−4=0距离的最小值为______ ．
15. 若(x2+a)(x+1x)8的展开式中x8的系数为9，则a的值为______．
16. 已知函数f(x)=lnxx，关于x的不等式f2(x)−tf(x)>0有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和35，假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率．
(2)假设每人连续2次击中目标，则终止其射击.求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=1+lnxx．
(1)若函数f(x)在区间(a,a+23)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥mx+1恒成立，求实数m的取值范围．
19. (本小题12.0分)
已知二项式( x+12 x)8．
(1)求展开式中的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
20. (本小题12.0分)
“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抛样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用P(k)表示这20名学生中恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中k=0，1，2，…，20.当P(k)最大时，写出k的值．

21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=12x2+2alnx−2x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在区间(1,2)上不单调，求a的取值范围；
(2)令F(x)=f(x)−ax，当a>0时，求F(x)在区间[1,2]上的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ex−lnx．
(1)求证：f(x)>2；
(2)若函数g(x)=f(x)−ax2−e+12仅有两个零点，求实数a的取值范围．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：根据极值点定义，在极值点处导函数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同，
当导函数先负后正的时候函数有极小值点，观察图象可知函数有1个极小值点．
故选：A．
根据函数图象，结合极值点定义即可判断f(x)在开区间(a,b)内极值小值点的个数即可．
本题考查了导函数图象性质的应用，极值点的意义，属于基础题．

2.【答案】C 
【解析】解：因为A⊆B，所以P(AB)=P(A)=0.2，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=1，P(A|B)=P(AB)P(B)=27,P(A−B)=0.7−0.2=0.5．
因为P(A−)=1−P(A)=0.8，
所以P(B|A−)=P(A−B)P(A−)=58．
故选：C．
根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．

3.【答案】D 
【解析】解：对于A，Anm=n!(n−m)!，故A错误，
对于B，(n+2)(n+1)Anm=(n+2)(n+1)n(n−1)⋅⋅⋅(n−m+1)=An+2m+2，故B错误
对于C，C32+C42+c52+⋅⋅⋅+C1002=C33+C32+C42+C52+⋅⋅⋅+C1002−1=C43+C42+C52+⋅⋅⋅+C1002−1=⋅⋅⋅=C1013−1，故C错误，
对于D，算式中应满足n−2≥02n−1≥n−22n−1≤n+1n∈N，解得n=2，
故C2n−1n−2+Cn+12n−1=C30+C33=2，故D正确．
故选：D．
根据已知条件，结合组合数与排列数公式，即可依次求解．
本题主要考查合组合数与排列数公式，属于基础题．

4.【答案】B 
【解析】解：由离散型随机变量的性质可得13+1−2q+3q2−q+13=1⇒(3q−1)(3q−2)=0，
解得q=13或q=23(舍)，
∴q=13．
故选：B．
根据；离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是基础题．

5.【答案】A 
【解析】解：根据题意不同的安排方法共有(24C84CC22A22+35C83CA22A22)A33=2940(种)．
故选：A．
根据题意派往3个医院的人数分配有2种情况：2、2、4，3、3、2.以此可解决此题．
本题考查排列组合应用，考查数学运算能力，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：构造函数g(x)=f(x)cosx，其中x∈(−π2,π2)，则g(−x)=f(−x)cos(−x)=−f(x)cosx=−g(x)，
所以，函数g(x)=f(x)cosx为奇函数，
当x∈[0,π2)时，g′(x)=f′(x)cosx+f(x)sinxcos2x>0，
所以，函数g(x)在[0,π2)上为增函数，故该函数在(−π2,0]上也为增函数，
由题意可知，函数g(x)在(−π2,π2)上连续，故函数g(x)在(−π2,π2)上为增函数．
对于A选项，g(π6) 对于B选项，g(−π6)>g(−π3)，即f(−π6) 32>f(−π3)12，则f(−π6)> 3f(−π3)，B对：
对于C选项，g(−π4)>g(−π3)，即f(−π4) 22>f(−π3)12，则f(−π4)> 2f(−π3)，C错；
对于D选项，g(π6) 故选：B．
构造函数g(x)=f(x)cosx，其中x∈(−π2,π2)，分析函数g(x)的奇偶性及其在(−π2,π2)上的单调性，再利用函数g(x)的单调性逐项判断可得出合适的选项．
本题考查利用导数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．

7.【答案】D 
【解析】解：由题可知2a+2b=1，即a+b=12，
E(X)=a+4b+3a=4(a+b)=2，
D(X)=a(1−2)2+(3−1)2a=2a，
则D(bX)=b2D(X)=2ab2=−2b3+b2，
令f(b)=−2b3+b2，
则f′(b)=−6b2+2b=−2b(3b−1)，
则f(b)在(0,13)上单调递增，在(13,12)上单调递减，
所以f(b)max=f(13)=127，
则D(bX)的最大值为127．
故选：D．
根据分布列得出a+b=12，即可代入计算出D(X)=2a，即可根据方差的运算率得出D(bX)，令f(b)=D(bX)，求导得出f(b)max，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的数学期望与方差的相关计算，属于中档题．

8.【答案】B 
【解析】解：∵0 ∴x2lnx1−x1lnx2<2(x1−x2)，
∴lnx1x1−lnx2x2<2x2−2x1，
∴lnx1+2x1 故函数f(x)=lnx+2x在定义域(0,m)上单调递增，
故f′(x)=1−(lnx+2)x2=−lnx−1x2≥0在(0,m)上恒成立，
故−lnx−1≥0，解得：0 故m的最大值是1e，
故选：B．
问题转化为lnx1+2x1 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．

9.【答案】AC 
【解析】解：由题意得，ξ～(5,23)，因此E(ξ)=5×23=103，所以选项A正确；
P(X=4)=P(ξ=1)=C51×23×(1−23)4，所以选项B不正确；
由题意得X=4ξ，则E(X)=E(4ξ)=4E(ξ)=4×103=403，所以选项C正确；
D(ξ)=5×23×13=109，D(X)=D(4ξ)=16D(ξ)=16×109=1609，因此选项D不正确．
故选：AC．
根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的公式逐一判断即可．
本题考查二项分布的期望和方差，考查离散型随机变量的期望和方差的性质，是中档题．

10.【答案】BC 
【解析】解：对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有C62=15种，故A错误；
对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有5A55=600种，故B正确；
对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有2A55=240种，故B正确；
对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有A33A43=144种，故D错误；
故选：BC．
由组合知识判断A；从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家，从而判断B；由捆绑法判断C；由插空法判断D．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．

11.【答案】ABD 
【解析】解：设t=x−2，则x=t+2，
则等式等价为(2t−1)9=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a9t9，
则令t=1得a0+a1+a2+…+a9=(2−1)9=1，故A正确，
a3=C93×23×(−1)6=672，故B正确，
令t=−1，得a0−a1+a2−a3+…−a9=(−2−1)9=−39，故C错误，
等式两边对t求导数，得a1+2a2t+3a3t2+…+9a9t8=18(2t−1)8，
令t=1，得a1+2a2+3a3+…+9a9=18(2−1)8=18，故D正确．
故选：ABD．
利用换元法设t=x−2，整理成关于t的多项式，然后利用赋值法进行赋值求解即可．
本题主要考查多项式的应用，利用换元法整理成关于t的多项式，利用赋值法进行求解是解决本题的关键，是中档题．

12.【答案】ACD 
【解析】
【分析】
本题考查已知切线(斜率)求参数、利用导数研究函数的零点(或方程的根)，属于较难题．
利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切点坐标即可判断A；利用导数判断函数的单调性，结合导数的几何意义即可判断B；设h(x)=f(x)−g(x)，利用导数判断函数h(x)的单调性求出最小值即可判断C；利用导数判断函数的单调性求出最大值即可判断D．
【解答】
解：①函数f(x)=ex−ex，则f′(x)=ex−e，
由f′(x)=0，得x=1，所以切点为(1,0)，切线方程为y=0，
所以f(x)的图象与x轴相切，故A正确；
②函数g(x)=lnx−kx2+(1−2k)x+12(x>0)，
则g′(x)=1x−2kx+1−2k(x>0)，
当k<0时，g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
且x→0，g(x)→−∞，所以g(x)的图像与x轴不相切，故B错误；
③因为k=12，所以g(x)=lnx−12x2+12(x>0)，
设h(x)=f(x)−g(x)=ex−ex−lnx+12x2−12(x>0)，则h′(x)=ex−e−1x+x，
因为h′(x)在(0,+∞)上单调递增，且h′(1)=0，所以y=h′(x)与x轴只有一个交点，
当0 当x>1时，h′(x)>0，则h(x)单调递增，所以h(x)的最小值为h(1)=0，
所以y=h(x)与x轴只有一个交点，故C正确；
④g′(x)=1x[1−2kx2+(1−2k)x]=1x(x+1)(1−2kx)(x>0)，
令g′(x)=0，得x=12k(k>0)，
当00，则g(x)单调递增，
当x>12k时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，
所以g(x)的最大值为g(12k)=ln12k+14k−12>0，
设m(k)=ln12k+14k−12>0，则m′(k)=−1k−14k2<0，
所以m(k)单调递减，又m(12)=ln1+12−12=0，
所以当k∈(0,12)时，m(k)>0，故D正确．
故选：ACD．
  
13.【答案】0.86 
【解析】解：(1)根据题意，设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．
则Ω=B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
甲、乙、丙三家产品数占比例为2：3：5，则P(B1)=0.2，P(B2)=0.3，P(B3)=0.5，
则P(A|B1)=0.95，P(A|B2)=0.90，P(A|B3)=0.80，
故P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.95×0.2+0.90×0.3+0.80×0.5=0.86．
故答案为：0.86．
设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由全概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件的定义和性质，属于基础题．

14.【答案】2 2 
【解析】解：过点P作曲线y=lnx−x2的切线，当切线与直线l：x+y−4=0平行时，点P到直线l：x+y−4=0距离的最小．
设切点为P(x0,y0)(x0>0),y′=1x−2x，
∴切线斜率为k=1x0−2x0，
由题知1x0−2x0=−1，解得x0=1或x0=−12(舍)．
∴P(1,−1)，此时点P到直线l：x+y−4=0距离d=|1−1−4| 2=2 2．
故答案为：2 2．
过点P作曲线y=lnx−x2的切线，当切线与直线l：x+y−4=0平行时，点P到直线l：x+y−4=0距离的最小．根据导数的几何意义即可求解．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．

15.【答案】1 
【解析】解：(x2+a)(x+1x)8=x2(x+1x)8+a(x+1x)8，且(x+1x)8展开式的通项Tr+1=C8rx8−2r，
∴展开式中x8的系数为C81+aC80=8+a=9，
∴a=1．
故答案为：1．
利用二项式定理的展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．

16.【答案】[ln66,ln55) 
【解析】解：由f(x)=lnxx(x>0)，可得f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)>0，解得0 令f′(x)<0，解得x>e，
∴f(x)的递增区间为(0,e)，递减区间为(e,+∞)，
故f(x)的最大值为 f(e)=1e，
当x趋于+∞时，f(x)趋于0；
当x趋于0时，f(x)趋于−∞，且f(1)=0，
故当x∈(0,1)时，f(x)<0，当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，
函数f(x)的图象如图，

①当t<0时，由不等式f2(x)−tf(x)>0，得f(x)>0或f(x) 当f(x)>0时，x>1，有无数多个整数解；
当f(x) 所以t<0不合题意；
②t=0时，由不等式f2(x)−tf(x)>0⇔f2(x)>0，得f(x)≠0，则解集为(0,1)∪(1,+∞)，整数解有无数多个，不合题意；
③t>0时，由不等式f2(x)−tf(x)>0，得f(x)<0或f(x)>t，
当f(x)<0时，解集为(0,1)无整数解；
当f(x)>t时，不等式有且仅有四个整数解，
又f(3)=ln33，f(2)=f(4)=ln44=ln22，f(5)=ln55，f(6)=ln66，且f(3)>f(2)=f(4)>f(5)>f(6)，
因为f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以四个整数解只能为2、3、4、5，
所以f(6)≤t 所以实数t的取值范围为[ln66,ln55).
故答案为：[ln66,ln55).
求导，利用导数的符号变化研究其单调性、极值，对t分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象和不等式的整数解个数进行判定求解．
本题考查了导数的综合运用、转化思想、数形结合思想及极限思想，属于中档题．

17.【答案】解：(1)甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为1−(23)4=6581．
(2)乙恰好射击4次后被终止射击的概率为25×25×35×35+35×25×35×35=18125． 
【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式求得4次都击中目标的概率，再利用对立事件的性质求解；
(2)根据相互独立事件的乘法公式计算即可
本题考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．

18.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1−1−lnxx2=−lnxx2，
令f′(x)=0，得x=1．
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f (x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f (x)单调递减．
所以x=1为函数f (x)的极大值点，且是唯一的极值点，
所以0 故13 (2)当x≥1时，m≤(x+1)(1+lnx)x恒成立，
令g(x)=(x+1)(1+lnx)x(x≥1)，
则g′(x)=(1+lnx+1+1x)x−(x+1)(1+lnx)x2=x−lnxx2，
再令h(x)=x−ln x(x≥1)，
则h′(x)=1−1x≥0，
所以h(x)≥h(1)=1，
所以g′(x)>0，
所以g(x)为单调增函数，
所以g(x)≥g(1)=2，
故k≤2，即实数m的取值范围是(−∞,2]． 
【解析】(1)先求f(x)的定义域及其导函数f′(x)，并由当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，求f(x)的单调区间及极值点，由此可解得a的取值范围；
(2)由f(x)≥mx+1得，x≥1时，m≤(x+1)(1+lnx)x，令g(x)=(x+1)(1+lnx)x，求出g′(x)，令h(x)=x−lnx，求h′(x)，并根据g(x)在[1,+∞)上的单调性，求g(x)的最小值及实数k的取值范围．
本题主要考查导数研究函数极值的方法，导数研究不等式恒成立的方法等知识，属于中等题．

19.【答案】解：(1)二项式( x+12 x)8的展开式的通项：
Tr+1=C8r⋅( x)8−r⋅(12 x)r=12r⋅C8r⋅x4−r，0≤r≤8，
∴展开式中的每一项都是有理项，分别为：
T1=x4，T2=4x3，T3=7x2，T4=7x，T5=358，T6=74x，T7=716x2，T8=116x3，T9=1256x4；
(2)由(1)可知，展开式中系数最大的项为第三项与第四项，分别为T3=7x2，T4=7x． 
【解析】(1)写出二项展开式的通项，由x的指数为有理数求得r值，即可得答案；
(2)直接由(1)中求得的项得结论．
本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．

20.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组的频率之比为0.05：0.04：0.01=5：4：1，
∴10人中，周平均阅读时间在(12,14]的人数为10×510=5人；在(14,16]的人数为10×410=4人；在(16,18]的人数为10×110=1人；
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
∴P(X=0)=C63C103=20120=16；P(X=1)=C62C41C103=60120=12；P(X=2)=C61C42C103=36120=310；
P(X=3)=C43C103=4120=130；
∴X的分布列为：
 X
 0
 1
 2
 3
 P
 16
 12
 310
 130
∴数学期望E(X)=0×16+1×12+2×310+3×130=65；
(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取1名学生，周平均阅读时间在(8,12]内的概率p=(0.15+0.1)×2=0.5=12，
则P(k)=C20kpk(1−p)20−k=C20k×12k×1220−k=C20k220，
若P(k)最大，则C20k最大，
∴当k=10时，P(k)取得最大值． 
【解析】(1)根据分层抽样原则可确定10人中，周平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]的人数，则可确定X所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；
(2)根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在(8,12]内的概率，利用二项分布概率公式可表示出P(k)，由此可确定结果．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．

21.【答案】解：(1)已知f(x)=12x2+2alnx−2x(a∈R)，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=x+2ax−2=x2−2x+2ax，
不妨设g(x)=x2−2x+2a，函数定义域为(0,+∞)，
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为x=1，
因为函数f(x)在区间(1,2)上不单调，
所以g(1)<0g(2)>0，即−1+2a<02a>0，
解得0 则a的取值范围为(0,12)；
(2)已知F(x)=f(x)−ax，
所以F(x)=12x2+2alnx−2x−ax，函数定义域(0,+∞)，
可得F′(x)=x+2ax−2−a=x2−2x−ax+2ax=(x−2)(x−a)x，
若0 当00，F(x)单调递增；
当a 当x>2时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
所以函数F(x)在[1,2]上单调递减，
则F(x)max=F(1)=−32−a；
若1 当10，F(x)单调递增；
当a 所以F(x)max=F(a)=2alna−2a−12a2；
若a=2时，F′(x)≥0恒成立，F(x)单调递增，
所以F(x)max=F(2)=2aln2−2a−2；
若a>2，
当00，F(x)单调递增；
当2 当x>a时，F′(x)>0，F(x)单调递增，
所以函数F(x)在[1,2]上单调递增，
则F(x)max=F(1)=2aln2−2a−2．
综上，当0 当1 当a≥2时，F(x)在区间[1,2]上的最大值为2aln2−2a−2． 
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，构造函数g(x)=x2−2x+2a，根据二次函数的性质列出等式即可求出a的取值范围；
(2)得到F(x)的解析式，对F(x)进行求导，分类讨论当02这四种情况，结合导数的几何意义得到函数F(x)的单调性，进而可得最值．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．

22.【答案】解：(1)证明：已知f(x)=ex−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得f′(x)=ex−1x，
易知f′(x)在(0,+∞)上单调递增，
又f′(12)= e−2<0，f′(1)=e−1>0，
所以存在x0∈(12,1)，使得f′(x0)=ex0−1x0=0，
即ex0=1x0，
当0 当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)min=f(x0)=ex0−lnx0，
因为ex0=1x0，
所以x0=ln1x0=−lnx0，
则f(x)min=ex0−lnx0=1x0+x0≥2，当且仅当x0=1时，等号成立，
又x0∈(12,1)，
所以f(x)min>2，
则f(x)>2；
(2)已知g(x)=ex−lnx−ax2−e+12=x2(ex−lnx−e+12x2−a)，
不妨设k(x)=ex−lnx−e+12x2−a，函数定义域为(0,+∞)，
可得k′(x)=(x−2)ex+2lnx+ex3，
若函数g(x)仅有两个零点，
即函数k(x)有两个零点，
不妨设h(x)=(x−2)ex+2lnx+e，函数定义域为(0,+∞)，
可得h′(x)=(x−1)ex+2x，
①当x≥1时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
②当02，
不妨设m(x)=(x−1)ex，函数定义域为(0,1)，
可得m′(x)=xex>0，
所以m(x)在定义域上单调递增，
所以m(x)>m(0)=−1，
所以h′(x)>0，
由①②知，在h′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增，
又h(1)=0，
所以当0 当x>1时，h(x)>0，k′(x)>0，
所以k(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
则k(x)min=k(1)=e−e+12−a=e−12−a，
当e−12−a≥0，即a≤e−12时，k(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，
此时k(x)最多有一个零点，不符合题意；
当e−12−a<0，即a>e−12时，
因为k(1)<0，
当02，
所以k(x)>2−e+12x2−a=3−e2x2−a>3−e2×3−e2a−a=0，
则k(x)在(0,1)上仅有一个零点；
不妨设n(x)=x−3lnx，函数定义域为(e2,+∞)，
可得n′(x)=1−3x=x−3x>0，
所以n(x)在定义域上单调递增，
则n(x)>n(e2)=e2−3lne2=e2−6>0，
当x>e2时，x>3lnx，ex>e3lnx=x3，
当x>e2且x>3a时，
k(x)>x3−13x−e+12x2−a=13x3+(13x3−13x)+(13x3−e+12)x2−a
=13x3+13x(x2−1)+13(x3−3e+32)x2−a>13x3x2−a=13x−a=x−3a3>0，
所以k(x)在(1,+∞)上也仅有一个零点，
综上所述，当a>e−12时，函数g(x)仅有两个零点；
当a≤e−12时，函数g(x)最多有一个零点，
故实数a的取值范围为(e−12,+∞)． 
【解析】(1)由题意，对函数f(x)进行求导，结合导数的几何意义以及函数零点存在性定理即可求证；
(2)先求出函数g(x)解析式，对函数g(x)进行求导，构造函数k(x)=ex−lnx−e+12x2−a，对函数k(x)进行求导，将函数g(x)仅有两个零点，转化成函数k(x)有两个零点，构造函数h(x)=(x−2)ex+2lnx+e，对h(x)进行求导，利用导数的几何意义得到函数h(x)的单调性，反推出函数k(x)的单调性和最值，对e−12−a≥0和e−12−a<0这两种情况进行讨论，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数单调性及极值和函数零点问题，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．